科 目：高等数学B3（A卷）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分
得分
一、 选择题(15分)
1．下列等式中正确的是
A．
B．
C．
D．
2．设有m维向量组
，则
A．当m
n时，(I)一定线性相关
C．当mn时，(I)一定线性无关
3．下列叙述不正确的是
(A) 任意实对称矩阵都可以借助于一个正交矩阵进行对角化
(B)
阶矩阵
可对角化的充分必要条件是矩阵
有
个不同的特征值
(C)任何实二次型都可化为
标准
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形
(D)矩阵
的特征向量系是线性无关向量系
4．设离散型随机变量
的分布律为
，
，
，则
=
A．
B．
C．
D．
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密 封 线 密 封 线 密 封 线
山西大学全日制本科生试卷
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5. 设随机变量
，
，…，
，…相互独立，且都服从于参数为
的指数分布，则对任意
，由中心极限定理有
（A）
（B）
（C）
（D）
得分
二、 填空题 (15分)
1. 设
,
,
为三个事件，已知
，
，
，则
2. 设
～
，且
，则
3. 设
～
，
～
，且
与
相互独立，则
4. 设矩阵
=
, 则
=
5. 设实二次型Q(x1, x2, x3)= x12+ x22+ 5x32+2tx1x2-2x1x3+4 x2x3是正定二次型，则实数t应满足
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得分
三、
(7分) 计算
阶行列式
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得分
四、
(8分)用配方法将实二次型Q= x12+ 2x22-4x1x2-4x1x3化为标准形，并写出相应的坐标变换。
共 8页 第 4 页
得分
五、
（20分）设矩阵
(1)求矩阵
的特征值与相应的特征向量；
(2)判断
是否可以对角化，若可以，写出可逆矩阵
，使
为对角矩阵。
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山西大学全日制本科生试卷
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得分
六、
(10分) 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率。如果一件产品是优质品，它的材料来自甲地的概率有多大呢？
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得分
七、
(10分)设随机变量
的概率密度为
，令
。
求（1）随机变量
的概率密度
；
（2）随机变量Y的数学期望
。
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得分
八、
(15分) 设二维随机变量
的概率密度为
（1） 求边缘概率密度
，
，并判断
是否相互独立；
（2） 求概率
；
（3） 求
。
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