幂零矩阵的J标准型

幂零矩阵的J 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 3-幂零矩阵的Jordan 标准型 数学系 01数本 2001141130 林荣珍 指导老师:杨忠鹏 摘要:本文主要对2-幂零矩阵，3-幂零矩阵的Jordan标准型进行探讨，对2-幂零矩阵，给出了2-幂零矩阵的Jordan标准型的形式，并指出若固定秩，则有唯一的Jordan标准型，对n阶3-幂零矩阵，文中推导出其秩的范围和其Jordan标准型的个数，并给予证明，若其秩为一固定值，文中推导出了它的Jordan标准型的个数，并给予证明。 关键词:k-幂零矩阵征值;2-幂零矩阵;3-幂零矩阵;若当形矩阵;Jordan标准型;特征 多项式;特征根;初等因子;秩 0、引言 nn，nn，AC,Pnn，定义1:设( 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示复数域C上全体矩阵)，若存在正整数k，使得 kk,1AA,,0,0，则称A是幂零指数为k的幂零矩阵记为k-幂零矩阵 2AA,,0,0特别地，当k=2时，即矩阵A满足，称A为2-幂零矩阵 23AA,,0,0当k=3时，即矩阵A满足，称A为3-幂零矩阵。 ,,,,,定义2:形式为的矩阵称为J块，其中是复数，由若干个若当Jt(,)1,,,,, ,,01,,,tt， 块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。 定义3:每个阶的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若 当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的Jordan标准型。 目前关于幂零矩阵的Jordan标准型，仅有文[1]的关于2-幂零矩阵的研究探讨，有以 下三个性质: J,,1,,性质1:当k=2即复数域C上的n阶2-幂零矩阵A的Jordan标准型为，,,,,Jm,, 0，， ,,m1,,kim,,0,1,2;1,2kn,其中J()，，且至少存在一,,iii,,i,1,,10，，，kkii 1 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 00，，k,2个j，使即至少存在一个 J,jk,,j10，， n，，r,性质2:设C是复数域，而A是C上2-幂零矩阵，设A的秩为r，则，而A的,,2，， 00，， ,,10,, ,, ,,0000，，,,Jordan标准型为，其中对角线上有r个。 ,,,,1010，，,,0,, ,, ,, 0,,，， 性质3:两个2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相同。 1、引理 引理1.1:A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为0。 证明:可见文[2] 0，， ,,1kl,,(0,),Jk(0,)0,,Jklk(0,)0,(1),,,Jk引理1.2:设，则，而。 ,, ,,10，，kk， J,,1,,引理1.3:复数域C上的k-幂零矩阵A的标准型具有形式， ,,,,J,,m 0，， ,,1,,kk,kkim,,0,1;1,2其中()，且至少存在一个若当块，使。 J,jii,, ,,10，，，kkiin证明:因为A为幂零矩阵，故A的特征值全为0，于是A的特征多项式为,。设幂零 mkkkk1,im2kn,矩阵的A的初等因子为可能相同，且)，每一个初等因子,对,,,(kk,i1mi,1 J,,1,,0,,kk应一个J块()，这些J块构成一个若当形矩阵 i,,,,Jm,, 2 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 0，， ,,1,,kk,因为A为k-幂零矩阵，所以J中存在即至少存在一个j，使 J,jkj,, ,,10，，kk， 即命题成立。 由引理1.3，易证得关于2-幂零矩阵的那三个性质是成立的 2、主要结果及证明 J,,1,,由引理1.3我们知道n阶k-幂零矩阵A的Jordan标准型为，其中,,,,J,,m0，， ,,m1,,kkim,,0,1;1,2kn,kk,()，且至少存在一个j，使 J,,jiii,,i,1,,10，，，kkii 当k=2，由推论3，任一个2-幂零矩阵，若它的秩确定，则它有唯一的一种Jordan标 准型。 那么对于k ，(k为大于2的正整数)任一个k-幂零矩阵,若它的秩固定，它是否也有 唯一的Jordan标准型，若不唯一，它又含有多少种的Jordan标准型, 下面我们对3-幂零矩阵进行探讨: J,,1,,设A为n 阶3-幂零矩阵，由引理1.3知A的Jordan标准型为，,,,,Jm,,0，， ,,m1,,kim,,0,12,3;1,2kn,k,3()，，且，至少存在一个j，使 J,,jiii,,i,1,,10，，，kkii kkk,,,k,3不妨设，则 12m1 kn,3,411im,1,2下面我们对讨论的值的情况()及所对应的A的秩r i (下面括号里的数表示秩的大小) n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 3 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 3=3(2) 4=3+1(2) 5=3+1+1(2) 6=3+1+1+1(2) 7=3+1+1+1+1(2) 8=3+1+1+1+1+1(2) k,31 02,,ki 5=3+2(3) 6=3+2+1(3) 7=3+2+1+1(3) 8=3+2+1+1+1 (3) (2,3)im, 7=3+2+2(4) 8=3+2+2+1(4) kk,3,12 6=3+3(4) 7=3+3+1(4) 8=3+3+1+1(4) 02,,ki (3,4)im, 8=3+3+2(5) n=9 n=10 n=11 (2) (2) (2) 10311,，，，9311,，，，11311,，，， (3) (3) (3) 113211,，，，，93211,，，，，103211,，，，，k,31 02,,ki(4) (4) (4) 932211,，，，，10322111,，，，，，1132211,，，，，(2,3)im, (5) (5) 1032221,，，，，11322211,，，，，， (6) 1132222,，，，， (4) (4) (4) 93311,，，，，113311,，，，，103311,，，，，kk,3,12 02,,ki(5) (5) (5) 11332111,，，，，，93321,，，，1033211,，，，， (3,4)im, (6) (6) 1133221,，，，，103322,，，， kkk,,3,123 (6) (6) 1133311,，，，，9333,，，103331,，，， 02,,ki (4,5)im, (7) 113332,，，，同理我们可以得出n,12,13的情况 将n,3,4列表，得到阶数为n的3-幂零矩阵，当其秩为r时所含有的不同的Jordan 标准型的个数(空格表示0) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3 1 4 1 5 1 1 6 1 1 1 7 1 1 2 8 1 1 2 1 9 1 1 2 2 1 10 1 1 2 2 2 11 1 1 2 2 3 1 12 1 1 2 2 3 2 1 13 1 1 2 2 3 3 2 4 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 14 1 1 2 2 3 3 3 1 15 1 1 2 2 3 3 4 2 1 16 1 1 2 2 3 3 4 3 2 17 1 1 2 2 3 3 4 4 3 1 18 1 1 2 2 3 3 4 4 4 2 1 19 1 1 2 2 3 3 4 4 5 3 2 20 1 1 2 2 3 3 4 4 5 4 3 1 21 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 4 2 1 22 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 3 2 23 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 4 3 1 24 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 5 4 2 1 25 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 5 3 2 26 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 4 3 1 27 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 5 4 2 1 28 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 6 5 3 2 29 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 6 4 3 1 30 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 5 4 2 1 31 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 6 5 3 2 32 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 7 6 4 3 1 33 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 7 5 4 2 1 34 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 8 6 5 3 2 35 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 7 6 4 3 1 36 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 8 7 5 4 2 1 由上述表格，我们可以得出 ,n，，2(3,0,1)，,，,nqrr,,,3,，，r,定理2.1:n阶3-幂零矩阵，它的秩 ,n，，,21(3,2)，，,，,nqrr,,,3，，, 证明:利用引理1.3及秩的性质显然。 定理2.2:设秩为r的n阶3-幂零矩阵的Jordan标准型共有种， l naee,，,4,(0,1,2,3)其中 则若e=1,2,3时， 5 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 rr，，，，,al,当，则 ,,,,22，，，， rrr，，,a当，若为整数，即存在一个正整数b,使得,a+b ,,222，， rr,1r，，,a若不是整数，则为整数，因为 ,,222，， r,1r,1，，,a所以即存在一个正整数b,使得=a+b ,,22，， r,,，,,，，ablabe,31,,2则若(e=1,2,3) ,r,1,,，,,，,ablabe,31,,2 若 e,0, r，1r，，，，,al,当则, ,,,,22，，，， r,,，,,，，ablabe,31,r，1，，2,a当则若 ,,,r,12，，,,，,,，,ablabe,31,,2 rr，，，，,al, 即若，当，则 na,，41,,,,22，，，， r,,，,,，ablab,32,,2当 ,r,1,,，,,ablab,3,,2 rr，，，，,al, 若，当，则 na,，42,,,,22，，，， r,,，,,，ablab,33,,2当 ,r,1,,，,,，ablab,31,,2 rr，，，，,al,na,，43, 若当，则 ,,,,22，，，， r,,，,,，ablab,34,,2当 ,r,1,,，,,，ablab,32,,2 r，1r，，，，,al, 若，若则, na,4,,,,22，，，， 6 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 r,,，,,，ablab,31,r，1，，2,a若当 ,,,r,12，，,,，,,,ablab,31,,2 其中b表示正整数。 证明:当时， na,，41, kkk1) 若讨论的值及秩r(表格中括号里的数表示秩的个数) acnc,,，3,12112m 0,, ,,J(0,3)10, 令即J(0，3)表示3阶Jordan块 ,,,,10,, m kn, ,ikkk的值 12mi,1 01(2) ,,121311c，,，，，的A的Jordan 即含1个,,122c,01,,,,(3) 0,,1213211c，,，，，，k,31124c,标准型为的各一个 rc,，261 02,,ki(4) 12132211c，,，，，，， (2,3)im, (6c+1) 1213222c，,，，，，61c, (4) 1213311c，,，，，，01,,含2个的A的Jordan标准型 ,,(5) 12133211c，,，，，，，01,,kk,3,12,,(6) 121332211c，,，，，，，，0 ,,02,,ki为的各一个 rc,，461 (3,4)im,(6c+1) 12133221c，,，，，，， (6) 12133311c，,，，，，，01,,的A的Jordan标准型 含3个,,k,3(7) s121333211c，,，，，，，，01,,,,(1,2,3)s,(8) 121332211c，,，，，，，，0,,02,,k为的各一个 irc,，662 (6c+2) 12133221c，,，，，，，(4,5)im, (4) 1213311c，,，，，，01,,的A的Jordan标准型 含4个,,k,3(5) s12133211c，,，，，，，01,,,,(1,24)s,(6) 121332211c，,，，，，，，0,,02,,k为的各一个 irc,，862 (6c+1) 12133221c，,，，，，，(5,6)im, (4) 1213311c，,，，，，01,,的A的Jordan标准型 含5个,,k,3(5) s12133211c，,，，，，，01,,,,(1,25)s,(6) 121332211c，,，，，，，，0,,02,,k为的各一个 irc,，1063 (6c+1) 12133221c，,，，，，，(6,7)im, 7 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 同理可得 含7个的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各一个 J(0,3)rc,，1464含8个J(0，3)的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各一个 rc,，1664含9个J(0，3)的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各一个 rc,，1865含10个J(0，3)的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各一个 rc,，2065 aaaaa,,,,,2,6,10,14,18,不妨设可看到数列 6162636465ccccc，，，，， {}24(1)42aff,，,,,， 6cf， r当设至少存在x个J(0，3)， ,，,，,，abrabcb,2262,2 axb,,,282则有， ？,,xb4162cb， r,1 ,，,，，,，，abrabcb,221621,2 设至少存在y个J(0，3)， ayb,,，282则有， ？,，yb41621cb，， 即含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各41b,rbcb,,，8262 一个 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各一个 rbcb,，8624b 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各41b，rbcb,，，，82621 一个 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各rbcb,，，，8462142b， 一个 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的各一个 rcc,,82841c, 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的一个 4crc,8 rrrr12,，，，，，，,,ac3,，,，,，,3,61,1crcl所以，当即 ,,,,,,22222，，，，，， rr，，,,ac3,，,，,，abrabcb,2262,若 ,,22，， 62(82)cbb，,, lcbab,，,,，,,，1332322 r,1若 ,，,，，,，，abrabcb,221621,2 621(82)1cbb，，,，， lcbab,,,,,3332 kkkacnc,，,，31,1252)若同上，讨论的值及秩r，可得 12m含1个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，263 8 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 含2个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，463含3个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，664含4个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，864 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,,，，8262241b, 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，86224b 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 41b，rbcb,，，，82621含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，，8462342b， 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rcc,，8824c rcc,，，82,83含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 41c， rrr12,r，，，，，，,,，ac31,，，,，,，,31,63,1crcl所以，当即 ,,,,,,22222，，，，，， rr，，,,，ac31 若 ,，,，,，，abrabcb,22622,,,22，， 622(82)cbb，，,, lcbab,，,,，,,，1333322 r,1若 ,，,，，,，，abrabcb,221623,2 623(82)1cbb，，,，， lcbab,,,，,,33132 3)若acncc,，,，，,，32,4(32)1129，同上，可得 含1个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，265含2个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，465含3个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，666含4个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，866 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 41b,rbcb,,，，82624含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，86244b 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，，8262541b， 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 42b，rbcb,，，，84625 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 42c，rcc,，，8485含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵一个 rc,，8643c， 9 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 rrrr12,，，，，，，,,，ac32,，，,，,，,32,65,1crcl所以，当即 ,,,,,,22222，，，，，， rr，，,,，ac32若 ,，,，,，，abrabcb,22624,,,22，， 624(82)cbb，，,, lcbab,，,,，,,，1334322 r,1若 ,，,，，,，，abrabcb,221625,2 625(82)1cbb，，,，， lcbab,,,，,,33232 rr，，，，,al,综上，当时， 若，则 na,，41,,,,22，，，， r,,，,,，ablab,32,r,，，2,a若时，若 ,,,r,12，，,,，,,ablab,3,,2 同上讨论可得 当时， na,，42 1)若时， acnc,,，3,122 含1个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，261含2个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，462含3个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，662含4个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，863 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,,，846241b, 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,,，82624b 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 41b，rbcb,，，8621含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，，8262142b， 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 41c,rcc,,828含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rcc,，8814c rrr12,r，，，，，，,，,，,，,3,61,1crcl,a所以，当即 ,,,,,,22222，，，，，， rr，，,,ac3若,，,，,，abrabcb,2262, ,,22，， 62(84)cbb，,, lcbab,，,,，,,，1333332 10 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 r,1若 ,，,，，,，，abrabcb,221621,2 62181cbb，，,， lcbab,,,，,,，331312 2)若时 acnc,，,，31,126 含1个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，263含2个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，464含3个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，664含4个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，865 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 42b,rbcb,,，，84622含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,,，，8262241b, 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，86234b 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 41b，rbcb,，，，82623 rcc,，，82,83含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 41c， 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵一个 42c，rc,，84 rrr12,r，，，，，，,,，ac31,，，,，,，,31,63,1crcl所以，当即 ,,,,,,22222，，，，，， rr，，,,，ac31若 ,，,，,，，abrabcb,22622,,,22，， 622(84)cbb，，,, lcbab,，,,，,,，1334332 r,1若 ,，,，，,，，abrabcb,221623,2 62381cbb，，,， lcbab,,,，,,，332312 acncc,，,，，,，32,4(32)212103)若时 含1个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，265含2个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，466含3个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，666含4个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，867 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,,，，8462442b, 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 41b,rbcb,,，，82624 11 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，86254b 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，，8262541b， 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的各一个 rcc,，，848642c， 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的一个 rc,，8643c， rrr12,r，，，，，，,,，ac32,，，,，,，,32,65,1crcl所以，当即 ,,,,,,22222，，，，，， rr，，,,，ac32若 ,，,，,，，abrabcb,22624,,,22，， 624(84)cbb，，,, lcbab,，,,，,,，1335332 r,1若 ,，,，，,，，abrabcb,221625,2 62581cbb，，,， lcbab,,,，,,，333312 rr，，，，,al,综上，当时， 若，则 na,，42,,,,22，，，， r,,，,,，ablab,33,r,，，2,a时，若 ,,,r,12，，,,，,,，ablab,31,,2 当时 na,，43 1)若acnc,,，3,123时， 含1个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，262含2个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，462含3个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，663含4个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，863 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,,，866243b, 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 42b,rbcb,,，8462含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,,，，8262141b, 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，86214b 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rcc,，8814c 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵一个 rc,，8241c， rr,2，，，，l,，,1所以，当时， rc,，62,,,,22，，，， 12 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 rrr12,r，，，，，，,a,，,，,，,3,61,1crcl所以当即 ,,,,,,22222，，，，，， rr，，,,ac3若 ,，,，,，abrabcb,2262,,22，， 62(86)cbb，,, lcbab,，,,，,,，1334342 r,1若 ,，,，，,，，abrabcb,221621,2 621(82)1cbb，，,,， lcbab,,,，,,，332322 2)若时 acnc,，,，31,127 含1个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，264含2个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，464含3个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，665含4个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，865 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,,，，8662243b, 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,,，，8462242b, 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 41b,rbcb,,，，82623含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，86234b 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 41c，rcc,，，8284含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵一个 rc,，8442c， rr,2，，，，l,，,1所以，当时， rc,，64,,,,22，，，， rrrr12,，，，，，，,,，ac31,，，,，,，,31,63,1crcl所以，即 ,,,,,,22222，，，，，， rr，，,,，ac31若,，,，,，，abrabcb,22622, ,,22，， 622(86)cbb，，,, lcbab,，,,，,,，1335342 r,1若 ,，,，，,，，abrabcb,221623,2 623(82)1cbb，，,,， lcbab,,,，,,，332322 acncc,，,，，,，32,4(32)11293)若 含1个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，266 13 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 含2个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，466含3个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，667含4个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，867 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,,，，8662443b, 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 42b,rbcb,,，，84624含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,,，，8262541b, 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，86254b 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rcc,，，848642c， rcrc,，,，86,87含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 43c， rr,2，，，，l,，,1所以，当时， rc,，66,,,,22，，，， rrr12,r，，，，，，,,，ac32,，，,，,，,32,65,1crcl即 ,,,,,,22222，，，，，，rr，，,,，ac32若 ,，,，,，，abrabcb,22624,,,22，， 624(86)cbb，，,, lcbab,，,,，,,，1336342 r,1若 ,，,，，,，，abrabcb,221625,2 625(82)1cbb，，,,， lcbab,,,，,,，334322 rr，，，，,al,综上，当时， 若，则 na,，43,,,,22，，，， r,,，,,，ablab,34,r,，，2,a时，若 ,,,r,12，，,,，,,，ablab,32,,2 当时 na,4 acnc,,3,121)若时，同上，可得 含1个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,26含2个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，461含3个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，661含4个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，862 14 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，8624b 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，826241b， 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 42b，rbcb,，，，84621 个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，，8462143b， 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 41c,rcc,,,8281含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵一个 rc,84c rr,2，，，，l,，,1所以，当时， rc,6,,,,22，，，， r，1rrr，,112，，，，，，,a,，,,，,3,6,1crcl即即 ,,,,,,22222，，，，，， r，1r，，,,ac3若 ,，,，,，abrabcb,2262,,,22，， 628cbb，, lcbab,，,,，,,，1331312 r,1若 ,，,，，,，，abrabcb,221621,2 621(84)1cbb，，,，， lcbab,,,,,,,331312 acnc,，,，31,1242)若时， 含1个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，262含2个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，463含3个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，663含4个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，864 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，86224b 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，，8262241b， 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，，8462342b， 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，，8662343b， 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rcc,，8824c 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵一个 rc,，8241c， rr,2，，，，l,，,1所以，当时， rc,，62,,,,22，，，， r，1rrr，,112，，，，，，,,，ac31,，，,，,，,31,62,1crcl当即 ,,,,,,22222，，，，，， 15 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 r，1r，，,,，ac31若 ,，,，,，，abrabcb,22622,,,22，， 622(82)cbb，，,, lcbab,，,,，,,，1333322 r,1若 ,，,，，,，，abrabcb,221623,2 623(82)1cbb，，,，， lcbab,,,，,,33132 3)若时，同上，可得 acncc,，,，,，32,4(32)128 含1个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，264含2个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，465含3个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，665含4个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rc,，866 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 4brbcb,，，8624含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，，8262441b， 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rbcb,，，，8462542b， 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 43b，rbcb,，，，86625 含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 rcc,，，828441c， rcc,，，84,85含个J(0，3)的A的Jordan标准型为的矩阵各一个 42c， rr,2，，，，l,，,1所以，当时， rc,，64,,,,22，，，， r，1rrr，,112，，，，，，,,，ac32,，，,，,，,32,64,1crcl所以，当即 ,,,,,,22222，，，，，， r，1r，，,,，ac32 若,，,，,，，abrabcb,22624, ,,22，， 6248cbb，，, lcbab,，,,，,,，1333312 r,1若 ,，,，，,，，abrabcb,221625,2 625(84)1cbb，，,，， lcbab,,,，,,,331312 r，1r，，，，,al,综上，当时， 若，则 na,4,,,,22，，，， r,,，,,，ablab,31,r，1,，，2,a时，若 ,,,r,12，，,,，,,,ablab,31,,2 16 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 r，，推论1:若n阶3-幂零矩阵的秩为r，则它至多存在种Jordan标准型; 特别地，,,2，，当r=2及r=3时，它只有一种Jordan标准型。 则有下面推论: 推论2:秩不大于3的两个3-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相等。 由定理2.2，我们还可以得到n阶3-幂零矩阵的所有Jordan标准型的个数，即下面定理: 定理2.3:设n阶3-幂零矩阵的Jordan标准型共有m种，则: 当， na,，41 maaaaaaa,，，，，，，，,，,，,，,，,，(11)(22)()1((3)(4))((6)(7)) 4222若 acmaacc,,，,，3,12233 4222 acmaacc,，,，,，，31,1210233 42122 acmaacc,，,，，,，，32,12187333 当， na,，42 maaaaaaa,，，，，，，，，,，,，,，,，(11)(22)()((2)(3))((5)(6)) 422若 acmaacc,,，,，3,()1243 4122 acmaacc,，,，，,，，31,()1212333 422 acmaacc,，,，,，，32,()122083 当， na,，43 maaaaaaa,，，，，，，，，，,，,，,，,，(11)(22)()1((1)(2))((4)(5)) 422若 acmaacc,,，，,，，3,2112613 4222 acmaacc,，,，，,，，31,21214433 4222 acmaacc,，,，，,，，32,212221033 当， na,4 maaaaaaa,，，，，，,，,，，,，,，,，,，(11)(22)(11)((1)(2))((4)(5)) 422若 acmac,,,3,123 4122 acmacc,，,,,，，31,128133 4122 acmacc,，,,,，，32,1216533 17 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 证明:当时， na,，41 r 2 3 4 5 6 7 21a，23a，24a，25a，2a22a，26a， aaa 1 1 2 2 3 3 -3 a,4la,1a,7a,6所以 maaaaaaa,，，，，，，，,，,，,，,，,，(11)(22)()1((3)(4))((6)(7))当时 ac,3 maaaaaaa,，，，，，，，,，,，,，,，,，，，，(11)(22)()1((3)(4))((6)(7))(65)32) (1)(11)(12)aaaa,，,，,,，，,aa(1)26 4222,，,，aacc12233 当时 ac,，31 maaaaaaa,，，，，，,，,，,，,，,，，，(11)()1((3)(4))((6)(7))(43)1 (1)(11)(1)(22)aaaa,，,,，,,，，,aa(1)26 4222,，,，，aacc1210233 当时 ac,，32 maaaaaaa,，，，，，,，,，,，,，,，，，，(11)()1((3)(4))((6)(7))(54)(21) (1)(11)(2)(32)aaaa,，,,，,,，，,aa(1)26 42122,，，,，，aacc12187333 当时， na,，42 r 2 3 4 5 6 7 2a21a，22a，23a，24a，25a，26a， aaa 1 1 2 2 3 3 a,2a,3a,5a,6l maaaaaaa,，，，，，，，，,，,，,，,，(11)(22)()((2)(3))((5)(6))所以 当时 ac,3 maaaaaaa,，，，，，，,，,，,，,，，，(11)()((2)(3))((5)(6))(43)1 aaaa(1)(12)，,，,，，,aa(1)26 422,，,，()124aacc3 当时 ac,，31 maaaaaaa,，，，，，，,，,，,，,，，，，(11)()((2)(3))((5)(6))(54)(21) 18 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 aaaa(1)(1)(31)，,，,,，，,aa(1)26 4122,，，,，，()12123aacc33 当时 ac,，32 maaaaaaa,，，，，，，,，,，,，,，，，，(11)()((2)(3))((5)(6))(65)(32) aaaa(1)(1)(11)，，，,,，，,aa(1)26 422,，,，，()12208aacc3 时， na,，43 所以 r 2 3 4 5 6 7 2a24a，26a，21a，23a，25a，22a， aa 1 1 2 2 3 3 a，1a,1a,2la,5a,4所以maaaaaaa,，，，，，，，，，,，,，,，,，(11)(22)()1((1)(2))((4)(5)) 当时 ac,3 maaaaaaa,，，，，，，，,，,，,，,，，，，(11)()1((1)(2))((4)(5))(54)(21) (1)(2)(3)aaaa，，，,，，,aa(1)26 422,，，,，，aacc2112613 当时 ac,，31 maaaaaaa,，，，，，，，,，,，,，,，，，，(11)()1((1)(2))((4)(5))(65)(32) (1)(2)(2)(1)aaaa，，，，,，，,aa(1)26 4222,，，,，，aacc21214433 当时 ac,，32 maaaaaaa,，，，，，，，,，,，,，,，，，(11)()1((1)(2))((4)(5))(43)1 (1)(2)(1)(2)aaaa，，，，,，，,aa(1)26 4222,，，,，，aacc212221033 当时， na,4 r 2 3 4 5 6 7 22a,21a,2a21a，22a，23a，24a， aa 1 1 2 2 3 3 -1 a,5a,1la,1a,2a,4 maaaaaaa,，，，，，,，,，，,，,，,，,，(11)(22)(11)((1)(2))((4)(5))所以 当时 ac,3 19 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 maaaaaaa,，，，，，,，,，，,，,，,，,，，，，，(11)(22)(11)((1)(2))((4)(5))(65)(32) aaaa(1)(3)(33),,，,,,，，,aaa(1)26 422,,ac123 当时 ac,，31 maaaaaaa,，，，，，,，,，，,，,，,，,，，，，，(11)(22)(11)((1)(2))((4)(5))(54)(21) aaaa(1)(1)(13),,，,,,，，,aaa(1)26 4122,,,，，acc128133 当时 ac,，32 maaaaaaa,，，，，，,，,，，,，,，,，,，，，，(11)(22)(11)((1)(2))((4)(5))(43)1 aaaa(1)(2)(23),,，,,,，，,aaa(1)26 4122,,,，，acc1216533 综上，命题得证。 3、 例题 22阶3-幂零矩阵，它的秩最大可能达到多少,共存在多少种Jordan标准型,若它的秩为8，则存在多少种Jordan标准型,若秩为13呢, ,n，，2(3,0,1)，,，,nqrr,,,322，，,，，r,，，21解:因为r,，而，所以=14 22371,，，,,,3n，，，，,21(3,2)，，,，,nqrr,,,3，，, 22452,5312,1220840,，，,，，？,，，,m而 8，，,,？,45,4l,,2，， 13131,，，，，,,,,，？,,，,65,6515313l,,,,22，，，， 所以22阶3-幂零矩阵，它的秩最大可能达到多14，共存在40种Jordan标准型，若它的秩为8，则存在4种Jordan标准型，若秩为13，存在3种Jordan标准型 20 莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文 参考文献: [1]:李殿龙，隋思涟.2-幂零矩阵的Jordan标准型[J].青岛建筑 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 学报.2001， 22[3]，(83,85) [2]:韩道兰，罗雁，黄宗文.幂零矩阵的性质及其应用[J].玉林师范学院学报(自然 科学).2003，24[4]. [3]:北京大学数学系.高等代数[M].高等教育出版社.2001(318,319，350,55) [4]:袁秉成.高等代数[M].东北师大出版社.1992(180,222) [5]:华罗庚，万哲先.典型群[M].科技出版社.1963(45,60) [6]:赵树嫖.线性代数[M].中国人民出版社.1997(107) [7]:张远达.线性代数原理[M].上海教育出版社。1997(140) [8]:陈景良，陈向辉.特殊矩阵[M].清华大学出版社.2001(205,236) [9]:程云鹏.矩阵论(第二版)[M].西北工业大学出版社.2000(168,196) [10]:P.Lancaster and M.Tismenetsky. The theory of matrix with application[M]. 2nd edn. Acaden Press, New York, 1985 Abstract In this paper, it mainly about Jordan’s Normal Form of 2-nilpotent Matrix and 3-nilpotent Matrix. It give the Jordan’s Normal Form of 2-nilpotent, and prove 2-nilpotent Matrix have only one Jordan’s Normal Form when its rank fixed. It also derive and prove how many the Jordan’s Normal Form are about 3-nilpotent Matrix of n-order, and derive and prove how many the Jordan’s Normal Form are when its rank fixed about 3-nilpotent Matrix of n-order. Key Words: k-nilpotent Matrix, 2-nilpotent Matrix, 3-nilpotent Matrix, Jordan’s Matrix Jordan’s Normal Form, characteristic polynomial, characteristic root, elementary factor, rank 致谢: 感谢杨忠鹏教授在这次的论文中给我的悉心指导和帮助，要没有杨教授的点拨就没有 这篇论文，也感谢他在这四年来对我的关怀和帮助，同时也感谢这四年来的各个老师的辛 勤栽培及各个辅导员的关怀帮助，也感谢周围同学在平时的学习生活中及在这次的论文中 给我的帮助，感谢江飞同学对我这篇论文所做的大量数据工作及其审稿。 21