空间向量知识点
空间向量的有关概念和公式
概念
空间向量与平面向量的概念与性质相似,只是由二维平面拓展到三维空间
如果一个向量所在直线垂直于一个平面,则该向量是这个平面的一个法向量。
坐标表示
,
,
.
运算
则
,
,
,
,
定比分点公式
设点P分有向线段
所成的比为λ,即
=λ
,
,
,
(
)
中点公式:
,
,
三角形重心公式:
,
,
模
,
,则
=
=
;
=
;
=
;
=
平行
,
(或
=
=
)
垂直
.(
)
夹角
cos =
=
●建立空间直角坐标系常用方法:1、底面是正方形,常以底面两条邻边为
轴,
轴;2、底面是菱形,常以底面两条对角线为
轴,
轴;3、底面是等腰三角形,常以底边及底边上的高为
轴,
轴;4、底面为平行四边形,常以一条边为
轴,并作一条与这一条边垂直的直线作为
轴。
空间向量的应用(1)
方法分类
图形
1、求平面
的法向量
若
,
,
是平面
的法向量,
则
(取
,得到其中的一组解:
而
常取简单整数)
2、证明线面平行
设
是平面
的法向量,
,则:
3、证明面面垂直
设
分别是平面
的法向量, 则:
4、求两条异面直线间的距离
先求两条异面直线的一个公共法向量,再求两条异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长设
、
是异面直线,
是
、
的公共法向量,点
,则异面直线
、
之间的距离
5、求点到平面的距离
设
为平面
外一点,点
为平面
内的任一点,平面
的法向量为
,过点
作平面
的垂线
,记
,则点
到平面
的距离:
因此,点
到平面
的距离:
空间向量的应用(2)
方法
图形
6、求直线和直线所成的角
若直线
所成的角是
,
7、求直线和平面所成的角
已知
为平面
的一条斜线,
为平面
的一个法向量,过
作平面
的垂线
,连结
,则
为斜线
和平面
所成的角,记为
,易得
8、已知两平面的法向量, 求二面角的大小
在二面角中
,
和
分别为平面
和
的法向量,若二面角
的大小为
,则:
(依据两平面法向量的方向或实际图形,来确定
是锐角或是钝角)
8、已知二面角棱的两垂线, 求二面角的大小
在二面角
内,
,
设
为二面角
的大小,则:
例题:
1、如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DC的中点,取如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出A、B1、E、D1的坐标;
(2)求AB1与D1E所成的角的余弦值.
解:(1) A(2, 2, 0),B1(2, 0, 2),E(0, 1, 0),D1(0, 2, 2)
(2)∵
=(0, -2, 2),
=(0, 1, 2) ∴ |
|=2
,|
|=
,
·
=0-2+4=2,
∴ cos
,
=
=
=
.∴ AB1与ED1所成的角的余弦值为
.
2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知CA⊥平面ABB1A1,AB=AA1=1.(1)求证:A1B⊥平面AB1C;(2)若AC=2,求点A到平面BB1C1C的距离;(3)若二面角B-B1C-A为600,求AC的长.
(1)证:
A1B⊥平面AB1C
(2)解:∵平面ABC⊥平面BB1C1C,∴点A到平面BB1C1C的距离即为A到BC的距离,作AD⊥BC
,BC=
,∴A到平面BB1C1C的距离AD=
=
=
(3)解:(空间向量法)以A为坐标原点,建立如图空间直角坐标系A-BA1C,则B( 1,0,0),B1(1,1,0),C(0,0,c),平面AB1C法向量
=(—1,1,0),平面BB1C法向量
=(x,y,z),
=(0,1,0),
=(—1,0,c), ∴
,∴令z=1,则x=c,∴
=(c,0,1),
Cos600=
=
=
,∴
=
,
,解得c=1,
所以AC长为1 。
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