用四面体也可推导球的体积公式
中学数学杂志(高中)2001年第3期21
用四面体也可推导球的体积公式
费县师范学校273400尹成江
淄博十七中张玲
应用祖咂原理,推导球的体积公式,』,们已经
发现根多
方法
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,但这些方法太都是先推出了半球的
体积公式,然后再得出球体的体积公式的,况且在推
导半球的体积公式时,所构造的辅助体也并不简单.
本文将巧构四面体.直接推导球的体积公式.我们先
给出
引理如果一个四面体的两条相对棱的长分
别为a,b,它们的距离为d,所成的角为日,那么它的
l
体积是V=言.n日.
证明详见文[1].
下面我们推导半径为R的球的体积公式:
V=?.
j
证明设四面体AB(33的两条对棱AB和CD
互相垂直且它们的长均为2?,它们的距离为
2R(见下图).
再设过加
且平行于CD的
平面为0,过四
且平行于AB的
平面为口,由现
行高中课本《立
体几何}(1990
年1O月第l版)
习
题
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五37页第7题可知,口///且与的距离为
2R
故半径为R的球体可以夹在平面.与口之间.用
平行于这两个平面的任意平面去截这两个几何体.
显jl=},球的截面是圆面,若设截平面与平面的距离
为t(o??2R),则
S目=r=[R一(一R):]
=
(2tR—f),
而四面体的截面EFGH为矩形,事实上:
因为C.D//EF,cDi//GH,所以EF//GH,
同理:FGi//Eli.所以四边形EFGH为平行四
边形:
叉AB与CD所成角为90.,所以EF与FG所成
角也为,所以四边EFGH为矩形.
叉截面到平面的距离为,平面.到平面卢为
2R,所慧=器=i:,又蔷
=:
铲=l一鬈:l一去.所EF
:
(1—2~)CD,又AB=(39:2R,所以矩形
EFGH的面积.
=FG×EF
=×(1一)?
=
(1一)×4
=
r2一).
所以Snn=S~c,H.
由祖咂原理得,上述两个几何体的体积相等.
而由弓f理又蜘,四面体ABcD的体积为
吉ABcD×2R×sln0
=×2×2R×2R×1
:R3.
故V璋=?R
参考文献
[i]韩绍文.四面体的两个体积公式.数学通报,
l997.3
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