2012年高中
数学
数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划
常用公式及结论(人教A版)
高中数学常用公式及结论
xAxCA,,,xCAxA,,,1. 元素与集合的关系:,. ,,,,ØAAUU
CABCACBCABCACB();(),,2.德摩根公式 :. UUUUUU
3.包含关系:
,,CBCA,,CABR ,,,ACBAB,,ABAABB,,,UUUU
4.元素个数关系:
cardABcardAcardBcardAB()(),，,
cardABCcardAcardBcardC(),，，
. ,,,，cardABcardBCcardCAcardABC()()()()
nnn 5(集合{,,,}aaa的子集个数共有 个;真子集有个;非空子集有个;221,21,12n
n非空的真子集有个. 22,
6.二次函数的解析式的三种形式
2fxaxbxca()(0),，，,(1)一般式;
2fxaa()()(0),,，,xhk(2)顶点式;(当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式) (,)hk
fxaxx()()()(0),,,,xxa(3)零点式;(当已知抛物线与轴的交点坐标为x12
(,0),(,0)xx时，设为此式) 12
2fxaxa()()((),,，,xkxd，),0(4)切线式:。(当已知抛物线与直线相ykxd,，0
x切且切点的横坐标为时，设为此式) 0
7.解连不等式常有以下转化形式 NfxM,,()
fxN(),,fxN(),,. ,,,0NfxM,,()[()][()]0fxMfxN,,,,fxM(),Mfx,(),
2ax，bx，c,0(a,0)fkfk()()0,8.方程在内有且只有一个实根,等价于或(k,k)1212
b,kk,,,,12。 2a,2,,,,,bac40,
9.闭区间上的二次函数的最值
b2x,,f(x),ax，bx，c(a,0),, 二次函数在闭区间p,q上的最值只能在处及区间的2a
两端点处取得，具体如下:
bb,,x,,,p,qfxffxfpfq()(),()(),(),,,(1)当a>0时，若，则; ,,minmaxmax2a2a
bx,,,,,p,q，，. fxfpfq()(),(),fxfpfq()(),(),,,,,maxmaxminmin2a
b,,x,,,p,q(2)当a<0时，若，则， fxfpfq()min(),(),,,min2a
. 第 1页(共30页)
b,,x,,,p,q若，则，. fxfpfq()max(),(),fxfpfq()min(),(),,,,,maxmin2a
210.一元二次方程fxxpxq(),，，,0的实根分布
2,pq,,40,(1)方程在区间内有根的充要条件为或; f(x),0fm()0,(m,，,),p,,m,,2(2)方程在区间内有根的充要条件为 f(x),0(,)mn
pmn，mnp，,,m,,,,,,n,,2222,,22或或; fmfn()()0,pq,,40pq,,40,,
,,fm()0,fn()0,,,
,,
2,pq,,40,(3)方程在区间内有根的充要条件为或 . f(x),0(,),,mfm()0,,p,,m,,211.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据
L(1)在给定区间的子区间(形如,,，，,，,，不同)上含参数的不,,,,,,,,,，,(,,,，,)
fxtxL(),(),,等式(为参数)恒成立的充要条件是。 tfxt(),min
L(2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要t(,,,，,)fxt(),fxtxL(),(),,条件是。 max
L(3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条t(,,,，,)fxt(),fxtxL(),(),,件是。 max
L (4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要t(,,,，,)fxt(),fxtxL(),(),,条件是。 min
afx,()对于参数及函数.若恒成立，则;若恒yfxxA,,(),afx,()afx,()amax
afx,()afx,()afx,()成立，则;若有解，则;若有解，则;afx,()afx,()minminmax
fxafx()(),,若有解，则.(若函数无最大值或最小值的情况，afx,()yfxxA,,(),minmax
可以仿此推出相应结论).
. 第 2页(共30页)
12.真值表
, ？ 非, ,或？ ,且？
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
13.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 nn,1至多有()个 小于 不小于 至多有个 nn，1至少有()个
pq，p，q对所有，成立 存在某，不成立 或 且 xx
pq，p，q对任何，不成立 存在某，成立 且 或 xx
14.四种命
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的相互关系(右图):
pq15.充要条件(记表示条件，表示结论) 逆互原命题逆命题
若p则q若q则ppq,pq (1)充分条件:若，则是充分条件. 互否为qp,pq(2)必要条件:若，则是必要条件. 逆互互pq,qp,p(3)充要条件:若，且，则是否否逆为否q充要条件. 互逆否命题否命题注:如果甲是乙的充分条件～则乙是甲的必要条若?q则?p若?p则?q逆互件,反之亦然.
16.函数的单调性的等价关系
(1)设那么 xxabxx,,,,,,,1212
f(x),f(x)12上是增函数; ,,0,f(x)在,,a,b()()()0xxfxfx,,,,,1212x,x12
f(x),f(x)12上是减函数. ,0,f(x)在,,a,b()()()0xxfxfx,,,,,,1212x,x12
,,(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数;如果，y,f(x)f(x),0f(x)f(x),0则为减函数. f(x)
17.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; f(x)g(x)f(x)，g(x)如果函数和都是增函数,则在公共定义域内,和函数也是增函数; 如果f(x)g(x)f(x)，g(x)函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数; y,f(u)u,g(x)y,f[g(x)]如果函数和在其对应的定义域上都是增函数,则复合函数是增y,f(u)u,g(x)y,f[g(x)]函数;如果函数和在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则y,f(u)u,g(x)
复合函数是减函数. y,f[g(x)]
18(奇偶函数的图象特征
. 第 3页(共30页)
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关
于原点对称，那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函
数(
19.常见函数的图像: yyyyyy=logxxay=ak<0k>02a<010
100-2a>1y=kx+b2xoy=ax+bx+c
x,R20.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是y,f(x)f(x，a),f(b,x)f(x)a，bba,x,x,;两个函数与 的图象关于直线对称. y,f(x，a)y,f(b,x)22
a(,0)21.若,则函数的图象关于点对称; f(x),,f(,x，a)y,f(x)2
2a,则函数为周期为的周期函数. 若f(x),,f(x，a)y,f(x)
nn,1Pxaxaxa(),，，，22(多项式函数的奇偶性 nn,10
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零. ,Px()Px()
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零. ,Px()Px()
23.函数的图象的对称性 yfx,()
(1)函数的图象关于直线对称. yfx,()xa,,,,faxfx(2)(),，,,faxfax()()
ab，x,(2)函数的图象关于直线对称 yfx,(),，,,famxfbmx()()2
. ,，,,fabmxfmx()()
24.两个函数图象的对称性
x,0y(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. yfx,()yfx,,()
ab，x,(2)函数与函数的图象关于直线对称. yfmxa,,()yfbmx,,()2m
,1y,f(x)(3)函数和的图象关于直线y=x对称. y,f(x)
b25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象;y,f(x)ay,f(x,a)，b
b若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象. f(x,y),0f(x,a,y,b),0a
,1f(a),b,f(b),a26(互为反函数的两个函数的关系:.
,1yfx,()yx,27.函数与其反函数的图像的交点不一定全在直线上。 yfx,()
28.几个常见的函数方程
,(1)正比例函数. fxcx(),fxyfxfyfc()()(),(1)，,，,
xfxa(),,(2)指数函数. fxyfxfyfa()()(),(1)0，,,,
fxx()log,,(3)对数函数. fxyfxfyfaaa()()(),()1(0,1),，,,,a
,,fxx(),,(4)幂函数. fxyfxfyf()()(),(1),,,
. 第 4页(共30页)
(5)余弦函数,正弦函数，， fxx()cos,gxx()sin,fxyfxfygxgy()()()()(),,，
sinx,,f(0)1,lim1. x,0x
29.几个函数方程的周期(约定a>0) (1)，则的周期T=a; f(x),f(x，a)f(x)
11(2)，或fxa()，,,,则的周期T=2a; f(x，a),(f(x),0)f(x)(()0)fx,fx()f(x)
1(3)f(x),1,(f(x),0)，则的周期T=3a; f(x)f(x，a)
f(x)，f(x)12fafxfxxxa()1(()()1,0||2),,,,,,(4)且，则的f(x，x),f(x)1212121,f(x)f(x)12
周期T=4a;
30.分数指数幂
mnm,nn,1aa,(1)(amnN,,0,,，且).
m,11,na,,n,1amnN,,0,,(2)(，且). mnmana
31(根式的性质
nn()aa,(1).
nnaa,(2)当为奇数时，; n
aa,0,,nnaa,,||当为偶数时，. n,,,aa,0,
32(有理指数幂的运算性质
rsrs，aaaarsQ,,,,(0,,)(1) .
rsrs()(0,,)aaarsQ,,,(2) .
rrr()(0,0,)abababrQ,,,,(3). p注: 若a,0～p是一个无理数～则a表示一个确定的实数(上述有理指数幂的运算性质～
对于无理数指数幂都适用.
b33.指数式与对数式的互化式: logNbaN,,, .(0,1,0)aaN,,,a
logNm.对数的换底公式 : (,且,,且,). 34logN,a,1N,0a,0m,0m,1 alogam
logNa 对数恒等式:(,且,). aN,a,0a,1N,0
nnloglogbb,推论 (,且,). a,1N,0a,0 maam
35(对数的四则运算法则:若a,0，a?1，M,0，N,0，则
Mlogloglog,,MNlog()loglogMNMN,，(1); (2) ; aaaaaaN
. 第 5页(共30页)
nnnloglog(,)loglog()MnMnR,,NNnmR,,(3); (4) 。 maaaam
22Rf(x),log(ax，bx，c)(a,0)36.设函数,记.若的定义域为,则f(x),,b,4acm
Ra,0,,0a,0,,0且;若的值域为,则，且。 f(x)
37. 对数换底不等式及其推广:设，，，且，则 a,1nm,,1a,0p,0
mn，2log()lognpn，,logloglogmn,(1). (2). mpm，aaa2
38. 平均增长率的问题(负增长时) p,0
x如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间的总产值y，有yNp,，1)(. x
sn,1,,139.数列的通项公式与前n项的和的关系:( 数列{}a的前n项的和为a,,nnssn,,,2,nn1,
saaa,，，，). nn12
*aanddnadnN,，,,，,,(1)()40.等差数列的通项公式:; n11
naa()，nn(1),d121ns,,，nad,，,nadn()其前n项和公式为:. n112222
ann,1*1,,,,()41.等比数列的通项公式:; aaqqnNn1q
naaq,,aq(1),,1n1,1q,,1q,,,1,q其前n项的和公式为 或. s,s,1,q,,nn
,,naq,1,naq,1,1,,1
,,aaqadabq,，,,,(0)42.等比差数列:的通项公式为 nnn，11
bndq，,,(1),1,
,nn,1; a,bqdbqd，,,(),n,1q,,q,1,
nbnndq，,,(1),(1),
,n其前n项和公式为:. s,dqd1,,n(),(1)bnq,，,,111,,,qqq,
nabb(1)，x,b43.分期付款(按揭贷款) :每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为). ann(1)1，,b44(常见三角不等式
,x,(0,)sintanxxx,,(1)若，则. 2
. 第 6页(共30页)
,x,(0,)(2) 若，则. 1sincos2,，,xx2
(3) . |sin||cos|1xx，,
,sin22tan,tan1,,,,cot45.同角三角函数的基本关系式 :，=，. sincos1,,，,cos,46.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)
nn,,22(1)sin,(),n,为偶数n,(1)s,()con,,为偶数,n,,， sin()，,,cos(),，,,,,1n，1n22,2,2(1)s,()con,为奇数,(1)sin,()n,,为奇数,,47.和角与差角公式
;; sin()sincoscossin,,,,,,,,,cos()coscossinsin,,,,,,,,
tantan,,,. tan(),,,,1tantan,,
22sin()sin()sinsin,,,,,,，,,,(平方正弦公式);
22cos()cos()cossin,,,,,,，,,,.
22absincos,,，,=(辅助角所在象限由点的象限决(,)abab，，sin(),,
btan,,定, ). a
48.二倍角公式及降幂公式
2tan,,sin2sincos,,,,. 21tan，,
21tan,,2222. cos2cossin2cos112sin,,,,,,,,,,,,21tan，,
2tan,,tan2. ,2,1tan,
1cos21cos2,，,,22sin,cos,, ,,22
sin21cos2,,,tan,, ,1cos2sin2，,,
49. 三倍角公式
,,3sin33sin4sin4sinsin()sin(),,,,，. ,,,,,,33
,,3cos34cos3cos4coscos()cos(),,,,，.,,,,,,33
33tantan,,,,,. tan3tantan()tan(),,,，,,,,213tan33,,
. 第 7页(共30页)
50.三角函数的周期公式
函数，x?R及函数，x?R(A,ω,,为常数，且A?0)的周yx,，sin(),,yx,，cos(),,
2,,xkkZ,，,,期;函数，(A,ω,,为常数，且A?0)的周期,Tyx,，tan(),,,2||,
,T,. ||,
三角函数的图像:
yyy=sinxy=cosx11-π/23π/2πxπ-πo-3π/2π/2x-2πo-3π/2-ππ/22π-π/2-2π3π/22π-1-1 五点法作图列表:
,,x， 0 π/2 π 3π/2 2π
x
y
abc,,,2R,ABC51.正弦定理 :(R为外接圆的半径). sinsinsinABC
,,abcABC::sin:sin:sin ,,,,aRAbRBcRC2sin,2sin,2sin
52.余弦定理
222222222;;. abcbcA,，,2cosbcacaB,，,2coscababC,，,2cos53.面积定理
111Sahbhch,,,hhh、、(1)(分别表示a、b、c边上的高). abcabc222
111SabCbcAcaB,,,sinsinsin(2). 222
122SOAOBOAOB,,,,(||||)()(3). ,OAB2
abc，,2S斜边, rr,,,,,内切圆直角内切圆abc2，，
54.三角形内角和定理
在?ABC中，有 ABCCAB，，,,,,，,,()
CAB,，,,,. ,,,，222()CAB,222
55. 简单的三角方程的通解
ksin(1)arcsin(,||1)xaxkakZa,,,，,,,, .
. coxaxkakZas2arccos(,||1),,,,,,,
. tanarctan(,)xaxkakZaR,,,，,,,
. 第 8页(共30页)
特别地,有
k. sinsin(1)(),,,,,,,,，,,kkZ
. cokkZscos2(),,,,,,,,,,
. tantan(),,,,,,,,，,kkZ
56.最简单的三角不等式及其解集
. sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ,,,,，，,,,,,
. sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ,,,,,,，,,,,
. cos(||1)(2arccos,2arccos),xaaxkakakZ,,,,,，,,,
. cos(||1)(2arccos,22arccos),xaaxkakakZ,,,,，，,,,,,
,tan()(arctan,),xaaRxkakkZ,,,,，，, . ,,2
,tan()(,arctan),xaaRxkkakZ,,,,,，,. ,,2
57.实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么
aa(1) 结合律:λ(μ)=(λμ) ;
aaa(2)第一分配律:(λ+μ) =λ+μ;
aa(3)第二分配律:λ(+)=λ+λ. bb
58.向量的数量积的运算律:
aa(1) ?= ? (交换律); bb
,a,a,aa,(2)()?= (?)=?=?(); bbbb
acacc(3)(+)?= ? +?. bb
59.平面向量基本定理
ee如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有12
aee一对实数λ、λ，使得=λ+λ( 121212
ee不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底( 12
MCMAMB,，,,,(1) 三点A、B、C共线的充要条件: (M为任意点)
60(向量平行的坐标表示
aa(,)xy,,,xyxy0(,)xy,, 设=,=，且，则 (). bbbb0011221221
aaacos,53. 与的数量积(或内积):?=||||。 bbb
a61. ?的几何意义: b
aaaacos,数量积?等于的长度||与在的方向上的投影||的乘积( bbb
ab,cos,a向量在向量上的投影:||,( bb||a
62.平面向量的坐标运算
aa(,)xy(,)xy(,)xxyy，，(1)设=,b=，则+b=. 11221212
. 第 9页(共30页)
(2)aa设=(,)xy,=，则-=. (,)xy(,)xxyy,,bb11221212
(3)设A(,)xy，B,则. (,)xyABOBOAxxyy,,,,,(,)11222121
a,a(4)设=，则=. (,),xyR,,(,),,xy
aa设=(,)xy,=，则?=()xxyy，. (5)(,)xybb1122121263.两向量的夹角公式
xxyyab,，1212a(,)xy(=,=(,)xy). cos,,,b11222222||||ab,xyxy，,，1122
.平面两点间的距离公式 64
22d =,,，,()()xxyy(A(,)xy，B). (,)xy||ABABAB,,AB,11222121
a(,)xy(,)xy65.向量的平行与垂直 :设=,=，且,，则 bb01122
aa,,,xyxy0||=λ . ,bb1221
,aaa,，,xxyy0 (,) ?=0. ,bb01212
,PP66.线段的定比分公式 :设Pxy(,)，Pxy(,)，是线段的分点,是实数，Pxy(,)11122212
，,xx,12,x,1，,OPOP,1，,12t,且，则(). ,,,OPPPPP,,OPtOPtOP,，,(1),12121，,yy，1，,,12,y,,1，,,
67.三角形的重心坐标公式
B(x,y)C(x,y)A(x,y)?ABC三个顶点的坐标分别为、、,则?ABC的重心的坐标是112233xxxyyy，，，，123123G(,). 33
68.点的平移公式
'',,xxhxxh,，,,,,'',,，OPOPPP . ,,,''yykyyk,，,,,,,,
'''''PPPxy(,)注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为F. (,)hk
69.“按向量平移”的几个结论
'aPxhyk(,)，，(1)点按向量=平移后得到点. Pxy(,)(,)hk
''Ca(2) 函数的图象按向量=平移后得到图象,则的函数解析式为yfx,()(,)hkCC
. yfxhk,,，()
''CCa(3) 图象按向量=(,)hk平移后得到图象,若的解析式yfx,(),则的函数解析CC
式为. yfxhk,，,()
''Ca(4)曲线:按向量=平移后得到图象,则的方程为fxy(,)0,(,)hkCC
. fxhyk(,)0,,,
. 第 10页(共30页)
mm(5) 向量=按向量a=平移后得到的向量仍然为=. (,)xy(,)hk(,)xy70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
O,ABC设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 ABC,,abc,,
222O,ABC,,,OAOBOC(1)为的外心.
O,ABC(2)为的重心. ,，，,OAOBOC0
O,ABC(3)为的垂心. ,,,,,,OAOBOBOCOCOA
O,ABC(4)为的内心. ,，，,aOAbOBcOC0
，AO,ABC(5)为的的旁心. ,,，aOAbOBcOC71.常用不等式:
22(1)(当且仅当a,b时取“=”号)( ,abR,,abab，,2
ab，，,ababR,,(2)(当且仅当a,b时取“=”号)( ,2
333abcabcabc，，,,,,3(0,0,0).(3)
22222()()(),,,,.abcdacbdabcdR，，,，,(4)柯西不等式: (5). a,b,a，b,a，b
222ababab，，,,,ab(6)(当且仅当a,b时取“=”号)。 ab，22
x,y72.极值定理:已知都是正数，则有
x，yxypx,y(1)若积是定值，则当时和有最小值; 2p
12x，ysx,yxy2)若和(是定值，则当时积有最大值. s4
，abxyR,,,,(3)已知，若则有 axby，,1
1111byax2。 ，,，，,，，，,，，,，()()2()axbyababababxyxyxy
ab，abxyR,,,,，,1(4)已知，若则有 xy
abaybx2xyxyabababab，,，，,，，，,，，,，()()2() xyxy
22axbxc，，,,0(0)或(0,40)abac,,,,,73.一元二次不等式，如果与a
22同号，则其解集在两根之外;如果与异号，则其解集在两根之间.简aaxbxc，，axbxc，，
言之:同号两根之外，异号两根之间.
xxxxxxxxx,,,,,,,()()0(); 121212
xxxxxxxxxx,,,,,,,,()()0()或. 121212
74.含有绝对值的不等式 :当a> 0时，有
22. xaxaaxa,,,,,,,
. 第 11页(共30页)
22或. xaxaxa,,,,,xa,,75.无理不等式
fx()0,,
,(1) . fxgx()(),,gx()0,,
,fxgx()(),,
fx()0,,gxfx()0()0,,fx()0,,,,,(2). ,或fxgx()(),,或gx()0,,,,,2fxgxgx()[()]()0,,gx()0,,,,2,fxgx()[()],,
fx()0,,
,(3). fxgx()(),,gx()0,,
2,fxgx()[()],,
76.指数不等式与对数不等式
a,1(1)当时,
fx()0,,
,fxgx()()log()log()()0fxgxgx,,,aafxgx,,,()(); . ,aa
,fxgx()(),,
01,,a(2)当时,
fx()0,,
,fxgx()()log()log()()0fxgxgx,,,aafxgx,,,()(); ,aa
,fxgx()(),,
77.斜率公式
yy,21Pxy(,)Pxy(,)(、). k,111222xx,21
78.直线的五种方程
lkyykxx,,,()Pxy(,)(1)点斜式 (直线过点，且斜率为)( 11111
l(2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距). ykxb,，
yyxx,,11yy,xxyy,,,Pxy(,)Pxy(,)(3)两点式 ()(、 ()). ,121112221212yyxx,,2121
()()()()0xxyyyyxx,,,,,, 两点式的推广:(无任何限制条件～) 211211
xy，,1ab、ab,,00、(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，) ab
(5)一般式 (其中A、B不同时为0). AxByC，，,0
,lAB,(,)lBA,,(,)直线的法向量:，方向向量: AxByC，，,0
79.两条直线的平行和垂直
lykxb:,，lykxb:,，(1)若， 111222
. 第 12页(共30页)
? ?. llkkbb||,,,,;llkk,,,,1 1212121212
(2)若lAxByC:0，，,,lAxByC:0，，,,且A、A、B、B都不为零, 121211112222
ABC111?;?; llAABB,,，,0ll||,,,12121212ABC222
80.夹角公式
kk,21(1). (lykxb:,，，lykxb:,，,) tan||,,kk,,1111222121kk，21
ABAB,1221.(lAxByC:0，，,,lAxByC:0，，,,). (2)tan||,,AABB，,0111122221212AABB，1212
,ll,直线时，直线l与l的夹角是. 12122
ll81. 到的角公式 12
kk,21lykxb:,，lykxb:,，(1).(，,) tan,,kk,,1111222121kk，21
ABAB,1221lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,(2).(,,). tan,,AABB，,0111122221212AABB，1212
,ll,直线时，直线l到l的角是. 12122
82(四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交:
Pxy(,)yykxx,,,()(1)定点直线系方程:经过定点的直线系方程为(除直线 00000
kAxxByy()()0,，,,xx,Pxy(,)),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,000000
其中是待定的系数( AB,
lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,(2)共点直线系方程:经过两直线,的交点的直11112222
()()0AxByCAxByC，，，，，,,l线系方程为(除)，其中λ是待定的系数( 1112222(3)平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方ykxb,，
,,0程(与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量( AxByC，，,0AxBy，，,,0(4)垂直直线系方程:与直线 (A?0，B?0)垂直的直线系方程是AxByC，，,0
,λ是参变量( BxAy,，,,0
ABAxyBxy,(,),(,)FxyFxy(,,)(,,)0,,,,(5)直线系与线段相交,。 Fxy(,,)0,,11221122
xyrxycossincossin0,,,,，，,,,Pxy(,)?到定点距离为r的直线系方程:00000,(其中是待定的系数)(
||AxByC，，00lPxy(,)83.点到直线的距离 :(点,直线:). AxByC，，,0d,0022AB，
,084. 或所表示的平面区域 AxByC，，,0
,0设直线，则或所表示的平面区域是: lAxByC:0，，,AxByC，，,0
. 第 13页(共30页)
BBB,0若，当与同号时，表示直线l的上方的区域;当与异AxByC，，AxByC，，
l号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
AAB,0l若，当与同号时，表示直线的右方的区域;当与异AxByC，，AxByC，，
l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左。 号时，表示直线
,0()()0AxByCAxByC，，，，,85. 或所表示的平面区域 111222
,0()()0AxByCAxByC，，，，,AxByC，，,0或所表示的平面区域是两直线和111222111AxByC，，,0所成的对顶角区域(上下或左右两部分)。 222
86. 圆的四种方程
222(1)圆的
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
方程 ()()xaybr,，,,.
2222(2)圆的一般方程 xyDxEyF，，，，,0(,0). DEF，,4
xar,，cos,,(3)圆的参数方程 . ,ybr,，sin,,
()()()()0xxxxyyyy,,，,,,Axy(,)(4)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、Bxy(,)). 12121122
87. 圆系方程
Axy(,)(1)过点,Bxy(,)的圆系方程是 1122
()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx,,，,,，,,,,,,, 1212112112
AB,,,，,,，，，,()()()()()0xxxxyyyyaxbyc,,其中是直线的axbyc，，,01212
方程,λ是待定的系数(
22ClxyDxEyF，，，，,0(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是AxByC，，,0
22xyDxEyFAxByC，，，，，，，,,()0,λ是待定的系数(
2222xyDxEyF，，，，,0CxyDxEyF，，，，,0C(3) 过圆:与圆:的交点的22212111
2222xyDxEyFxyDxEyF，，，，，，，，，,,()0圆系方程是,λ是待定的系数( 111222
2222,,,1xyDxEyFxyDxEyF，，，，，，，，，,,()0特别地，当时，就是 111222
()()()0DDxEEyFF,，,，,,表示: 121212
?当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程;
?向两圆所引切线长相等的点的轨迹(直线)方程，有的称这条直线为根轴;
222Pxy(,)(x,a)，(y,b),r88.点与圆的位置关系:点与圆的位置关系有三种 00
22PPdr,,dr,,dr,,daxby,,，,()()若，则点在圆外;点在圆上;点00
P在圆内.
89.直线与圆的位置关系
Aa，Bb，C222(x,a)，(y,b),r直线与圆的位置关系有三种(): Ax，By，C,0d,22A，Bd,r,相离,,,0;d,r,相切,,,0;d,r,相交,,,0.
90.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r， OO,d121212
d,r，r,外离,4条公切线; 12
. 第 14页(共30页)
; d,r，r,外切,3条公切线12
; r,r,d,r，r,相交,2条公切线1212内含内切相交外切相离
; d,r,r,内切,1条公切线12
dr+rddr-rod12. 0,d,r,r,内含,无公切线2112
91.圆的切线方程及切线长公式
22(1)已知圆( xyDxEyF，，，，,0
?若已知切点(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是 00
DxxEyy()()，，00xxyyF，，，，,0 . 0022
DxxEyy()()，，00xxyyF，，，，,0当(,)xy圆外时, 表示过两个切点的切000022
点弦方程(求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定。
?过圆外一点的切线方程可设为yykxx,,,()，再利用相切条件求k，这时必有两00
条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线( ?斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线( ykxb,，
222xyr，,(2)已知圆(
2xxyyr，,Pxy(,)?过圆上的点的切线方程为; 00000
2k?斜率为的圆的切线方程为. ykxrk,,，1
2222lxyDxEyF,，，，，xyDxEyF，，，，,0(,)xy(3) 过圆外一点的切线长为 000000
222xa,cos,,xycbe,,,192.椭圆，,,,1(0)ab的参数方程是. 离心率， ,222yb,sinaaab,,
22ab准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)。 p,cc
2b过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:2. a
22xy93.椭圆，,,,1(0)ab焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 22ab
22a，FPFa21||tanScyb,,PFexaex,，,，()，PFexaex,,,,();。 ,FPFP12122cc94(椭圆的的内外部
2222xyxy00Pxy(,)，,,,1(0)ab,，,1(1)点在椭圆的内部. 002222abab
2222xyxy00Pxy(,)，,,,1(0)ab,，,1(2)点在椭圆的外部. 002222abab
95. 椭圆的切线方程
. 第 15页(共30页)
22xxyyxy00，,1(1)椭圆上一点处的切线方程是. Pxy(,)，,,,1(0)ab002222abab
22xxyyxy00，,1 (2)过椭圆外一点Pxy(,)所引两条切线的切点弦方程是. ，,1002222abab
22xy22222 (3)椭圆与直线相切的条件是. ，,,,1(0)abAxByC，，,0AaBbc，,22ab
222xycbe,,，1的离心率，准线到中心的距离为96.双曲线,,,,1(0,0)ab222aaab
22ab，焦点到对应准线的距离(焦准距)。 p,cc
2b过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为:. 2a
22aa焦半径公式，， PFexaex,，,，|()|||PFexaex,,,,|()|||12cc
，FPF21cotSb,两焦半径与焦距构成三角形的面积。 ,FPF12297.双曲线的内外部
2222xyxy00Pxy(,)(1)点在双曲线的内部. ,,,,1(0,0)ab,,,1002222abab
2222xyxy00Pxy(,)(2)点在双曲线的外部. ,,,,1(0,0)ab,,,1002222abab
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
2222xyxyb(1)若双曲线方程为,渐近线方程:. ,,1,,,0y,,x2222aabab
22xyxyb,,0 (2)若渐近线方程为双曲线可设为. ,,,,,y,,x22abaab2222xyxy(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为 ,,1,,,2222abab
,,0,,0(，焦点在x轴上，，焦点在y轴上).
b(4) 焦点到渐近线的距离总是。
99. 双曲线的切线方程
22xxyyxy00,,1Pxy(,),,,,1(0,0)ab (1)双曲线上一点处的切线方程是. 002222abab
22xxyyxy00,,1Pxy(,) (2)过双曲线,,1外一点所引两条切线的切点弦方程是. 002222abab
. 第 16页(共30页)
22xy22222 (3)双曲线与直线相切的条件是. ,,1AxByC，，,0AaBbc,,22ab
2100. 抛物线的焦半径公式 y,2px
p2CFx,，抛物线焦半径. ypxp,,2(0)02
pCF, (其中θ为x轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转到FC的角) 1cos,,
ppCD,x，，x，,x，x，p过焦点弦长. 121222
2p,CD (其中α为倾斜角) 2,sin
2y22,(,y)(,)xyy,2px
ppt
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pt(2,2)101.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 ,2p
2ypx,2.
2bacb4,22102.二次函数的图象是抛物线: yaxbxcax,，，,，，()(0)a,24aa
22bacb4,bacb41,，(1)顶点坐标为;(2)焦点的坐标为; (,),(,),24aa24aa
241acb,,(3)准线方程是. y,4a
103.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切;以抛物线焦点弦为直径的圆，
必与准线相切;以抛物线的半径为直径径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。 104. 抛物线的切线方程
2y,2pxyypxx,，()Pxy(,)(1)抛物线上一点处的切线方程是. 0000
2yypxx,，()y,2pxPxy(,) (2)过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是. 0000
22ypxp,,2(0)pBAC,2 (3)抛物线与直线相切的条件是. AxByC，，,0
105.两个常见的曲线系方程
,fxy(,)0,fxyfxy(,)(,)0，,,fxy(,)0,(1)过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数). 1212
22xy22kab,max{,}(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程，,1,其中. 22akbk,,222222kab,min{,}min{,}max{,}abkab,,当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.
22ABxxyy,,，,()()106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 1212
2222ABkxxxxxxyyco,，，,,,,，,,，(1)[()4]||1tan||1t,, 21211212
y,kx，b,2(x,y),B(x,y)(弦端点A，由方程 消去y得到，ax，bx，c,0,1122F(x,y),0,
. 第 17页(共30页)
2AB,,0k,为直线的倾斜角，为直线的斜率，||()4xxxxxx,,，,). ,121212107.圆锥曲线的两类对称问题
(1)曲线关于点成中心对称的曲线是Fxxyy(2-,2)0,,. Pxy(,)Fxy(,)0,0000(2)曲线关于直线成轴对称的曲线是 Fxy(,)0,AxByC，，,0
2()2()AAxByCBAxByC，，，，Fxy(,)0,,,. 2222ABAB，，
O特别地，曲线关于原点成中心对称的曲线是. Fxy(,)0,Fxy(,)0,,,
曲线关于直线轴对称的曲线是. Fxy(,)0,Fxy(,)0,,x
y 曲线关于直线轴对称的曲线是. Fxy(,)0,Fxy(,)0,,
曲线关于直线yx,轴对称的曲线是. Fxy(,)0,Fyx(,)0,
曲线关于直线yx,,轴对称的曲线是. Fxy(,)0,Fyx(,)0,,,
l.圆锥曲线的第二定义:动点M到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数，若108e
01,,ee,1e,1，M的轨迹为椭圆;若，M的轨迹为抛物线;若，M的轨迹为双曲线。
109(证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;
(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;
(4)转化为线面垂直;
(5)转化为面面平行.
110(证明直线与平面的平行的思考途径
1)转化为直线与平面无公共点; (
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
111(证明平面与平面平行的思考途径
1)转化为判定二平面无公共点; (
(2)转化为线面平行;
(3)转化为线面垂直.
112(证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;
(2)转化为线面垂直;
(3)转化为线与另一线的射影垂直;
(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
113(证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。
114(证明平面与平面的垂直的思考途径
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直;
(3) 转化为两平面的法向量平行。
. 第 18页(共30页)
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a，=，a( bb
acac(2)加法结合律:(，)，=，(，)( bb
aa(3)数乘分配律:λ(，)=λ，λ( bb
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公
共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
aaa对空间任意两个向量、 (? )，?存在实数λ使=λ( ,bbbb0
PAB、、OPtOAtOB,,，(1)三点共线. ,,,APAB||APtAB,
ABCD、ABCD、、共线且不共线且不共线. ,AB,ABCD||CDABtCD,118.共面向量定理
apxayb,，xy,向量与两个不共线的向量、共面的存在实数对,使( ,pb
MPxMAyMB,，xy,推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使， ,
OPOMxMAyMB,，，xy,或对空间任一定点O，有序实数对，使.
OOPxOAyOBzOC,，，和不共线的三点A、B、C，满足119.对空间任一点
k,1Ok,1()，则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面;当时，xyzk，，,
O,O,若平面ABC，则P、A、B、C四点共面;若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面(
AB、、、 C DADxAByAC,，四点共面与、共面 ,ADAB,,AC
O,ODxyOAxOByOC,,,，，(1)(平面ABC). 120.空间向量基本定理
ac如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，bb
acy，z，使,x，y，z( pb
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，
OPxOAyOBzOC,，，y，z，使.
121.射影公式
,Aalelll已知向量=和轴，是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，作B点在AB
,Bl上的射影，则
,,ABABaeae,,,,,||cos,
122.向量的直角坐标运算
a(,,)aaa(,,)bbb设,，,则 b123123
a(,,)ababab，，，(1) ，,; b112233
a(,,)ababab,,,(2) ,b,; 112233
a(,,),,,aaa(3)λ, (λ?R); 123
aababab，，(4) ?,; b112233
. 第 19页(共30页)
123.设A，B，则 (,,)xyz(,,)xyz111222
= (,,)xxyyzz,,,. ABOBOA,,212121
(空间的线线平行或垂直 124rr
设，，则 axyz,(,,)bxyz,(,,)111222
xx,,,12rrrrrr,abP; ,,yy,abb,,(0),,,12
,zz,,12,rrrr
xxyyzz，，,0ab,ab,,0. ,,121212
125.夹角公式
ababab，，112233a(,,)aaa(,,)bbb设,，,，则. bcos,,,,ab123123222222aaabbb，，，，123123
2222222()()()abababaaabbb，，,，，，，推论 ，此即三维柯西不等式. 112233123123
S底面,cos,,126. 正棱锥的侧面与底面所成的角为，则。 S侧面
1,,,cos特别地，对于正四面体每两个面所成的角为，有。 3127(异面直线所成角 rrrr||xxyyzz，，||ab,121212rr,= cos|cos,|,,ab222222||||ab,xyzxyz，，,，，111222rrooab,,(其中()为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量) 090,,,ab,ab,
AB128.直线与平面所成角
,ABm(为平面的法向量). m,,,arcsin
||||ABm
ABACBC,ABC,129.若所在平面与过若的平面成的角,另两边,与平面成的,,,
AB、,ABC,,角分别是、,为的两个内角，则 12
22222sinsin(sinsin)sin,,,，,，AB. 12
222sinsinsin,,,，,特别地,当时,有. ，,ACB9012
ABACBC,ABC,130.若所在平面与过的平面成的角,另两边,与平面成的角分,,,
'',ABO,,别是、,为的两个内角，则 AB、12
222'2'2tantan(sinsin)tan,,,，,，AB. 12
222sinsinsin,,,，,特别地,当时,有. ，,AOB9012
131.二面角的平面角(根据具体图形确定是锐角或是钝角) ,,,,l
. 第 20页(共30页)
mn,mn,或(，为平面，的法向量). mn,,,arccos,arccos,,
||||mn||||mn
132.三余弦定理 B
设AC是α内的任一条直线，AD是α的一条斜线AB在α内的射影，且BD?AD，垂足为D，设AB与α(AD)所成的角为， ,1,,1A,AD与AC所成的角为， AB与AC所成的角为(则,D,22
coscoscos,,,,. ,C12
133. 三射线定理
若夹在平面角为,的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,,,与二面角的12
2222sinsinsinsin2sinsincos,,,,,,,,，,棱所成的角是θ，则有 ; 1212
||180(),,,,,,,,,，(当且仅当时等号成立). ,,901212
134.空间两点间的距离公式
222d,,，,，,()()()xxyyzz若A(,,)xyz，B(,,)xyz，则=. ||ABABAB,,AB,212121111222
l135.点到直线距离 Q
122PPQlal(点在直线上，为直线的方向向量， =). habab,,,(||||)()b||a
136.异面直线间的距离
||CDn,CD、dd,ll,ll,ll,(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为n121212||n
间的距离).
B137.点到平面的距离 ,
||ABn,ABA,,d,(为平面的法向量，，是的一条斜线段). n,,||n
138.异面直线上两点距离公式
222. dhmnmn,，，2cos,
222'dhmnmnEAAF,，，,2cos,.
222',,,,EAAFdhmnmn,，，,2cos,().
' (两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、AA
'AFn,EFd,F，,,). AEm,
139.三个向量和的平方公式
2222 ()222abcabcabbcca，，,，，，,，,，,
222,，，，,，,，,abcababbcbccaca2||||cos,2||||cos,2||||cos,
llll、、140. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为123
. 第 21页(共30页)
2222222222,则有. ,,,、、llll,，，,，，,coscoscos1,,,,，，,sinsinsin2,,,123123123123
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).
'S141. 面积射影定理 . S,cos,
'S,平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为). (S
142. 斜棱柱的直截面
SVl已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积斜棱柱侧斜棱柱
Scl,VSl,c分别是和S,则?;?。 1111斜棱柱侧斜棱柱
143(作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.
144(棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，
相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的立方比;相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(
145.欧拉定理(欧拉公式)
VFE，,,2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
E(1)=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱n
1EnF,数E的关系:; 2
1EmV,(2)若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系:. m2
432,,VR146.球的半径是R，则其体积,其表面积( SR,4,3
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
6 (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为(正四面体高aa12
13666a的),外接球的半径为a(正四面体高a的). 44343
148(柱体、锥体的体积
1VSh,Sh(是柱体的底面积、是柱体的高). 柱体3
1VSh,Sh(是锥体的底面积、是锥体的高). 锥体3
Nmmm,，，，149.分类计数原理(加法原理):. 12n
. 第 22页(共30页)
150.分步计数原理(乘法原理):Nmmm,，，，. 12n
n～*mA0!,1151.排列数公式 :==.(，?N，且)(规定. mn,n(n,1)？(n,m，1)nmn(n,m)～
nmm,1mmAA,AnmA,,，(1)152.排列恒等式 :(1);(2); nn,1nnnm,
mm,1nnn，1mmm,1AnA,nAAA,,AAmA,，(3); (4); (5). nn,1nnn，1nnn，1(6) . 1!22!33!!(1)!1，,，,，，,,，,nnn
mAn～n(n,1)？(n,m，1)*mnCmN,153.组合数公式:===(?N，，且). mn,nnm1，2，？，mAm～,(n,m)～m
mn,mmm,1m0CCCCCC,1154.组合数的两个性质:(1)= ;(2) +=.规定. nnnn，1nn
155.组合恒等式
nm,，1nmm,1mm,CC,CC(1);(2); nn,1nn,mnm
nnmm,1rn,CCC(3); (4)=; 2,nn,1nmr,0
rrrrr，1C，C，C，？，C,C(5). rr，1r，2nn，1
012rnnC，C，C，？，C，？，C,2(6). nnnnn
135024n,1C，C，C，？,C，C，C，？2(7). nnnnnn
123nn,1C，2C，3C，？，nC,n2 (8). nnnn
,r0r110rrrCC，CC，？，CC,C(9). ，mnmnmnmn
0212222nn(C)，(C)，(C)，？，(C),C(10). 2nnnnn
mmAmC,,～156.排列数与组合数的关系: . nn
157(单条件排列(以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列) nm(1)“在位”与“不在位”
m,1mm,11m,1AA,A,AA?某(特)元必在某位有种;?某(特)元不在某位有(补集思想)n,1nn,1n,1n,1
m1m,1,A，AA(着眼位置)(着眼元素)种. n,1m,1n,1
(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
km,kAA?定位紧贴:个元在固定位的排列有种. k(k,m,n)kn,k
n,k，1kAA?浮动紧贴:个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种. nn,k，1k注:此类问题常用捆绑法;
k,h，1?插空:两组元素分别有k、h个()，把它们合在一起来作全排列，k个的一组互
. 第 23页(共30页)
hkAA不能挨近的所有排列数有种. ，1hh
(3)两组元素各相同的插空
个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法, mn
nAnm，1n,m，1n,m，1当时，无解;当时，有种排法. ,Cm，1nAn
nC(4)两组相同元素的排列:两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为. mn，158(分配问题
(1)(平均分组有归属问题)将相异的个物件等分给个人，各得件，其分配方法数mnmn
(mn)!nnnnn共有. NCCCCC,,,,？,,,mnmn,nmn,2n2nnm(n!)
(2)(平均分组无归属问题)将相异的个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方mnm
法数共有
nnnnnCCC...CC(mn)!,,,,mnmnnmnnnn,,22N,,. mm!m!(n!)
P(P=n+n++n)(3)(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须m12m
nnnnnn被分完，分别得到，，„，件，且，，„，这个数彼此不相等，则其分配方m12m12m
p!m!nnnm12法数共有. NCC...Cm!,,,,ppnn,1mn!n!...n!12m
P(P=n+n++n)(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件m12m
nnnnnn必须被分完，分别得到，，„，件，且，，„，这个数中分别有a、b、c、„m12m12m
nnnm12CC...Cm!,,pm!!,ppnn1mN个相等，则其分配方法数有 . ,,a!b!c!...nnnabc!!...!(!!!...)12m
P(P=n+n++n)nn(5)(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，„，12m12
nnnn件无记号的堆，且，，„，这个数彼此不相等，则其分配方法数有mmm12m
p!N,. n!n!...n!12m
P(P=n+n++n)n(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，12m1
nnnnn，„，件无记号的堆，且，，„，这个数中分别有a、b、c、„个相等，则mm2m12m
p!N其分配方法数有,. n!n!...n!(a!b!c!...)12m
ppnnn,+++(7)(限定分组有归属问题)将相异的()个物体分给甲、乙、丙，„„12m
nnnnn等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，„时，则无论，，„，m12312
n等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 mm
p!nnnm12NCC...C,,,. ppnn,1mn!n!...n!12m
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159(“错位问题”
; 2封信与2个信封全部错位排列数:1
3封信与3个信封全部错位排列数:2;
4封信与4个信封全部错位排列数:9;
5封信与5个信封全部错位排列数:44;
(一般记着上面的就够了)
推广
贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为 nn
1111nfnn,,，,，,()![(1)]. n2!3!4!!
推广: 个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为 nnm
1234fnmnCnCnCnCn(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!,,,，,,,，,mmmm ppmm,，,,，，,,(1)()!(1)()!CnpCnmmm
1234pmCCCCCCpmmmmmmm![1(1)(1)]. ,,，,，,，,，，,n1224pmAAAAAAnnnnnn
xxxm+++,160(不定方程的解的个数 12n
,n,1xxxm+++,nmN,,(1)方程()的正整数解有个. C12nm,1,n,1xxxm+++,nmN,,(2) 方程()的非负整数解有 个. C12nnm，,1,,21,,,inxxxm+++,nmN,,xk,(3) 方程()满足条件(,)的非负kN,12ni
n,1整数解有个. Cmnk，,,,1(2)(1)
n0n1n,12n,22rn,rrnn(a，b),Ca，Cab，Cab，？，Cab，？，Cb161.二项式定理 ; nnnnn
rn,rrT,Cab二项展开式的通项公式. (r,0，1，2？，n)1r，n
nn2fxaxbaaxaxax()(),，,，，，，的展开式的系数关系: 012n
naaaaf,，，，,,,(1)(1)aaaaf，，，，,(1)af,(0);;。 012012n0n
mPA(),162.等可能性事件的概率:. n
163.互斥事件A，B分别发生的概率的和:P(A，B)=P(A)，P(B)( 164.个互斥事件分别发生的概率的和: n
P(A，A，„，A)=P(A)，P(A)，„，P(A)( 12n12n165.独立事件A，B同时发生的概率:P(A?B)= P(A)?P(B). 166.n个独立事件同时发生的概率:
P(A? A?„? A)=P(A)? P(A)?„? P(A)( 12n12n
kknk,PkCPP()(1).,,167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率: nn168.离散型随机变量的分布列的两个性质
. 第 25页(共30页)
(1)Pi,,0(1,2,);(2). PP，，,1i12
169.数学期望:ExPxPxP,,，，，， 1122nn
170.数学期望的性质
(1). EabaEb()(),,，,，
(2)若,,则. ,Bnp(,)Enp,,
1k,1(3) 若服从几何分布,且Pkgkpqp()(,),,,,，则,,. E,p
222171.方差: DxEpxEpxEp,,,,,,,，,,，，,,，，，，，，，1122nn172.标准差:=. ,,D,
173.方差的性质
2(1); DabaD,,，,，，
(2)若,，则. Dnpp,,,(1),Bnp(,)
qk,1Pkgkpqp()(,),,,,(3) 若服从几何分布,且，则,,. D,2p
22174.方差与期望的关系:. DEE,,,,,，，
2x,,，，,1226175.正态分布密度函数:fxex,,,,，,， ,,，，，，,26
式中的实数μ，(>0)是参数，分别表示个体的平均数与标准差. ,,2x,12176.标准正态分布密度函数:. fxex,,,,，,,,，，，，,26
x,,,,2N(,),,177.对于，取值小于x的概率:Fx,,. ，，,,,,,，，，，，，Px,x,x,Px,x,Px,x 10221
xx,,,,,,,,21,,,,. ,,FxFx，，，，,,,,21,,,,,,178.回归直线方程
nn,xxyyxynxy,,,，，，，,,iiii,ii,,11,b,,nn2，其中. yabx,，22,xxxnx,,，，,,ii,ii,,11,aybx,,,
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nn
xxyy,,xxyy,,，，，，，，，，,,iiiii,1i,1179.相关系数 : . r,,nnnn222222()()()()xxyy,,xnxyny,,,,,,iiii,,11,,11iiii|r|?1，且|r|越接近于1，相关程度越大;|r|越接近于0，相关程度越小.
180.特殊数列的极限
0||1q,,
,n(1). lim11qq,,,,,n,不存在或||11qq,,,,
,0()kt,
,kk,1ananaa，，，,kkt,10lim()kt,,(2). ,tt,1n,,bnbnbb，，，ttk,10,
,不存在 ()kt,,
naq1,，，a1n,11S(3)(无穷等比数列 ()的和). aqS,,lim||1q,,,1n,,11,,qq
lim()lim()fxfxa,,. 181. 函数的极限定理:lim()fxa,,,，xx,xxxx,,000
182.函数的夹逼性定理 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x的附近满足: 0(1);(2)lim(),lim()gxahxa,,(常数), gxfxhx()()(),,xxxx,,00
则lim()fxa,.(本定理对于单侧极限和的情况仍然成立.) x,,xx,0
183.几个常用极限
111n,lim0(1)，lim0a,();(2)limxx,，. ,||1a,lim0n,,,,xx,xx,n00nxx0
184.两个重要的极限
x1sinx,,lim1，,e,lim1(1);(2)(e=2.718281845„). ,,x,,x,0xx,,
185.函数极限的四则运算法则
lim()fxa,lim()gxb,若，，则 xx,xx,00
fx，，alim，，fxgxab,,,lim，，fxgxab,,,(1);(2); (3). lim0,,b，，，，，，，，，，，，，，xx,xx,xx,000gxb，，
186.数列极限的四则运算法则
若lim,limaabb,,，则 nn,,,,nn
aanlimabab,,,limabab,,,(1);(2);(3) lim0,,b，，，，，，nnnn,,,,nn,,nbbn
. 第 27页(共30页)
(4)( c是常数). limlimlimcacaca,,,,,，，nn,,,,,,nnn
187.在处的导数(或变化率或微商) xf(x)0
fxxfx()()，,,,y00,,fxy()limlim,,,. xx,00,,,,xx00,,xx
,，,,ssttst()(),,,,,st()limlim188.瞬时速度:. ,,,,tt00,,tt
,，,,vvttvt()(),avt,,,()limlim189.瞬时加速度:. ,,,,tt00,,tt
dydf,，,,yfxxfx()(),,fxy(),,,,,limlim190.在的导数:. f(x)(a,b),,,,xx00dxdx,,xx191. 函数在点x处的导数的几何意义 y,f(x)0
,P(x,f(x))函数在点x处的导数是曲线在处的切线的斜率f(x)，y,f(x)y,f(x)0000
,y,y,f(x)(x,x)相应的切线方程是. 000
192.几种常见函数的导数
n,1n,,,C,0()()xnxnQ(1) (C为常数).(2) ,,.(3) . (sinx),cosx
11,,,(lnx),xe,(log)log(4) . (5) ;. (cosx),,sinxaaxx
xxxx,,(e),e(a),alna(6) ; .
193.导数的运算法则
''uuvuv,'''''''()uvuv,,,()uvuvuv,，(1).(2).(3). ()(0),,v2vv194.复合函数的求导法则
,,设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数ux,(),ux,,()xy,f(u)xx
,,,,,yyu,,yfu,()，则复合函数在点处有导数，且，或写作yfx,(()),xxuxu
,,,fxfux(())()(),,,. x
x195.常用的近似计算公式(当充分小时)
111,n1，x,1，xxx,1,x1，,1，(1)1()，,，,xxR,,(1);;(2); ; 1，x2n
xsinx,xl(1，x),x(3);(4);(5)(为弧度); xe,1，xn
tanx,xarctanx,x(6)(为弧度);(7)(为弧度) xx
f(x)196.判别是极大(小)值的方法 0
x当函数在点处连续时， f(x)0
,,xf(x)(1)如果在附近的左侧，右侧，则是极大值; f(x),0f(x),000
,,xf(x)(2)如果在附近的左侧，右侧，则是极小值. f(x),0f(x),000
. 第 28页(共30页)
197.复数的相等:.() abicdiacbd，,，,,,,abcdR,,,,
22zabi,，198.复数的模(或绝对值)==. ||z||abi，ab，199.复数的四则运算法则
(1); ()()()()abicdiacbdi，，，,，，，
(2); ()()()()abicdiacbdi，,，,,，,
(3); ()()()()abicdiacbdbcadi，，,,，，
acbdbcad，,()()(0)abicdiicdi，,，,，，,(4). 2222cdcd，，
200.复数的乘法的运算律
对于任何zzzC,,,，有 123
zzzz,,,交换律:. 1221
()()zzzzzz,,,,,结合律:. 123123
zzzzzzz,，,,，,()分配律: . 1231213
201.复平面上的两点间的距离公式
22dzzxxyy,,,,，,||()()zxyi,，zxyi,，(，). 111222122121
202.向量的垂直
OZzabi,，zcdi,，非零复数，对应的向量分别是，，则 OZ2121
z2222zz,||||||zzzz，,， 的实部为零为纯虚数 ,,,OZOZ,12121212z1
222||||||zzzz,,，acbd，,0||||zzzz，,,ziz,,,,,, 1212121212
(λ为非零实数).
203.实系数一元二次方程的解
2实系数一元二次方程， axbxc，，,0
2,,,bbac42x,?若,则; ,,,,bac401,22a
b2xx,,,?若,则; ,,,,bac40122a
2RC?若，它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数,,,,bac40
2,,,,bbaci(4)2Axbac,,,(40)根. 2a
，A,ABC204.三角形的内角平分线性质:在中，的平分线交边
BDBA,BC于D，则。 BCDDCAC
(三角形的外角平分线也有同样的性质)
205. 数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法(
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:
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(1)证明:当n取第一个值n结论正确; 0*(2)假设当n=k(k?N，且k?n)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确. 0
新疆王新敞奎屯由(1)，(2)可知，命题对于从n开始的所有正整数n都正确 0
206.有理不等式解集的端点，恰好就是其对应的“零点”(就是对应方程的解和使分母为零
的值).
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浙公网安备 33021202002483