平面向量的线性运算,基本定理及坐标表示

平面向量的线性运算,基本定理及坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 1、向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量.向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段， （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥， 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 零向量和任何向量平行。三点共线共线； 2.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。 3、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。 4、向量的运算： （1）几何运算：（2）坐标运算：设，则： ①向量的加减法运算：，。 ②实数与向量的积：。 ③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。⑤向量的模：。 ⑥两点间的距离：若，则。 5、向量平行(共线)的充要条件：＝0。 12、向量中一些常用的结论： （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2），特别地，当同向或有 ；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似). （3）在中，①若，则其重心的坐标为。 一､选择题: 1、已知向量，则用表示为(    ) A．      B．      C．      D． 2、已知，则的取值范围是(    ) A．    B．      C．    D． 3、已知向量，，，，且，则(    ) A．            B．              C．                D． 4.(2010•四川)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外, =16,|则||=(  )           A.8    B.4    C.2    D.1 解析:由可知,⊥则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,因此,|选C. 5.已知△ABC中,点D在BC边上,且则r+s的值是(    )   C.-3    D.0    解析:∵ ∴ ∴又 ∴r=,∴r+s=0.故选D. 3.平面向量a,b共线的充要条件是() 6.平面向量a,b共线则(    ) A.a,b方向相同    B.a,b两向量中至少有一个为0 C.存在λ∈R,使b=λa    D.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0 解析:a,b共线时,a,b方向相同或相反,故A错.a,b共线时,a,b不一定是零向量,故B错.当b=λa时,a,b一定共线,若b≠0,a=0.则b=λa不成立,故C错.排除A、B、C,故选D. 7．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα等于(  ) A．2          B.      C．－2      D．－ 解析：∵a∥b，∴a＝λb，∴ ∴2cosα＝sinα，∴tanα＝2.  答案：A 8．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于(  ) A．1                  B.        C.                 D. 解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)·(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.  答案：B 9．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为(  ) A．(3,1)          B．(1，－1)    C．(3,1)或(1，－1)      D．无数多个 解析：设P(x，y)，则由||＝2||，得＝2或＝－2.＝(2,2)，＝(x－2，y)，即(2,2)＝2(x－2，y)，x＝3，y＝1，P(3,1)，或(2,2)＝－2(x－2，y)，x＝1，y＝－1，P(1，－1)． 答案：C 10.已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论:其中正确结论的个数是(  ) ①直线OC与直线BA平行;  ②  ③  ④ A．1个      B．2个    C．3个      D．4个 解析：kOC＝＝－，kBA＝＝－，  ∴OC∥BA，①正确； ∵∴②错误;  ∵∴③正确; ∵v (-4,0),      ∴④正确．故选C. 11．设向量a＝(3，)，b为单位向量，且a∥b，则b＝(  ) A．(，－)或(－，)     B．(，)  C．(－，－)      D．(，)或(－，－) 解析：设b＝(x，y)，由a∥b可得3y－x＝0，又x2＋y2＝1得b＝(，)或b＝(－，－)． 答案：D 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且m＝(b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n，则cos A的值等于(  ) A.                  B．－          C.                  D．－ 解析：∵m∥n，∴(b－c)cosA＝acosC， ∴( sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB，易知sinB≠0，∴cosA＝.  答案：C 二､填空题: 13、若，则      ；      . 14、若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足,则△ABC的形状为________. 解析: ∴故A､B､C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形. 15．(2010·陕西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________. 解析：由题知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1.        答案：－1 16．(2011·天津十二校联考)已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是________． 解析：∵c可唯一表示成c＝λa＋μb， ∴a与b不共线，即2m－3≠3m， ∴m≠－3.          答案：{m|m∈R，m≠－3} 17.如图,平面内有三个向量､､其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,| |=,若=λμ (λ,μ∈R),则λ+μ的值为________. 解析:过C作与的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由∠BOC=90°,∠AOC=30°,|,得平行四边形的边长为2和4,故λ+μ=2+4=6.  答案:6 18.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若则m+n的值为________. 解析:由于MN的任意性可用特殊位置法:当MN与BC重合时知m=1,n=1,故m+n=2.答案:2 三､解答题:    19.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),O为坐标原点.设=b,且 (1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n. 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴，解得. 20.已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．  (1)若a∥b，求tanθ的值； (2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值． 解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，  于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝. (2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝12＋22， 所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.  从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，  即sin2θ＋cos2θ＝－1， 于是sin(2θ＋)＝－.  又由0＜θ＜π知，  ＜2θ＋＜，  所以2θ＋＝或 2θ＋＝.  因此θ＝或θ＝.