初中数学压轴题

初中数学压轴 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 2 【56】(浙江省慈溪中学保送生招生考试)已知:抛物线y，bx，c经过点(1，1)，ax,, 22 且对于任意的实数x，有4x4?ax，bx，c?2x4x，4恒成立( ,, (1)求4a，2b，c的值( 2 (2)求y，bx，c的解析式( ax, (3)设点M(x，y)是抛物线上任一点，点B(0，2)，求线段MB的长度的最小值( 2【56】解:(1)令,2，则4×24?4a，2b，c?2×2×2，4 4 x,, 即4?4a，2b，c?4 ?4a，2b，c,4( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 2 (2)?抛物线y，bx，c经过点(1，1) ax,, ?ab，c,1( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 , 又?4a，2b，c,4 ?b,1a，c,22a( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 ,, 2 由ax，bx，c?4x4恒成立 , 2 得axa，62a?0恒成立 ?????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 ，3x,(), 2?a，34a62a?0 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 (),(,) 2即a1?0 (,) 22又?a1?0，?a1,0( (,)(,) ?a,1( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 ?b,0，c,0( 22 ?y，bx，c的解析式为y ?????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分 axx,, 2 (3)?点M(x，y)是抛物线上任一点，?M(x，x)( 73222222 ?MB,x，x,x， ??????????????????????????????????????????????????????????? 14分 2(,)(,) 24 677322,当,，即,时，MB有最小值，即MB有最小值( xx 2224 7?线段MB的长度的最小值为( ??????????????????????????????????????????????????????????????? 16分 2 【57】(浙江省奉化市保送生考试)如图，射线OA?射线OB，半径r,2cm的动圆M与OB相切于点Q(圆M与OA•没有公共点)，P是OA上的动点，且PM,3cm，设OP,xcm，OQ,ycm( (1)求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围( (2)当?MOP为等腰三角形时，求相应的x的值( (3)是否存在大于2的实数x，使?MQO??OMP,若存在，求相应x的值，若不存在， 请说明理由( B M Q O P A 【57】解:(1)如图，过点M作MD?OA于D，则四边形ODMQ为矩形( ?OD,MQ,2，MD,OQ,y，•?PD,x2( , 222 在Rt?MDP中，y ，x2,3 (,) 22 ?xy ,5(2,x?25)( ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 4x，, (2)当?MOP为等腰三角形时 ?若OM,MP，则x,4; ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 ?若MP,OP，则x,3; ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 ?若OM,OP 22222 ?OM,2，y ，?x,4，y ，于是 B 22,yx,4， , ,22,x,x，y ,45, M Q 22解得x,1， ??????????????????????????????????????????????????? 8分 2DO P A (3)分三种情况进行讨论: ?假设?MQO??OMP 若?OPM,90?，则MP,y，OP,2,x，得x,2，不是大于2的实数，故?OPM不可能是90?; ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 ?若?MOP,90?，由于圆M在第一象限，所以不存在这种情况; ??????????? 10分 MQOQOM?若?OMP,90?，则( ,,PMPOOM 24，y 2y2?,,，得4，y ,2x( 23x4，y 2,y4，,2x ,10于是 解得x,1，( ,22,x,x，y ,45, 1025?2,1，, 10?存在大于2的实数x，使?MQO??OMP，且x,1，( ????????????????? 12分 【58】(河南省)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4，0)、C(8， 2 0)、D(8，8)(抛物线y，bx过A、C两点( ax, (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式; 2)动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD( 向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒(过点P作PE?AB 交AC于点E( ? 过点E作EF?AD于点F，交抛物线于点G(当t为何值时，线段EG最长, ? 连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得?CEQ是等腰三角形, y 请直接写出相应的t值( D AF G P EQ O B C x 【58】解:(1)点A的坐标为(4，8)( 1分 2 将A(4，8)、C(8，0)两点坐标分别代入y，bx， ax, 16a，4b,8,1得 解得a，b,4( ,,,64a，8b,02, 12 ?抛物线的解析式为yx，4x( ?????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 ,,2 PEBCPE41(2)?在Rt?APE和Rt?ABC中，tan?PAE,,，即,,( APABAP82 11?PE,AP,t，PB,8t( ,22 1?点E的坐标为(4，t，8t)(2 ,2 111122 ?点G的纵坐标为4t，44，t,t，8(????????????????????????? 5分 ，,()(),2228 1122 ?EG,t，88t,t，t ,,(,),88 1t?,0，?当,4时，线段EG最长为2( ?????????????????????????????????????????????? 7分 ,8 ?共有三个时刻( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 1640165t,，t,，t,40( ????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分 ,123313 【59】(安徽省)已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示( (1)请说明图中?、?两段函数图象的实际意义( 金额w(元) 【解】 批发单价(元) ? 5 ? 4 300 200 100 20 60 O 批发量(kg) O 20 40 60 批发量n(kg) 图(1) (2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量n(kg)之间的 函数关系式;在下图的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果( 【解】 日最高销量(kg)(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 (6，80) 数关系如图(2)所示(该经销商拟每日售出60kg以上该种水果， 80 且当日零售价不变，请你帮助该经销商 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 进货和销售的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ， (7，40) 40使得当日获得的利润最大( 2 6 8 4O 零售价(元) 图(2) 【59】(1)解:图? 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果， 金额w(元) 可按5元/kg批发; 图?表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发( ??????????????????????? 3分 300 240 5n,(20?n?60) 200(2)解:由题意得:w, 函数图象如图所示( ,4n(n,60) ,100 ??????????????????????? 7分 20 40 60 O 批发量n(kg) 由图可知，资金金额满足240,w?300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果( ?????????????????????????????????????????????? 8分 (3)解法一: 设当日零售价为x元，由图可得日最高销量n,32040x( , 当n,60时，x,6.5( 由题意，销售利润为yx432040x (,)(,), 40x48x(,)(,) , 2[]40x6，4 ??????????????????????????????????????????? 12分 ,(,), 当x,6时，y最大值,160，此时n,80( 即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg， 当日可获得最大利润160元 ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分 解法二: 设日最高销售量为xkg(x,60)( 320,x则由图?日零售价p满足:x,32040p，于是p,( ,40 320,x12销售利润y，160( ???????????????????????? 12分 x4x80,),(,)(,,4040 y当x,80时，最大值,160，此时p,6( 即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg， 当日可获得最大利润160元( ???????????????????????????????????????????????????????????????? 14分 【60】(安徽省芜湖市)如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(1，, ′′0)，B(0，3)，O(0，0)，将此三角板绕原点O顺时针旋转90?，得到?ABO( y 3 ′(1)如图，一抛物线经过点A、BB，求该抛物线解析式; 、 ′ (2)设点P是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB的 2 B 面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值( A′ 1 B′ A 1 2 -1 O x ′3【60】解:(1)?抛物线过A(1，0)，B(，0) ,-1 y 3?可设抛物线的解析式为ya ax，1x?0 ??????????????????????????????????? 2分)()()(,,3 333又?抛物线过B(0，)，?a1，?a1( ,(,),,××2 2 333?yx，1x,x，1x， ?????????????????????????????????????????? 4分 ),(,),()(, B, A′ 21 33即抛物线解析式为y,x，( ????????????????????????????????????????????? 5分 1x，,(,) B′ A (2)解法一:如图1，设点P的坐标为(x，y)( 1 2 -1 O x y?P是第一象限内抛物线上一动点 3 -1 2 33?x,0，y,0，且P点坐标满足y,x，1x，( ,(,)2 ′连结PB，PO，PB( BP 则S，S，SS四边形 ′??? ′ ,PBABAOBBOPPOB A′1 333xy ??????????????????????????????? 8分 ，，,B′ A 2221 2 -1 O x 32 33[xx，，1]1x，,(,) ,-1 2 337，432图1 [x，] ??????????? 12分 ,(,), 224 3当x时，S最大( 四边形 ′,PBAB2 333，232此时，y,，×，, ??????????????????????????????? 13分 313,()(,)224 37，4312，73S最大值,×??????????????????????????????????????????? 14分 ,四边形 ′()PBAB248 33，23′?使四边形PBAB 的面积达到最大时点P的坐标为(，)，面积24 12，73的最大值为( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 15分 8 解法二:如图2，连接BB′( ?P是第一象限内抛物线上一动点 yS，S，且?ABB′ 的面积为定值( S四边形 ′? ′? ′,PBABABBPBB3 ?要使S最大，S 必须最大( 四边形 ′? ′ EPBABPBB F2 ?BB′ 长度为定值，?S 最大时点P到BB′ 的距离最大( ? ′PBB BP A′ 即将直线BB′ 向上平移到与抛物线有唯一交点时，点P到BB′ 的距离最大( 1 G l ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 B′ A 1 2 -1 O x 设与直线BB′ 平行的直线l的解析式为yx，b ,, -1 y ,,x，b,,联立 ,2,y ,,x，(3,1)x，3,图2 2 33得xx，b,0，当直线l与抛物线有唯一交点时，该方程有两个相,, 等的实数根( 22 【61】(安徽省蚌埠二中高一自主招生考试)已知关于x的方程m1x33m1x，18(,),(,) 22 23,0有两个正整数根(m是整数)，?ABC的三边a、b、c满足c,，m，am8a,0，, 22 m，bm8b,0( , 求:(1)m的值;(2)?ABC的面积( 2 【61】解:(1)?方程有两个实数根，?m1?0，?m??1( 1分 , 63解方程得x,，x,( ????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 12m，1m,1 m，1,1， 2， 3， 6m,0， 1， 2， 5,,?x、x为正整数，?，即( ??????????????????????????? 5分 12,,m,1,1， 3m,2， 4,, ?m,2( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 2222 (2)将m,2分别代入m，am8a,0和m，bm8b,0 ,, 2222 得4，2a8a,0，4，2b8b,0，即a4a，2,0，b4b，2,0( ,,,, 当a,b时，a,b,2?( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 2 2 当a?b时，a、b是方程x 4x，2,0的两根( ???????????????????????????????????????????? 9分, 又?,0，由韦达定理得，a，b,4,0，ab,2,0，?a,0、b,0( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 ?当a?b，c,时( 23 22222 ?a，b,a，b×2,12,c 2ab,42(),, ??ABC为直角三角形，且?C,90?( 1?Sab,1( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分 ? ,ABC2 ?当a,b,2，c,23时( 2, ?2223，?不能构成三角形，不合题意，舍去( ??????????????????? 12分 , 2(,) ?当a,b,2，，c,23时( 2 ?22，23，?能构成三角形( ,2() 1229，122×23×,( ????????????????????????????????? 13分 S(2，2),(3)? ,ABC2 9，122综上分析，?ABC的面积为1或( 【62】(吉林省)如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，?B,60?(从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A?C?B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A?B?C?D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动(设P、Q运动的时间为x秒时，?APQ与?ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这里规定:点(((( 和线段是面积为0的三角形)，解答下列问题: (1)点P、Q从出发到相遇所用时间是__________秒; )点P、Q从开始运动到停止的过程中，当?APQ是等边三角形时x的值是(2__________秒; (3)求y与x之间的函数关系式( DC P B A Q 【62】解:(1)6; 1分 (2)8; ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 (3)如图1 ?当0?x,3时 33112 yAP?AQ?sin60??x?2x?x ?????????????????????????????? 5分 S?,,,,AP1Q1112222 ?当3?x,6时 33112 yAP?CQ?sin60?,?x??,x，x S122x33?(,),,,AP2Q2222222 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 ?当6?x?9时，设PQ与AC交于点O( 33 解法一: 过点Q作QE?CB，则?CQE为等边三角形，?QE,CE,CQ,2x12( ,33333 ?QE?CB，??COP??EOQ 333 CPx,61OC3? ,,, Q3 DC2x,122OEEQ3 O P211 P3?OC,CE, 2x12,()33 Q2E y,S S S???,,AOP3ACP3COP3P 111AC?CP?sin60?OC?CP?sin60? ,,3322B A Q 1 13113×6××××× x62x12x6,,,,,()()()图1 22223 3732 153,x，x( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 ,,62 解法二:如图2，过点O作OF?CP于点F，OG?CQ于点G，过点P作333 PH?DC交DC的延长线于点H( 3 Q3G H CD ??ACB,?ACD，?OF,OG( 1 O又CP,x6，CQ,2x12，?S,S( P ,,??33COP3COQ332 111?SS,×?CQ?PH ??,COP3CP3Q333233 B A 13312××( 2x12x6x6,,,,,()()()图2 2623 11333又SAC?CP?sin60?×6×× x6x6(?,,,,,ACP33()()2222 ?yS,S S ???,,AOP3ACP3COP3 3332 x6x6,,,,()()26 3732 153,x，x( ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 ,,62 3【63】(吉林省长春市)如图，直线yx，6分别与x轴、y轴交于A、B两点;直线y,,4 5x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D(点E从点A出发，以每秒,4 1个单位的速度沿轴向左运动(过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，x 以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与?ACD重叠部分(阴影部分)的面积 为S(平方单位)，点E的运动时间为t(秒)( (1)求点C的坐标; (2)当0,t,5时，求S与t之间的函数关系式; (3)求(2)中S的最大值; 9(4)当t,0时，直接写出点(4，)在正方形PQMN内部时t的取值范围( 2 y D QM B C N P O x E A 3,x,3 ,yx,，6,,,,4【63】解:(1)由题意，得 解得 ,,155y ,,,y ,x4,,4, 15?点C的坐标为(3，)( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分 4 (2)根据题意，得AE,t，OE,8t( , 53?点Q的纵坐标为(8t)，点P的纵坐标为t( ,44 53?PQ,t,102t 8t,,,()44 10当MN在AD上时，102t,t，?t,(?????????????????????????????????????????????????????? 3分 ,3 102当0,t?时，S,t(102t)，即S,2t，10t ,,3 1022当?t,5时，S,(102t)，即S,4t 40t，100( ????????????????????????????????? 5分 ,,3 1052522(3)当0,t?时，S,2t，10t,2(t)， ,,,322 525当t,时，S,; 最大值22 1022当?t,5时，S,4t，S随t的增大而减小 40t，100,4(t5) ,,3 10101002?t,时，S,4(, 5)最大值,339 2510025?,，?S的最大值为( ????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 292 22(4)4,t,( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 5 82【64】(山西省)如图，已知直线l:yx，与直线l:y2x，16相交于点C，l、,,,12133 l分别交轴于A、B两点(矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l、l上，顶点F、G都在x212 轴上，且点G与点B重合( x (1)求?ABC的面积; (2)求矩形DEFG的边DE与EF的长; (3)若矩形DEFG从原地出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动x 时间为t(0?t?12)秒，矩形DEFG与?ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函 数关系式，并写出相应的t的取值范围; (4)S是否存在最大值,若存在，请直接写出最大值及相应的t值，若不存在，请说明理由( y l2 l1 ED C x A O F B (G) 82【64】解:(1)将y,0代入yx，，得x,4，?点A的坐标为(4，0)，?OA,,,,33 4( 将y,0代入y2x，16，得x,8，?点B的坐标为(8，0)，?OB,8( ,, ?AB,OA，OB,4，8,12 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分 28,x ,5,x，y ,,联立，解得，?点C的坐标为(5，6)( ??????????????????????????? 2分 33,,y ,6,,y ,,2x，16, 11AB?S,?y,×12×6,36 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 ? ABCC22 28(2)?点D在直线l上且x,x,8，?y,×8，,8( 1DBD33 ?点D的坐标为(8，8)( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 又?点E在直线l上且y,y,8，?2x，16,8，?x,4( ,2EDEE ?点E的坐标为(4，8)( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 ?DE,8,4,4，EF,8( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 (3)过点C作CM?AB于M( ?C(5，6)，?OM,5，CM,6，?MB,OB,OM,8,5,3，?AM,AB, MB,12,3,9， AB,FG,12,4,8，AG,AB,GB,12,t，AF,AG,FG,12,t,4,8,t( ?当0?t,3时，如图1，矩形DEFG与?ABC重叠部分为五边形CHFGR(t ,0时，为四边形CHFG)( RGCMRG6?Rt?RGB?Rt?CMB，?，即，?RG,2t( ,,MB3GBt HFCMy AFH?Rt?AMC，?( ?Rt? , lAMAF2 HF62 l1即，?HF(8,t)( , D E ,8,t93C H?SSSS R ,? ? ?,,ABCBRGAFH 211,36×t×2t(8,t)×(8,t) ,,x A O F M G B 223 416442 图1 ,t，t， ,333 416442 即St，t，(0?t,3)( ????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 ,,333 ?当3?t,8时，如图2，矩形DEFG与?ABC重叠部分为梯形HFGR( CMRG62RG?Rt?AGR?Rt?AMC(?，即，?RG,(12,t)( y ,,AM12,t93AG l2 1,(HF，RG)?FG l1 D E2 C 221,[(8,t)，(12,t)]×4 R233 H 808,t， x ,A F O G M B 33 图2 808即St，(3?t,8)( ???????????????????????????????? 10分 ,,33 ?当8?t,12时，如图3，矩形DEFG与?ABC重叠部分为Rt?AGR( ?SS ,?RtAGRy l21AG?RG ,2 l1 D E21(12,t)×(12,t) C ,23 1R2 t 8t，48,, F3x A G O M B 12 即St 8t，48(8?t,12)( ??????????????????? 12分,,图3 3 (4)存在，当t,2时，S最大,20( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分 2 【66】(江西省、江西省南昌市)如图，抛物线y，2x，3与x轴相交于A、B两点(点x,, A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D( (1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴; (2)连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF?DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m( ?用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形,y D C ?设?BCF的面积为S，求S与m的函数关系式( 【66】解:(1)A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)( 2分 , 抛物线的对称轴是:x,1( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 y (2)?设直线BC的解析式为:ykx，b( ,D 将B(3，0)，C(0，3)分别代入得: C F3k，b,0k,,1,, 解得 ,, Eb,3b,3,, P?直线BC的解析式为yx，3( ,, xA O M B 当x,1时，y1，3,2，?E(1，2)( ,, 当x,m时，ym，3，?P(m，m，3)( ?????????????????????????????????????????????? 4分 ,,, 2 将x,1代入y，2x，3，得y x4，?D(1，4)(,,, 22 将x,m代入y，2x，3，得y，2m，3( xm,,,, 2 ?F(m，m，2m，3)( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 , 22 ?线段DE,42,2，线段PF,m，2m，3(m，3),m，3m ???????? 6分 ,,,,,?PF?DE，?当PF,DE时，四边形PEDF为平行四边形( 2 由m，3m,2，解得:m,2，m,1(不合题意，舍去)( ,12 ?当m,2时，四边形PEDF为平行四边形( ????????????????????????????????????????????????? 7分 ?设直线PF与x轴交于点M( 由B(3，0)，O(0，0)，可得:OB,OM，MB,3( 则SS，S ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8?,? BPFCPF 分 11PF?BM，PF?OM ,22 1PF?OB ,2 12 (m，3m)×3 ,,2 392 m，m(0?m?3) ,,22 392 即S与m的函数关系式为:Sm，m(0?m?3)(????????????????????????? 9分 ,,22 说明:1(第(1)问，写对1个或2个点的坐标均给1分，写对3个点的坐标得2分; 2(第(2)问，S与m的函数关系式未写出m的取值范围不扣分( 【67】(江西省、江西省南昌市)如图1，在等腰梯形ABCD中，AD?BC，E是AB的中点，过点E作EF?BC交CD于点F(AB,4，BC,6，?B,60?( (1)求点E到BC的距离; (2)点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN?AB交折 线ADC于点N，连结PN，设EP,x( ?当点N在线段AD上时(如图2)，?PMN的形状是否发生改变,若不变，求出? PMN的周长;若改变，请说明理由; ?当点N在线段DC上时(如图3)，是否存在点P，使?PMN为等腰三角形,若存在， 请求出所有满足 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的x的值;若不存在，请说明理由( N D D D AAA N PE E E FFF P B CB C B C MM 图1 图2 图3 D D AA E F E F BB C C 图4(备用) 图5(备用) 【67】解:(1)如图1，过点E作EG?BC于点G(( 1分 1?E为AB的中点，?BE,AB,2( D A2 在Rt?EBG中，?B,60?，??BEG,30?( ?????????????????????????? 2分 E F 1223?BG,BE,1，EG,,( 2,12B C G 图1 3即点E到BC的距离为( ??????????????????????????????????????????????????????? 3分 (2)?当点N在线段AD上时，?PMN的形状不发生改变( ?PM?EF，EG?EF，?PM?EG( NA D 3?EF?BC，?EP,GM，PM,EG,( P E F 同理MN,AB,4( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 H 如图2，过点P作PH?MN于H( B C G M 图2 ?MN?AB，??NMC,?B,60?，??PMH,30?( 133?PH,PM,，?MH,3PH,( 222 35 D ANH,MNMH,4,( ????????????????????????????????????????????????????? 5分 ,, N 22 PE F53 R2222在Rt?PHN中，PN,,,7( NH，PH()，()22B C G M 图3 ??PMN的周长,PM，PN，MN,( ??????????????????? 6分 3，7，4 ?当点N在线段DC上时，?PMN的形状发生改变，但?MNC恒为等边三角形( 当PM,PN时，如图3，作PR?MN于R，则MR,NR( D A 3类似?，MR,，?MN,2MR,3( ??????????????????????????????????????? 7分 P F 2E N??MNC为等边三角形，?MC,MN,3( B C G M 此时，x,EP,GM,BCBGMC,613,2( ???????????????? 8分 ,,,,图4 当MP,MN时，如图4，则MC,MN,MP,3( 33此时，x,EP,GM,BCBGMC,61,5( ???????????????????????? 9分 ,,,,, D A当NP,NM时，如图5，则?NPM,?NMP,30?，??MNP,120?( 又??MNC,60?，??MNP，?MNC,180?( F(P) E N?点P与点F重合，?PMC为直角三角形( ??MC,PMtan30?,1( B C G M 图5 此时，x,EP,GM,BCBGMC,611,4( ,,,, 3综上所述，x,2或4或5时，?PMN为等腰三角形( ?????????????????????? 10分 , 【68】(青海省)矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A 3y(6，0)，C(0，3)，直线x与BC边相交于D点( ,,,4 (1)求点D的坐标; 92 (2)若抛物线yaxx经过点A，试确定此抛物线的表达式; ,,4 (3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、 M为顶点的三角形与?OCD相似，求符合条件的点P的坐标( y A 6 O x -3 B C D 3 yx ,,4 【68】解:(1)点D的坐标为(4，3)( 2分 , 92 (2)?抛物线yx经过点A(6，0) ax ,,4 932 ??a6×6,0，解得a,( ,48 932 ?抛物线的表达式为yxx( ???????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 ,,48 (3)抛物线的对称轴与x轴的交点P符合条件( 1 ?OA?CB，??POM,?CDO( 1 又?OPM,?DCO,90? 1 ?Rt?POM?Rt?CDO( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 1 ?抛物线的对称轴x,3 ?点P的坐标为P(3，0)( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 11 过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P( 2?抛物线的对称轴平行于y轴，??PMO,?DOC( 2 又?POM,?DCO,90? 2 ?Rt?PMO?Rt?DOC( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 2 ?点P也符合条件，?OPM,?CDO( 22 ?PO,CO,3，?PPO,?DCO,90?( 121 ?Rt?PPO?Rt?DCO( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 21 ?PP,CD,4 12 ?点P在第一象限 2 ?点P的坐标为P(3，4)( 22 ?符合条件的点P有两个，分别是P(3，0)，P(3，4)( ????????????????????? 11分 12 P2 y P1A 6 O x M 【69】(青海省西宁市)已知OABC是一张矩形纸片，AB,6( ′′′′(1)如图1，在AB上取一点M，使得?CBM与?CBM关于CM所在直线对称，点B恰 2′好在边OA上，且?OBC的面积为24cm，求BC的长; (2)如图2(以O为原点，OA、OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(求 对称轴CM所在直线的函数关系式; 12′)作BG?AB交CM于点G，若抛物线yx，m过点G，求这条抛物线所对应的函(3 ,6 y数关系式( C B C B M G O M A B′′ xO A B′′ 图1 图2 11′′??【69】解:(1)?SOBOCOBAB ?′ ,,OBC22 2S2，24?OB, C′?OB,,,8(cm)( ????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 AB6 22′?BC,,10(cm) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 6，8 ′??CBM与?CB′M关于CM所在直线对称 ′?BC,BC,10(cm)( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 ′′(2)AB,OAOB,108,2(cm) ,, ′设AM,x，则BM,BM,6x , 222222′′ ′?在Rt?ABM中，AB，AM ,BM ，?2 ，x,(6x)( , 8解得:x ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 ,3 8?M(10，)，C(0，6)( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 3 设对称轴CM所在直线的函数关系式为y kx，b, 将点M、点C的坐标代入，得 81,,10k，b,k,,,, 解得 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 33,,,,b,6b,6,, 1?对称轴CM所在直线的函数关系式为yx，6( ?????????????????????????????????? 8分 ,,3 ′′(3)?BG?AB，OB,8( ?点G的横坐标为8( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 110设点G的纵坐标为y，则y×8，6, ,GG,33 10?G(8，)( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 3 12?抛物线yx，m过点G ,6 122102?×8，m，解得m,( ???????????????????????????????????????????????????????????? 11分 ,,363 1222?这条抛物线所对应的函数关系式为yx( ?????????????????????????????????????? 12 ,,63 【70】(新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团)某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌 鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示 y出租车距乌鲁木齐市的路程(单位:千米)与所用时间(单位:小时)的函数图象。已x 知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结 果比出租车最后一次返回乌鲁木齐市早1小时。 (1)请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y(千米) y(千米) 与所用时间(小时)的函数图象。 x150 (2)求两车在途中相遇的次数(直接写出答案) 100 (3)求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程。 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 x(小时) 【70】解:(1)如图 3分 y(千米) D B 150 E 100 50 A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 x(小时) (2)2次 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 (3)如图，设直线AB的解析式为yx，b k,11 ?图象过A(4，0)，B(6，150) 4k，b,0k,75,,111? 解得 ,,，,,,6kb150b300111,, ?y75x300 ? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 ,, 设直线CD的解析式为yx，b k,22 ?图象过C(7，0)，D(5，150) 7k，b,0k,,75,,222? 解得 ,,，,,5kb150b525222,, ?y75x，525 ? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 ,, x,5.5,联立?、?，解得 ,y,112.5, ?两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程为112.5千米( ?????????????????? 12分 【71】(新疆乌鲁木齐市)如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4，0)、C(0，2)，D为OA的中点(设点P是?AOC平分线上的一个动点(不与点O重合)( (1)试证明:无论点P运动到何处，PC总与PD相等; (2)当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式; (3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，?PDE的周长最小, 求出此时点P的坐标和?PDE的周长; (4)设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使?CPN,90?,若存在，请直接 写出点P的坐标( y C(0,2) B P 【71】解:(1)?点D是OA的中点，?OD,2，?OD,OC( x O D A(4,0) 又?OP是?COD的角平分线，??POC,?POD,45?( ??POC??POD，?PC,PD; ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 (2)如图，过点B作?AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求( 易知点F的坐标为(2，2)，故BF,2，作PM?BF( 1??PBF是等腰直角三角形，?PM,BF,1( y2P ?点P的坐标为(3，3)( (0,2) FC B M ?抛物线经过原点 2 ?可设抛物线的解析式为y，bx( ax, 又?抛物线经过点P(3，3)和点D(2，0) x O D A(4,0) 9a，3b,3a,1,,? 解得 E ,,4a，2b,0b,,2,, 2 ?过O、P、D三点的抛物线的解析式为yx2x; ???????????????????????????????????? 7分 ,, (3)由等腰直角三角形的对称性知D点关于?AOC的平分线的对称点即为C点( 连接EC，它与?AOC的平分线的交点即为所求的P点(因为PE，PD,EC， 而两点之间线段最短)，此时?PED的周长最小( 2 ?抛物线y x2x的顶点E的坐标(1，1)，C点的坐标(0，2),,, 设CE所在直线的解析式为ykx，b , k，b,,1k,,3,,则 解得 ,,b,2b,2,, ?CE所在直线的解析式为y 3x，2(,, 1,x,, ,32,x，y,11,2联立，解得，故点P的坐标为(，)( ,,y ,1x22,,y ,,2, ? PED的周 【72】(云南省)已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A(3，0)，C(0，4)，点D的坐标为D(5，0)，点P是直线AC上的一动点，直线DP, 与y轴交于点M(问: (1)当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出 此时直线DP的函数解析式; (2)当点P沿直线AC移动时，是否存在使?DOM与?ABC相似的点M，若存在，请求 出点M的坐标;若不存在，请说明理由; (3)当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R(R,0)画圆，所得到的圆称 为动圆P(若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E， F(请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值;若不存在， 请说明理由( 注:第(3)问请用备用图解答( yy BBCC DDOAOAxx 备用图 【72】解:(1)如图1，连结OB与AC相交于点H，则当点P运动到点H时，直线DP平分矩y形OABC的面积( 理由如下: ?矩形是中心对称图形，且点H为矩形的对称中心( 又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为 直线DP过矩形OABC的对称中心点H，所以直线DP平分矩形OABC的面 积( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 x 3y由已知可得此时点P的坐标为P(，2)( 2M 设直线DP的函数解析式为ykx，b( ,PBC 备用图 H DOAx 图1 ,5k，b,0,420,则 解得k，b( ,,,31313k，b,2,2, 420y?此时直线DP的函数解析式为,yx，( ,1313 ????????????????????????????????????????????????????????????????5分 (2)存在点M使得?DOM与?ABC相似( 如图1，设直线DP与y轴的正半轴交于点M(0，y)( m OMBCOM??DOM,?ABC，若?DOM与?ABC相似，则有或,,ODABODAB( BC yOMBC153m当时，即，解得y,( ,,mODAB445 15?点M(0，)满足条件( 14 yOMAB420m当时，即,，解得y,( ,mODBC335 20?点M(0，)满足条件( 23 15由对称性可知，点M(0，)也满足条件( 3,4 15综上所述，满足使得?DOM与?ABC相似的点M有3个，分别为M(0，)、14 1520M(0，)、M(0，)( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 23,34 52222(3)?AC,,,5，?动圆P的半径R,( OA，OC3，42 5如图2，过点D作DP?AC于P，以点P为圆心、半径长为画圆，过点D2 分别作?P的切线DE、DF，点E、F是切点(除点P外在直线AC上任取一 5点P，半径长为画圆，过点D分别作?P的切线DE、DF，点E、F是1111112 切点( 在?DEP和?DFP中，?PED,?PFD，PF,PE，PD,PD，??DPE??DPF( 15y???S,2S,2××DEPE,DEPE,DE( 四边形?DEPFDPE22 ?当DE取最小值时，,的值最小( 四边形DEPFF B22222C2?DE,DPPE，DE,DPPE( ,,1111P2222?DE,DP( DEDP ,,11 22?DP,DP，?DE,0，?DE,DE( DE E,111 xDOA由P点的任意性可知:DE是D点与切点所 1F1 P1 E1 图2 连线段长的最小值( ???????????????????????????????????? 12分 在?ADP与?AOC中，?DPA,?AOC，?DAP,?CAO( ??ADP??AOC( DPCODP432?，即，?DP,( ,,855DACA 32534712222?DE,,,( (),()DP,PE1052 34713471347155?S,DE,×,，即S,( ?????????????????? 14分 四边形DEPF104422