高等数学定积分练习题

高等数学定积分练习题 作业习题 1、求下列极限: x2tdt1，nnn,0，，， (1)(？);(2); limlim22222n，n，n，nx12n,,,0x cosx2tedt1,1n (3)n(n，1)？(2n,1);(4)。 limlim2nx,,n,0x 31，x3,2、求的导函数。 G(x)G(x),sintdt,1 3、求证下列各式: ,3xn4sinxdx,0 (1);(2); ,2,dx,2lim,,20,1x，1,,n 11dtdtx (3)。 ,,2,2x11，t1，t 4、求下列积分: x222exx(，1)(,2)1 (1);(2);(3); dxdxdxx,,,,21x3e，1shx 01112 (4);(5);(6)。 dxarcsinxdx1，xdx,,,2,002，2，2xx 15、求连续函数f(x)，使它满足。 f(tx)dt,f(x)，xsinx,f(0),0,0 x22,xt6、求证函数f(x)在(,,,，,)上有界。 ,xeedt,0 7、求无穷积分。 1，,dxarcsinx (1);(2)。 dx2,,0,,2x，4x，51,x 作业习题参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 : nnn，，，(？)1、解:(1) lim22222n，n，n，n12n,, 1111,，，， (？)limn12n222n,,，，，1()1()1()nnn n11111,。 arctan,,dx,x,,lim,20k04n1，x2,,n,k11()，n x22tdt1，1，x,0,,1(2)。 limlim1xx,0,0x 1n(3)令 n(n，1)？(2n,1),f(n)limlimn,,nn,, 1 lnf(n),{[lnn，ln(n，1)，？，ln(2n,1),lnn} limlimnn,,n,, 1 ,[lnn，ln(n，1)，？，ln(2n,1),nlnn] limnn,, n111, [ln(10)ln(1)？ln(1)] ,，，，，，，limnnnn,, 1 ,ln(1，x)dx,2ln2,1,0 14nn(n，1)？(2n,1) 故。 ,limne,,n cosx2t2cosxedt2(sin)1sin1e,xx,cosx1(4)。 ,,,e,,,elimlimlim2222xxx,,,0xx0x0 333233,,2、解:G(x),sin(1，x)(1，x),3xsin(1，x)。 xf(x),f(x)[,1,3]3、证:(1)设，先求在上的最大、最小值。 2x，1 22x，,x,x，x12(1)(1),,fx,,f(x),0(,1,3) (),由得内驻点， x,12222x，x，(1)(1) f(,1),,0.5,f(1),0.5,f(3),0.3 由知 3331111[,1,3] 在上积分得。 ,,f(x),,,2,(,)dx,f(x)dx,dx,2,,,,,,1112222 ,,(2)当时，显然有0sinsin，故 x,[0,],x,44 ,22,,,nnnn4， 0,sinxdx,sin,(),(),0lim,044422,,n ,n4sinxdx,0。 由两边夹定理，lim,0,,n 1,2111dt,ydydt,1x(3)。 t,ydy,,,11,,2,2,2,2x11，t1，y1，y1，txx xx222ed(e，1)x2,24、解:(1)。 dx,,ln(e，1),ln(e，1),ln(e，1)xx,,,2,2,2e，1e，1 222(1)(2)xx12111，,2(2)。 dx,(x，x,2,)dx,(,2ln2),,113x3x36 22x222eee2y,1(e，1)1x(3)。 ,2dxy,edy,ln,lndx222,x,,1e1y，1e,1y,1e，1shxe0001dx,(4)arctan(1)。 ,,，x,dx2,,2,,222,21(1)，x，，2，2xx 21111x1d(1,x),(5) ,xarcsinx,dx,，arcsinxdx,,,000220221,x1,x 1,,2 。 ,，1,x,,1022 2211111xdxx，1dx22(6)I=,x1，x,,2,dx， 1，xdx,,,,000022201，xx，11，x 1122,2,1，xdx，ln(x，1，x),2，ln(1，2),I ,00 1故I。 ,[2，ln(1，2)]2 5、解:设y,tx，则当时，有 x,0 xx12 ;。 ,f(y)dy,xf(x)，xsinxf(y)dy,f(x)，xsinx,f(0),0,,00x 2,,f(x),f(x)，xf(x)，2xsinx，xcosx,(x,0); ,,f(x),,2sinx,xcosx 。 [0,x]对上式在上积分， xx， f(x),f(0),,2sintdt,tcostdt,cosx,xsinx,1,,00 故。 f(x),cosx,xsinx,1 ,xx2222,,xtxt6、证: f(,x),(,x)eedt,xeedt,f(x),,,00 所以是偶函数。因此只需在上证明有界即可。 f(x)[0,，,)f(x) x2t2xedte11,0f(x),,,,由， 222limlimlimlim,2xxx,1,222x,xxxx,，,,，,,，,,，,xe2exe, 知当时，; ，X,0,f(x),1x,X 又当时，，取 f(x),C[0,X],，N,0,x,[0,X]f(x),NM,max(X,N) 则,x,[0,，,),有f(x),M;实际上f(x)， ,0故0,f(x),M，f(x)在(,,,，,)上有界得证。 11,,1,,arcsinarcsinxx7、解:(1) dx,dx,arcsinxd(arcsinx)limlim,,,00022,，0,，0,,1,x1,x 1,,12 (arcsinx),lim02,,，0 21,2,[arcsin(1,)], 。 ,lim28,,，0 0，,，,dxdxdx(2),， 222,,,0,,,,x，4x，5x，4x，5x，4x，5 b0dxdx ,， limlim22,,a01，(x，2)1，(x，2)a,,,b,，, 0b,,,,,,,arctan(，2)，arctan(，2)xx 。 ,，,,limlim0a22a,,,b,，, 讨论习题: 121、 用定积分的定义求的值，a为常数。 atdt,0 b2、 用定积分的几何意义求的值。 (x,a)(b,x)dx(b,0),a 1,,,,,f(x)[0,1]f(0),1,f(2),3,f(2),53、 设在上连续，且求。 xf(2x)dx,0 讨论习题参考答案: 1作n等分，则;取是区间的右端点 1、解:把区间,[x,x][0,1]x,,ii,1iin 2nn1iii122，作和，取极限，则aa x,,,atdt,,,(),,iilimlim3,0nnnn,,,,nn,1,1ii (1)(21)，，nnna。 ,,alim336nn,, b,aa，ba，bb,a222、解:易知是以为圆心，为(x,a)(b,x),(),(x,)2222 2()1b,a,b,a,22半径的上半圆，则上半圆面积为; S,r,(),,8222 2b(),b,a由定积分的几何意义。 (x,a)(b,x)dx,,a8 1111111,,,,,xf(2x)dx,xdf(2x),,,xf(2x),f(2x)dx3、解: ,,,0000222 11151,,f(2),,,f(2x),,[f(2),f(0)],2。 02424 思考题: 1、 定积分性质中指出，若f(x)，g(x)在[a,b]上都可积，则f(x)+g(x)与 f(x)g(x)在[a,b]上也可积;它的逆命题成立吗,为什么, xb2、 设f(x)在[a,b]上连续，则与是的函数还是与的函f(t)dtf(u)dutxu,,xa 数，它们的导数存在吗,如存在等于什么, 思考题参考答案: 1、答:它的逆命题不一定成立。例如: x,Qx,Q1,0,,,f(x)g(x)Q = 与= ，为有理数; ,,x,Qx,Q0,1,,, f(x)g(x)f(x)g(x)[0,1]f(x)g(x)[0,1] 显然+与在上可积，但，在上都不可积。 xb2、答:与都是的函数。且 f(t)dtf(u)dux,,xa xb,, ，。 [f(t)dt],f(x)[f(u)du],,f(x),,ax