桩基的检测-土木、路桥、建筑毕业论文

桩基的 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 -土木、路桥、建筑毕业论文 核准通过，归档资料。 未经允许，请勿外传～ XXXXXXXX公路学院 土木工程专业毕业论文 低应变力波反射法的桩基完整性检测及应 用的研究 作者姓名: 学 号: 指导老师: 专 业: 班 级: 二〇〇九年三月 目录 摘要................................................................................................................................. 3 ABSTRACT ..................................................................................................................... 4 第一章绪论 ...................................................................................................................... 5 1.1立 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 背景和问题的提出 ........................................................................................ 5 1.2桩基础的发展历程 ............................................................................................... 8 1.3桩基动测技术国内外发展状况 .............................................................................. 8 1.4桩基动测的其它 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 综述 ................................................................................... 10 1.5本文主要研究工作 ............................................................................................. 12 第二章 基本原理.......................................................................................................... 13 2. 1波动方程及其解的形式 ..................................................................................... 13 2.1.1波动方程.................................................................................................. 13 2. 1. 2波动方程解的形式 .................................................................................. 15 2. 2弹性波的反射与透射 ......................................................................................... 16 2.2.1在截面不变的桩中波的传播...................................................................... 16 2. 2. 2桩身截面变化时波的传播 ....................................................................... 17 2. 2. 3反射系数与透射系数 .............................................................................. 19 2. 3端承桩瞬态动测响应的数学模型 ....................................................................... 20 2. 3. 1完整端承桩瞬态动测响应的数学模型 ...................................................... 21 2. 5. 2缺陷端承桩瞬态动测响应的反射波法数学模型 ........................................ 24 第三章检测系统中相关测试设备和参数的选用................................................................ 26 3. 1相关设备的选用 ................................................................................................ 26 3.1.1激振设备的性能研究 ................................................................................ 27 3.1.2传感器的选用与安装 ................................................................................ 29 第四章 采用改进的检测方法测定桩长的研究 .............................................................. 31 4. 1在桩身不同部位拾振测定桩长的研究 ................................................................ 32 4.1.1不同点拾振的理论波形及桩长确定方法 .................................................... 32 4. 1. 2测试系统及操作 ..................................................................................... 35 4.1.3现场测试与分析 ....................................................................................... 36 4. 1. 4小结 ....................................................................................................... 52 第五章 结论与展望 ........................................................................................................ 54 5.1本文的主要结论 ................................................................................................. 54 5.2继续研究的建议 ................................................................................................. 55 参考文献........................................................................................................................ 56 致 谢 ......................................................................................................................... 57 摘要 基桩动力检测法以其快速、准确、经济的优点成为基桩完整性检测的一种重要手段。随着人们研究的深入，基桩动力检测法也在不断的发展。但就目前而言，动力检测法仍然存在一些无法克服的缺点，以至于影响到检测的准确性。本文通过对低应变应力波反射法在桩基工程中应用的理论分析并根据工程质量管理要求，提出了采用低应变动测基桩质量的新试验技术方法——双峰法和时差法。该方法在一定程度上改进了传统测试方法在获得桩身相关信息方面的局限性，使得在桩长和波速都未知的情况下，对于现场施工桩长可以获得较满意的确定。提出了分析确定桩长的计算方法，并通过对预制桩实地的测试，初步验证了此法的可行性。 关键词:低应变应力 桩基 双峰法 时差法 桩长 应力波速 ABSTRACT The foundation pile power examination law by its fast, accurate, the economical merit becomes the foundation pile integrity examination one important means. Thorough which studies along with the people, foundation pile power examination law also in unceasing development. But in the present case, the power examination law still had the shortcoming which some are unable to overcome, affects the examination accuracy. This paper presents two new experimental methods一Double wave crestsmethod and Time differential method, in which for the testing of pile quality indynamic low strain method，by analyzing the application of stress wave theory to the piles and on the demands of project quality control. This method improves traditional testing method to a certain extent, thus getting more relevance information of pile, pile length in-site can be satisfactory determined without the construction pile lengthand wave velocity. This paper puts forward a calculation method for the pile length,and verifies the feasibility of this method through testing pre-cast concrete piles in-site. and finally achieve the purpose of determining the pile length. we can realize this methodand verify by information of a project. Key Words: low strain and stress; piles; double wave crests method; time differential method;pile length; stress wave velocity; 第一章绪论 1.1立题背景和问题的提出 桩基是通过桩身材料强度或桩与土的相互作用将荷载传递给地 基土层的。对于承受较高上部荷载重量的刚性桩基础，桩身质量及材 料强度的优劣直接关系到整个建筑物的安全稳定，如存在问题不能及 时查出并采取补救措施，将会对整个工程造成不可估量的损失，尤其 目前我国桩基施工队伍庞杂，施工工艺各异，施工机具良秀不齐，桩 基施工质量不稳定，甚至偷工减料(例如浇筑混凝土强度不足、桩长 缩减等)是较为普遍的现象。所以，对于刚性桩来说，桩身完整性(质 量)检测是至关重要的隐蔽工程验收手段，任何情况下都是不容忽视 的，否则就有出现安全事故的隐患，威胁到人们的生命和财产安全。 目前，基桩动力检测法以其快速、准确、经济的优点成为基桩完 整性检测的一种重要手段。随着人们研究的深入，基桩动力检测法也 在不断的发展。就目前而言，有以下几种动力试桩方法:动力参数法、 共振法、反射波法、机械阻抗法、水电效应法、波动方程法、改进的 动力打桩公式法和静动法。这里将主要介绍以波动方程法和反射波法为基础的低应变法和高应变法。这是因为就目前来看，在确定桩基承载力和完整性方面用的最多的还是低应变法和高应变法，而这两种方法目前国内外普遍采用瞬态冲击方式，通过实测桩顶加速度或速度响应时域曲线，借一维波动理论分析来判定基桩完整性，也即反射波法。目前几乎所有的有关检测单位均采用低应变激振法来检验桩的完整性。 但是我们也要看到低应变法存在的问题:采用一维杆波动理论的前提是激励脉冲的波长与桩的半径R之比应足够大(>=10)，否则平截面假设不成立，即“一维纵波沿杆传播”的问题转换为应力波沿具有一定横向尺寸柱体传播的三维问题。另一方面，激励脉冲波长与桩长相比又必须比较小，否则波动性状不明显，从而对准确探测桩身缺陷位置产生不利影响。针对这些问题有很多学者提出了许多新的改进方法，例如，采用小波来过滤反射波法反射回来的原始信号，消除环境及电气噪声、土阻力干扰、桩身浅部缺陷反射信号等的干扰从而达到改善信号质量、提高桩基动测资料分析水平。尽管如此低应变法还是存在着一些局限性，对于桩体变化较大的基桩，其得到的波形往往很复杂很容易产生误判。特别是在复合地基中的竖向增强体的检测问题，例如对于水泥土桩，桩身施工质量离散性较大，水泥土强度变化范围大可从零点几兆帕到几兆帕，虽有低应变法检测其桩身完整性的报导，但可靠性和成熟性还有待进一步探究。 与低应变法相比，高应变法检测桩身完整性存在着设备笨重、效 率低及费用高等缺点，但由于激励能量和检测有效深度大的优点，特别在判定桩身水平整合型缝隙、预制桩接头等缺陷时，能够查明这些“缺陷”是否影响竖向抗压承载力的基础上，合理判定缺陷程度，因而可作为低应变检测这类缺陷桩的一种补充验证手段。但是高应变法同样存在着很多限制条件，对于嵌岩的大直径灌注桩、扩底桩由于尺寸效应，端阻力充分发挥所需的位移很大，这时对桩锤匹配能力下降，而往往高应变检测所用锤的重量有限，很难在桩顶产生较长持续时间的高水平作用的荷载，达不到使土阻力充分发挥所需的位移量。遇到这种情况，高应变法就显得不那么适用了。 另外，声波透射法也是一种有着鲜明技术特点的检测方法，它可以覆盖全桩长的各个截面，信息量相当丰富，结果准确可靠，且现场操作简便、迅速，不受桩长、长径比的限制，一般也不受场地限制。但是此法需要预埋声管，指定受检桩，不能做到随机抽检从而也起不到监控的作用。因此当没有预埋声测管或声测管堵塞无法声波透射法时，此时用钻芯法就能达到检测的目的。钻芯法是一种微破损或局部破损检测方法，具有科学、直观、实用等特点，不仅可以检测混凝土灌注桩，而且也可检测地下连续墙的施工质量，但是此法成本非常高，也无法对预制桩和钢桩的成桩质量进行检测。它和声波透射法一样是桩基动测技术的很好的补充。 在桩基的完整性检测中，对测试系统的改进也是一种改善动测法准确度的有效手段，在传统的检测系统无法解决基桩完整性检测中存在的种种问题的时候，例如，尺寸效应及无法获得更多的参考信息等 等。改进测试系统就改进了传统测试手段在这方面的缺陷。有学者就在这方面做了研究，提出了一种多点检测系统，采用多传感器多点拾振，在应用多次覆盖原理对数据进行处理，可以有效的抑制干扰，提高信号的信噪比和测试精度。这也为我们提供了一种新的思路，测试手段上的改进也能取得很好的效果，如果能从测试数据中获得更多的信息将有助于我们提高桩基检测的准确度。 1.2桩基础的发展历程 桩基础是历史悠久、应用广泛的一种基础形式，在距今12000年历史的智利古文化遗址中就已发现了桩的雏形。我国也在7000年前开始采用桩基础了，桩基础的发展也经历了一个漫长的过程。如今随着桩基础应用领域的扩宽以及我国工程建设事业的蓬勃发展，机械设备和施工技术不断得到改进与发展，产生了各种新桩型和新工法，为桩在复杂地质和环境条件下的应用注入了勃勃生机。因此，在高层建筑、重型厂房、桥梁、港口码头、海上采油平台以至核电站等工程中，大量采用桩基础。这样，桩基成为我国工程建设中很重要的一种基础形式，人们对桩基础的要求也越来越高，因而对其本身的质量检测就显得犹为重要了。 1.3桩基动测技术国内外发展状况 自1960年Smith提出桩锤一桩一土系统的集中质量法差分求解 模型以来，在此基础上世界上部分国家开展了一系列动力测试桩承载力的研究工作，并于20世纪80年代后期形成了实用的高应变现场测试和室内波动方程分析方法。与此同时低应变法检测桩身完整性研究工作也在进行，其中机械阻抗法在20世纪70年代初就已取得了进展;而低应变反射波法早期的研究也在英、法等国开展并在80年代后进入快速发展时期，在国际上基本占据了低应变动力检测桩身完整性的主导地位。我国的桩动力检测理论研究实践始于20世纪70年代，研究开发了一些具有我国特色的方法，如湖南大学的动力参数法、四川省建筑科学研究院和中国建筑科学研究院共同研究的锤击贯入试桩法、西安公路研究所的水电效应法、成都市城市建设研究所的机械阻抗法、冶金部建筑研究总院的共振法等。这些都成为我国主要采用的基桩动测方法。20世纪80年代中至90年代初，我国在各种低应变法在基本理论、机理、仪器开发、现场测试和信号处理技术、工程桩或模型桩验证研究、实践经验积累等方面，取得了许多有价值的成果。20世纪90年代中期，建工行业 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 《基桩低应变动力检测规程》( JGJ/T93-95)和《基桩高应变动力检测规程》( JGJ 106-97)的相继颁布，标志着我国基桩动测技术发展进入了相对成熟期。在这把与本文密切相关的反射波法的一些研究成果做一些总结。在信号处理方面，有学者提出用小波来过滤桩中反射回来的原始信号，消除环境及电气噪声、土阻力干扰、桩身浅部缺陷反射信号等的干扰从而达到改善信号质量、提高桩基动测资料分析水平的目的。还有学者提出将小波变换和人工神经网络两者结合起来提出了一种全新的桩身缺陷诊断方法。 在对缺陷位置及桩长的确定影响较大的波速问题上，针对一维波动理论的不足，有学者提出用乘系数的方法来弥补波速的误差。这些都使得反射波法在实践中的可靠度得到了一定程度的提高。 1.4桩基动测的其它方法综述 (1)超声波法 超声波法在检测灌注桩方面有其独到的优点，它不受桩长、长径比的限制，一般也不受场地限制，已成为目前混凝土灌注桩完整性检测的重要手段。其基本方法是:基桩成孔后，灌注混凝土之前，在桩内预埋若干根声测管作为声波发射和接收换能器的上下通道，在桩身混凝土灌注若干天后开始检测，用声波检测仪沿桩的纵轴方向以一定的间距逐点检测声波穿过桩身各截面的声学参数，然后对这些检测数据进行处理、分析和判断，确定桩身混凝土缺陷位置、范围、程度，从而推断桩身混凝土的连续性、完整性和均匀性状况，评定桩身完整性等级。 (2)静动法 静动法是最近发展起来的一种大应变动测桩承载力的方法。它克服了波动方程法要求桩产生教大的贯入度，难以在灌注桩上实现的严重缺点。它的主要特点就是利用一种特殊的加载装置使作用在桩顶的力脉冲延续时间较长，这样可使桩产生很大的贯入度，又不破坏桩顶，且更为重要的是在这种动力作用下，桩身的应力和位移都与应力波的传播无关，而接近与静态承压桩，因此在分析上比较简单。由于静动 法产生的加速度a=10-20g，所以平台上的堆载只需要静载时的50%-10%，大大节省了人力和物力。静动法确定桩承载力的方法是根据实测的静动力F、位移U、速度V和加速度a，按下面的平衡方程求得桩的承载力Pu也即土的静阻力Fu : Pu= Fu=F-CV-ma，当U=Umax时，V=0，即可得桩的极限荷载Pu = Fu = F-ma。另外在如何从静动法的试验结果F-U曲线，求出相应的静载P-S曲线，目前有三种方法:起始刚度法、修正起始刚度法和卸荷点法。 (3)钻芯法 在实际工程当中，可能由于受现场条件、当地试验设备能力等条件限制无法进行静载试验、高应变检测和低应变检测，或是由于没有预埋声测管或声测管堵塞无法进行声波透射法试验时，钻芯法便可以用来作为桩基检测的方法。它对拟建工程场地条件要比静载和高应变低得多，故它可以作为特定条件下的检测手段。钻芯法是一种微破损或局部破损检测手法，具有科学、直观、实用等特点，不仅可以检测混凝土灌注桩，也可检测地下连续墙的施工质量:同时，它还可以检测沉渣厚度、混凝土与持力层的接触情况，以及持力层的岩土性状、是否存在夹层等，这也是其它检测方法无法比拟的。但它也有局限性，其检测能力受桩的长径比制约，它也不能对预制桩和钢桩的成桩质量进行检测，这时低应变法就能体现它的优越性了。所以各种检测手段互相都有互补性，有时运用时可以将它们联合起来综合使用。钻芯法借鉴了地质勘探技术，在混凝土中钻取芯样，通过芯样表观质量和芯样试件抗压强度试验结果，综合评价混凝土的质量是否满足 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 要 求。钻芯法比较适用于混凝土灌注桩的特点可弥补低应变法在这方面的不足，同时钻芯法还可以对水泥土搅拌桩进行有效的、直观的测试，这一点也是低应变法目前很难做到的。 1.5本文主要研究工作 本文拟在原有的反射波法测定桩长的试验方法上做一些技术上的改进，通过改进使得桩长的测定得到一定程度的提高。 本文是对反射波法确定桩长的一种新的尝试，拟解决的问题和采取的手段。 初步设想为以下几个方面: (1)通过收集工程中已开挖验证的桩及相关曲线分析，找出理论分析曲线与实际开挖验证曲线的不符之处，重新进行时频域分析，找出在实际工程中造成误判的因素。 (2)在实际工程中，对所检测的桩采用改进的试验方法反复试验，分析时域特征曲线，得出响应特征参数。对比改进试验与原始方法的试验数据，找出其优点。 (3)通过设定不同的参数进行检测，研究在不同的锤击材料下，对改进试验的影响，找出最佳的锤击材料，使其与改进试验方案相配套。 在进行上述工作时可能会遇到下列问题:在对改进的试验方法所测得的时频域曲线可能会有较大的径向干扰波，使得在对曲线分析时产生严重的误判或者看不到桩底反射。可以考虑使用数字滤波手段或 者改变拾振点位置来获取更多有效信息。 第二章 基本原理 2. 1波动方程及其解的形式 桩的动测技术以一维波动理论为理论基础。当给桩顶施加无论是振动还是锤击等激励能量时，都以应力波形式沿桩身传播，传递过程是以一维波动方程为数学模型的。 2.1.1波动方程 在建立应力波沿桩身传递的一维波动方程的时候，由于在桩顶施加的是微小激振力，作了以下假定: (1)桩身材料是均匀和各向同性的; (2)位移假设相当微小以至对动力激发的反应总是线弹性的，服从胡克定律; (3)桩受激振动时，其横截面保持为平面，而且每个截面上的应力是均匀分布的。 有了以上假定我们便可以建立桩的一维波动方程(如图2-1) 取桩身的纵向为X轴，方向如图(2-1)所示。设桩长为L,截面积为A,密度为P，弹性模量为E，受轴向力F作用，将沿桩身纵向产生位移u，则质点运动速度和应变 ，它们只是x和时间t的函数。 于t时刻在x处取一微元dx，受力情况如图2-1所示。由牛顿第二定律建立方程: (2. 1 .1) 其中F= σA(其中。为轴向应力)，可得平衡方程: (2.1.2) 又考虑一般情况下连续可微，则有: (2.1.3) 根据胡克定律有 将其代入式(2. 1. 2), (2. 1.3)中便有: (2.1.4) 令 ，并将和代入到上式中整理得: (2.1.5) 此式即为一维波动方程，c实际上就是一维杆件中的应力波传播速度。 2. 1. 2波动方程解的形式 2. 1 .2. 1分离变量法求解波动方程 采用分离变量法求解波动方程(2. 1. 5 )，令其解有如下形式: (2.1.6) 代入波动方程得: (2.1.7) 令上式左右两边等于一个常数并代入上式，可得以下两个常微分方程: (2.1.8) (2.1.9) 它们的通解分别为: (2.1.10) (2.1.11) 2.1.2.2采用行波理论求解波动方程 式(2. 1. 5)一维波动方程为二阶偏微分方程，可以采用达朗贝尔通解求解此式，可得有下列形式的解: (2.1.12) 2. 2弹性波的反射与透射 2.2.1在截面不变的桩中波的传播 首先研究一维波动方程的通解，这里单独把下行波拿出来研究，下行波的质点运动速度记作v?，其值为: (2.2.1) 下行波产生的应变为: (2.2.2) 式中符号表示以压缩变形的压力为正。此时下行波的力为: (2.2.3) 将式(2. 2. 1)代入式(2.2.3)中可得: (2.2.4) 式中，为桩的波阻抗。 同样，对于上行波可以得到类似的式子: (2.2.5) 在一般情况下，桩身上任一截面上测到的质点运动速度或力都是上行波与下行波的叠加的结果 (2.2.6) 下面研究两种桩中常见情况下力和质点速度叠加的情况: (1) 桩端为自由端时，边界条件为，则: (2.2.7) 将式(( 2. 2. 4 )与(( 2. 2. 5 )代入上式可得桩端质点速度: (2.2.8) 公式(2.2.7)和( 2. 2. 8)表示应力达到自由端后，将产生一个符号相反、幅值相同的反射波，即压力波产生拉力反射波，在桩端处叠加，使桩端力为0，而桩端质点运动速度增加一倍。 (2) 桩端为固定端时，边界条件，则: (2.2.9) 将式(2. 2. 4 )与(2. 2. 5 )代入上式得: (2.2.10) 上两式表示应力波达到固定端后，产生一个与入射波相同的反射波，即入射压力波产生压力反射波，在桩端处由于波的叠加使桩端反力增加一倍，桩端速度为0。 2. 2. 2桩身截面变化时波的传播 当桩身截面发生突然变化时(见图2-2 ), 此时波阻抗由变为，根据变截面处的平衡条件与连续条件，可有: (2.2.11) 将式(2. 2. 4 ), ( 2. 2. 5 )代入上式中，整理后可得: (2.2.12) 当刚开始传播时只有下行波P?变截面，上式变为: (2.2.13) 同理，当截面上只有上行波P?变截面时，式(2. 2. 12)变为: (2.2.14) 式( 2. 2. 13 ), ( 2. 2. 14)表明当原有的下行波及上行波通过变截面时，都会分成透射波与反射波两部分。透射波的性质与入射波一致，幅值为原入射波的2Z2/(Z1+Z2)倍;反射波的幅值为 倍，根据的正负号来决定反射波的性质是否发生变化。 2. 2. 3反射系数与透射系数 根据以上的讨论我们可以得出反射波法测定桩身质量的基本原理，当桩身阻抗发生变化时，可以用波在桩身的传播规律进行分析，此时根据式(2. 2. 13 ),( 2. 2. 14 )，定义反射系数Rr、透射系数Rt，分别为: (2.2.15) ( 2.2.16) 其中n=Z1/Z2为阻抗比。式(2.2.15), (2.2.16)便为低应变反射波法对桩身缺陷或桩反射信号进行分析判断的重要依据，由上两式可得出以下结论: (1)当n=1时，Rr=0，说明界面处不存在阻抗不同或截面不同的材料，无反射波信号。 (2)当n>1时，Z1>Z2, R, >0，反射波与入射波同号。说明 界面是由高阻抗硬材料进入低阻抗软材料或大截面进入小截面。这在工程实际中对应于桩身存在缩颈、断裂、混凝土离析、夹泥等之中的某种或几种情况。 (3)当n<1时，Z1=10就能满足假设要求。 2. 3. 1完整端承桩瞬态动测响应的数学模型 基于以上所做的假设可以建立起以下阻尼波动方程(如图): (2.3.1) 式中，β为桩侧土的等效粘滞作用阻尼系数;其它参数与式(2. 1. 5)一致。 对(2. 3. 1)采用分离变量法，令,可得: (2.3.2) v是分离常数;Y(x)为波动函数，它与时间t无关;Z(t)为振动函 数，它与坐标x无关。 求解可得: (2.3.3) 由上式可知就是应力波的圆波数。 2解方程(( 2. 3. 2?)并消去时的大阻尼和临界阻尼这两种不 属于振动的解的情况，只取时的小阻尼情况，可得其振动型解: (2.3.4) 式中，ω就是桩阻尼振动圆频率。于是便可得位移函数: (2.3.5) a, b, c0, d0为待定系数，它们由初始条件和边界条件所决定。 初始条件:当桩顶面(x=L)受一瞬时冲击力作用时，在冲击力作用 的末时刻( t=0)，桩顶获得的初速度为: (2.3.6) 边界条件:指在t>o的任何时刻，应力波在桩的边界截面(桩顶、 桩底)上的状态，有: 桩底刚性固定: (2.3.7) 桩顶面自由: (2.3.8) 由于低应变的瞬态激振施加的激振力不可能使端承桩振动起 来，于是便有: (2.3.9) 把初始条件和边界条件分别代入到位移函数(2.3.5)可得到相对 应的待定系数的值。由边界条件(2. 3. 7)可得: ，在 t>0时Z (t)不为零，因而只有Y (0) =0，从而a=O。干是便有: (2.3.10) 又由边界条件(2. 3. 8 )有,必有再将() 代入其中，有: ,又v, b均不为零，所以就有下式: (2.3.11) 上式就是应力波圆波数v必须满足的方程，称为波数方程。由 此可得到圆波数的一个序列: (2.3.12) 因而桩的自振圆频率的一个序列为: (2.3.13) 相应可得到桩阻尼自振频率的一个序列为: (2.3.14) 则可得到下面两个函数序列: (2.3.15) 因而位移函数为: (2.3.16) 这里已将bn并入Cn和dn中构成了两个新的系数序列An和 Bn。将上式代入到(2.3.9)中可得An=0, ，从而得到: (2.3.1 7) 式中I代表瞬时冲击力对桩的冲量，pA为单位长度的质量。由 于在实际桩基检测时，传感器放置在桩顶面上，既仅仅观测桩顶面 的振动响应。故令x=L代入到(2. 3. 17)中，便可得到完整端承桩瞬 态动测振动位移响应的数学模型: (2.3.18) 对上式分别求一阶导和二阶导可得到相应的动测振动速度和振动加速度响应，它们的数学模型分别为: (2.3.19) (2.3.20) 式中，M= ρAL为桩身的质量。 2. 5. 2缺陷端承桩瞬态动测响应的反射波法数学模型 缺陷端承桩，泛指桩体材料的杨氏模量E、密度P和截面A3个参数存在间断的端承桩。可以采用两种方法建立正演模型，一种就是如前所述求解波动方程导出振动响应的数学模型;另一种就是利用应力波在桩身缺陷处产生反射波并在该处叠加，通过叠加原理来建立振动的响应的数学模型。在前面的论述中已具体提过应力波的反射和投射问题，这里利用它来建立反射波法的数学模型。 其原理就是利用端承桩缺陷处的应力波回到桩顶面与顶面的应力波叠加起来，便产生了叠加现象，通过对叠加现象的分析研究，可以给出缺陷端承桩瞬态动测响应模型。假设距离桩底X0处有一缺陷，桩顶响应经过时间t0后达到缺陷处，反射回桩顶的时间为t1=2t0，当桩顶的响应时间大于2t0时，则在时刻t1时在桩顶处形成叠加现象，其性质和强弱取决于缺陷的类型及严重程度(如图2-5 ): 反射波法的解析解是在完整端承桩的瞬态动测位移响应数学模 型中变化而来: 设式(2. 3. 18)中则振动响应方程为: (2.3.21) 式中A为振动响应初始幅值，在整个振动的持续时间T内，若 (2t0