第01章 质点运动学问
题
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2：加速度的自然坐标分解★★
加速度在自然坐标系下的分解
,,,r,r(t)s,s(t)定义1:(二阶连续可微)，关于自然坐标有
tt
,,ds,dr(t),s,s，dr(t),s，v(t),dt;t,,s, 00,,
t,0t,0
于是，可以作“自变量替代”。 s,t
,,,r,r(t)s,s(t)定义2: (二阶连续可微)，关于自然坐标系下的曲线轨道上的任意一
,,点的切向单位矢量和“指向轨道凹向的”法向单位矢量分别定义为 eetn
,,,dre,;e,1 ttds
以及
,de,,te,;e,1 ,nndet
容易证明
,,,,e,e,0,e,e tntn
,,,,,r,r(t)r,r(t)定理:(二阶连续可微)，依赖于“任意给定的二阶连续可微”运动方程
,2,dr(t)a(t),的加速度在自然坐标系下表达为 2dt
22,,,dvvdvvat,,e，,e;a,,a,() tntndt,dt,
s,s(t)这里，自然坐标系下的曲线轨道上的任意一点的依赖于“自变量和运动方程t,,r,r(t),(二阶连续可微)的”所谓曲率半径表达为
,,dr(t)dr(t),2dsvdtdt,,, ,,,,2dedvdr(t)dr(t)t22a,(),,,222dr(t)dr(t)dt2dtdt,,[],,22dtdtdr(t)dr(t),dtdt
,
其中
,,,,22dr(t)dr(t)dr(t)dr(t)22a;v,,,, 22dtdtdtdt
,,2dr(t)dr(t),,,2dr(t)dr(t)dvdtdtv ,,,,,,dtdtdtdr(t)dr(t),dtdt证明:
,,dr(t)dsdr(t),,,,dd[],d(ve),,dv(t)dv(t)dsdv(t)dtdtdsta(t),,,,v,,v,,v,,v,dtdsdtdsdsdsds,,,2dedede,,,,dvdsdvdvvt22tt,v,,e，v,,,,e，v,,,,e，,e ,tttndsdsdsdtdsdsdedtt,det
2,,dvvds,,，,,,ee;,tndtde,t
证明完毕。
s,s(t)注释1:这里，一方面关于自然坐标系下的曲线轨道上的任意一点的“曲率半径”
确定地简单地表达为
ds,,,(t), ,det
另一方面，由于
2dvv22222,，,()，()aaa tn,dt
从而有
4v2, ,dv22a,()dt
,,r,r(t)所以得到依赖于运动方程的“曲率半径”
计算公式
六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式
如下
2v,,
dv22a,()dt
其中
,
,,,,22dr(t)dr(t)dr(t)dr(t)22a;v ,,,,22dtdtdtdt
另外，由
,,dr(t)dr(t)v,, dtdt得到
,,2dr(t)dr(t),,,22dv11dr(t)dr(t)dtdt2,,,,,, ,,,,2dt2dtdtdr(t)dr(t)dr(t)dr(t),,dtdtdtdt
,,r,r(t)的可计算的“曲率半径”于是，得到依赖于“任意给定的二阶连续可微”运动方程计算公式如下
,,dr(t)dr(t),dtdt ,,,,2dr(t)dr(t),,,222dr(t)dr(t)2dtdt,,[],,22dtdtdr(t)dr(t),dtdt
,,de,,drte,注释2:加速度只依赖于所谓“密切平面上”的和e,——不依赖于从法向,tndsdet
,,,单位矢量。 e,e，ebtn
,
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