浅谈导数与三次函数图像的关系

浅谈导数与三次函数图像的关系浅谈导数与三次函数图像的关系高中教材对一次函数和二次函数的图像和性质研究的比较细致，而三次函数只是在选修2-2中导数部分出现了几个习题，研究的也比较简单，但是高考中却常出现三次函数的问题，我仅对我在教学中遇到的三次函数图像问题进行一下总结，拿出来和大家一起探讨一下。 32fxaxbxcxda()(0),，，，,一、三次函数的图像:共有四种 y y x x ? ? ? ? 322,fxaxbxcxda()(0),，，，,fxaxbxca()32(0),，，,由于的导函数为二 a次函数，原函数的极值点与...

浅谈导数与三次函数图像的关系高中教材对一次函数和二次函数的图像和性质研究的比较细致，而三次函数只是在选修2-2中导数部分出现了几个习题，研究的也比较简单，但是高考中却常出现三次函数的问题，我仅对我在教学中遇到的三次函数图像问题进行一下总结，拿出来和大家一起探讨一下。 32fxaxbxcxda()(0),，，，,一、三次函数的图像:共有四种 y y x x ? ? ? ? 322,fxaxbxcxda()(0),，，，,fxaxbxca()32(0),，，,由于的导函数为二 a次函数，原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关，所以容易发现导函数中的参数 a与的符号起决定性作用。当为正时，原函数的图象应为上图中的?、? 情况;而当, ,afx()0,为负时，原函数的图象则为?、?情况。当时，二次方程有两相异实,,0 ,xx,xx,fx()fx()根，且在的两边的符号相反，故函数存在两个极值点，图象为上1212 ,fx()图中的?、?两种;当时;，的值恒为(或)，函数的图象为上图中,,0,0,0 的?、?两种。二、与三次函数图像有关的问题 1、三次函数中根的问题由图像显然三次的根有三种情况，(1)一个根，即上面的图?、?及图?、?中两个 2,,fxaxbxca()32(0),，，,极值同号，则中满足或，此时设=0的fx(),,0,,0 2,xx,fxfx()()0,fxaxbxca()32(0),，，,两个根为，即。(2)两个根，则满1212 ,xx,fxfx()()0,足且=0的两个根为，满足， fx(),,01212 2,,xx,fxaxbxca()32(0),，，,(3)三个根，则满足且=0的两个根为，fx(),,012fxfx()()0,满足， 12 932例1((2009江西卷)设函数( fxxxxa()6,,，,2 ,xm(1)对于任意实数，恒成立，求的最大值; fxm(), a(2)若方程fx()0,有且仅有一个实根，求的取值范围( '2fxxxxx()3963(1)(2),,，,,,解:(1) , '2fxm(),39(6)0xxm,，,, 因为x,,,，,(,),, 即恒成立, 33m 所以 ,,,,,8112(6)0m, 得，即的最大值为, m,,44''fx()0,fx()0, (2) 因为当时, ;当时, ;当时, x,112,,xx,2 5'fx()0,;所以当时,fx()取极大值 ;fa(1),,x,12 当时,fx()取极小值 fa(2)2,,;故当ff(1)(2)0,仅有一个实根. 解得 x,2 5a,或. a,22 2、图像和单调区间的结合由图像可知三次函数只能单调递增(或递减)，或者存在两个极值点，即增减增(或 32fxaxbxcxda()(0),，，，,减增减)。(1)三次函数含有1个参数(不是常数项)， ,afx()求该单调区间时，要看的正负及导函数=0的根的情况进行讨论。例2.(2009福建卷文)(本小题满分12分) 132f'(1)0,,已知函数且 fxxaxbx(),,，，3 a (I)试用含的代数式表示; b fx() (?)求的单调区间; (?)略 2fxxaxb'()2,，，解(I)依题意，得由得 fab'(1)120,,,，,ba,,21 132(?)由(I)得( fxxaxax()(21),，，,3 2fxxaxaxxa'()221(1)(21),，，,,，，, 故，则或令fx'*()0,x,,1xa,,12 ?当时， a,1121,,,a x 当变化时，与的变化情况如下表: fx'()fx() (,12),,,a (2,1),,a (1),，,x fx'() + — + fx()单调递增单调递减单调递增由此得，函数fx()的单调增区间为(,12),,,a和，单调减区间为(12,1),,a (1,),，,?由时，，此时，fx'()0,恒成立，且仅在处fx'()0,，故a,1121,,,ax,,1 fx()函数的单调区间为R fx()(12,),，,a?当时，，同理可得函数的单调增区间为(,1),,,和，a,1121,,,a (1,12),,a单调减区间为综上: fx()(,12),,,a当时，函数的单调增区间为和(1,),，,，单调减区间为a,1 (12,1),,a; fx()当时，函数的单调增区间为R; a,1 fx()(12,),，,a(,1),,,当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为a,1 (1,12),,a 32fxaxbxcxda()(0),，，，,(2)三次函数含有1个参数(不是常数项)，已知单调区间时，求参数范围。 132例3(2010?河北隆尧一中五月模拟)在区间上有反函[1,2],fxxxax()5,,，,3 数，则a的范围为是 . 【答案】,,,,，,,31,，，,, 132【解析】因为在区间上有反函数，所以在该区间[1,2],fx()fxxxax()5,,，,3 2,fxxxa()20,,，, 上单调，则在上恒成立，得或在[1,2],[1,2],a,1 2,fxxxa()20,,，,上恒成立，得. a,,3 32fxxaxaaxb()(1)(2),，,,，，例4((2009浙江文)已知函数 (,)ab,R( (I)若函数fx()的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求ab,的值; ,3 a (II)若函数fx()在区间(1,1),上不单调，求的取值范围( ((( 2,f(x),3x，2(1,a)x,a(a，2)解析:(?)由题意得 f(0),b,0, 又，解得，或 b,0a,,3a,1,,f(0),,a(a，2),,3, a，2'fx()0, (?)由,得 xax,,,,123 又fx()在(1,1),上不单调,即 a，2,a，2,,,11a,,,51a,,,,11,,,,a,,,,,,3a或解得或所以的取值范围3,,,11,a，2a,,a,,,,,,a,,,,,11a,2,2,,3, 11是. (5,)(,1),,,22

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