2015年金帆组合杂题真题1、（2015年金帆五升六）在右图中有16个黑点，它们排成了一个44的方阵．用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉______个点．【答案】6【解析】图中共有五种正方形：边长为1、2、3的，以11正方形的对角线为边长的、以12长方形对角线为边长的．由于四个角的田字格至少应分别去掉1个，故至少去掉4个．但经试验去掉4或5个点仍有正方形，故至少去掉6个点，
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如图所示．2、（金帆五升六）能否用9个如图所示的丁字形卡片覆盖6×6的棋盘？【答案】不能【解析】图中黑、白格各18个，每张卡片盖住的黑格数是奇数，9张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住18个黑格．3、（金帆五升六）国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？【答案】如图【解析】见答案．4、（金帆五升六）能否将1至12排成一圈，使得相邻的两个数之差为5或者7。能则给出一个例子，否则给出证明。【答案】能，如排成1，6，11，4，9，2，7，12，5，10，3，8。【解析】见答案。5、（金帆五升六）在10×10的方格
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中最少要放多少个2×2的小方格才能保证不能再往
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中放入2×2的小方格，使它不与已放的小方格相交？【答案】9【解析】共1111个点，为使放入的正方形“效益最大化”，易知只需以第3、6、9行的第3、6、9列为中心画9个2×2的小方格即可。6、（2015金帆五升六暑期）下图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）．小明从A到B最快要几分钟？【答案】16分钟【解析】如果不过O点，至少需要436417分钟，如果过O点，最少需要156416分钟，路径为A→C→O→D→B．7、（2015金帆五升六暑期）有4辆汽车要派往五个地点运送货物，右图○中的数字分别表示五个地点完成任务需要的装卸工人数，五个地点共需装卸工20人．如果有些装卸工可以跟车走，那么应如何安排跟车人数及各点的装卸工人数，使完成任务所用的装卸工总人数最少？【答案】每车跟车3人，原来需5人的两个点各安排2人，原来需4人的点安排1人【解析】因为五个地点中需装卸工最多的是5个人，所以如果每辆车跟5个工人，那么每辆车到达任何一个地点，都能正常进行装卸．由此得到，跟车人数的试探范围是1～5个人．若每车跟车5人，则各点不用安排人，共需20人；若每车跟车4人，则原来需5人的点还需各安排1人，共需18人；若每车跟车3人，则原来需5人的点还需各安排2人，原来需4人的点还需各安排1人，共需17人；同理可求出，每车跟车2人，共需18人；每车跟车1人，共需19人．可见，安排每车跟车3人，原来需5人的两个点各安排2人，原来需4人的点安排1人，这时所用的装卸工总人数最少，需17人．8、（2015金帆五升六暑期）甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动．谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了．
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放第一枚硬币的甲百战百胜的策略．【答案】第一次甲放在正中间位置，以后只要乙放完后，甲放在乙对称的位置即可【解析】设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜．对于一般的较大的圆桌面，由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位置放一枚硬币，甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币．按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币．由于圆桌面的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜．9、（2015金帆五升六暑期）甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的人为失败者．如果甲第一个写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法．【答案】甲【解析】关键是第一次写什么数，总共只有10个数，可通过归纳试验．甲不能写1，否则乙写6，乙可获胜；甲不能写3，5，7，否则乙写8，乙可获胜；甲不能写4，9，10，否则乙写6，乙可获胜．因此，甲先写6或8，才有可能获胜．甲可以获胜．如甲写6，去掉6的约数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10这六个数中的一个，将这六个数分成（4，5），（7，9），（8，10）三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能获胜．10、（2015金帆五升六暑期）在黑板上写有999个数：2，3，4，……，1000．甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜．谁必胜？必胜的策略是什么？【答案】甲【解析】甲先擦去1000，剩下的998个数，分为499个数对：（2，3），（4，5），（6，7），……（998，999）．可见每一对数中的两个数互质．如果乙擦去某一对中的一个，甲则接着擦去这对中的另一个，这样乙、甲轮流去擦，总是一对数、一对数地擦，最后剩下的一对数必互质．所以，甲必胜．
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