第五章
e~N(0,,I)y,x,,x,,en2125.5由模型
2SS,y,x,e
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示模型的残差
X,XXxx1212由和分别为n*(p-q)和n*q的矩阵
rk(I,P),tr(I,P),n,tr(P),n,pXXxrk(x)=p得 ˆ,,XX,,Xy,由为的解
2ˆˆˆˆ,,,,,,,,SS,y,x,,yy,,xy,,xx,,yy,,xy2e由(5.1.7)得
ˆ,,0y,x,,x,,e212此时则原模型可简化为如下模型: y,x,,ee~N(0,,I)12
,,XXr,Xyy,x,,eˆHr,dˆ11r1因为为可知为模型的约束条件,
2,ˆˆ,,SSyXryyrxy,,,,y,x,,eHe11ˆHr,d1在约束条件下,模型的残差为
,,11,,,ˆˆSSSS(Hr)(H(XX)X)(Hr),,Hee
,1,,rk(H(XX)H),q由于
(SS,SS)/qHeeF,SS/n,q,,0e2则的似然比检验
ˆˆ,,,,,,,,,ˆˆxy,rxyqxy,rxy()/n,p11F,,ˆˆq,,,,,,yy,,xyn,qyy,,xy()/可以写成
2e~N(0,,I)y,x,,einiiiii5.6两个线性模型 其中I =1,2为了导出所需要的经
验统计量,将两个模型写成矩阵形式
2e~N(0,,I)y,x,,e1n11111
2e~N(0,,I)2ny,x,,e212222
,yX0ee,,,,,,,,,,111112,,,,,,,,,,~N,,0,,In1,n2,,,,,,,,,,y0X,ee22222,,,,,,,,,,将它们合并,得到如下模型
ˆ,,,,,,11,,,,H,I,I,0pP,,,,ˆ,,2,,2,,要检验的假设为 (2)
ˆˆH,I,IpP,,12其中若记,为从模型(1)得到的LS估计
,1,1,1,,,,,,,XX0X0yXX0Xy,,,,,,,,,,,,,,,,XXXy1111111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0XX0Xy0XXXy,,,,XXXy222222222,,,,,,,,,,,,,2222,
11,,ˆˆ,,,,,,,,,,,XXXy,XXXy1111122222于是有 (3)
2ˆˆˆ,,,,,,,,,,,,,,,SSyxyyyyxyxye1122111222由于
SSHe为求在约束条件(2)下的残差平方和,把约束条件下融入模型,当(2)成ˆˆ,,,12立时
,记它们公共值为,代入模型得约简模型
yxe,,,,,,111,,,,,,,,,,,,,,,yxe222,,,,,,
,i原模型中在约束条件(2)下的LS估计,记为
1,ˆ,,,,,,,XXXX(XyXy),,,H11221122,
ˆ,,,,,SS,yy,yy,,(xy,xy)He1122H1122故在约束条件的残差平方和
ˆˆˆˆˆ,,,,,,,,,SS,SS,xy,xy,,(xy,xy),,(,,)xy,(,,,)xyHee1122H11221H112H22
相应的检验统计量为
ˆˆˆˆ,,,,,,,,(SS,SS)/p(,)xy,(,)x/pn,n,2pFHee21H112H22121F,,,ˆSS/n,n,2ppF,,,,,,yy,yy,(xy,xy/n,n,2p1222e1122H112212
ˆˆˆˆ,,,,F(,,)xy(,,)xy,,,,11H112H22其中
ˆˆˆˆ,,,,F(,,)xy(,,)x,,,,21H112H2
5.7 设 i=1…..n 且相互独立,对一切
线性组合
( 做出置信系数为1- 的同时置信区间 解:因为依题意:
,是n维向量,, i=1…..n,为一列独立向量,服从
分布,对一切线性组合
根据bonfrroni区间,
P(
F分布与t分布之间关系,=
记自由度为n-r的t分布 上侧分点。
上式中:var()=是
,记:
=,则区间为公式:
( ,
(1) 依据区间公式(1),
可知,一切线性组合的置信系数为1-同时置信区间为:
第六章
6.2 (1)
因为
所以正则方程X
有
得 由因为
= 其中A= D=
所以 即证
(2)
又 所以cov()=cov()=
所以cov()=D=
6.3、(1) Hc:...,,,,,111p,
得到的约简模型: ycxcxe,,,,,...iiipi011,
,,,00Ic相当于约束条件为: ,,,p,,,1,I,,
,1ny,,,,ˆ,,,,此时 ,,,,RSSxycyc(),,,,,,,H00,,,,1,,~~xxy,,,,
,,~ nycxy,,,0
,,11y,,,,ˆˆˆ,,,,~对于原模型:,,,,,,,RSSynyxy(),,,,,,,,000III,,,,,,~~xxy,,,,
ˆˆ,,,,,,,~~~所以 RSSRSSxycxycxy,,,,,,,,,()()()HII1
ˆ,,,~,,,cxyp()/(1)Iˆ,,,~SSeyynyxy,,,,,所以 其中F,0ISSenp,/()
(2) H:...,,,,201p,
,1ny,,,,,,,ˆˆˆ,,,,~同理可得:,,,,,,,RSSynyxy(),,,,,,HIII,000,,,,,2,,~~xxy,,,,
,,,1,,,ˆˆ,,~RSSnyxy,,,(),,同理: =,??其中,,,0II1p-1,,,,,P,1,,
,ˆˆ,,,~,,xyP()/(1),,II此时: F=SSenp/(),
(3)、 Hc:,,,,,?311P,
ˆ,,~RSSnyxy,,,(),, 0I
,,,1,ˆˆ,,,~()/(1),,,,xyP,,,IIˆ,,,同理: ?其中,,,,,?cF=I11P,,,SSenp/(),,,,P1,,,
第三题
证明:
一、
二、
证:
一、由
可得,
二、由得
第四题
判断:
在定理6.7.1中,存在,使得(6.7.7)式对任给的向量都成立。
答:错误。使得命题正确的参数依赖于未知参数,且对于相对较小的,才会
存在使得命题成立。
第七章
7.3 解:
检验线性假设: H0
,,,,,,,,,12a,,?, ccc12a
等价于检验线性假设: H0
,,,,,,,,,,,,c,,,,c,,,,c,,,,c,,,,?,c,,,,c,,,a11aa22aaa,1a,1a
于是
?c,cc00c,,a1a1,,?c,c0c0c,,a2a2 H,,rk(H),a,1,,,??????,,,,?c,c00ccaa,1aa,1,,
令
,,,,,,,,,*a12?,,,,, ccca12
即有
*,,,,,,c11,*,,,c,,,22 ,?,*,,,,,c,aa,
若不拒绝,则模型可以简化为 H0
*y,c,,e,i,1,2,?a,j,1,2,?n, ijiiji
其矩阵形式为
y,X,,e,
其中,
c1,,n11,,c1,,n2*2 X,,,,,,,,?,,,,c1ana,,
TTXX,,Xy 它的正则方程为
c1c1,,,,nn1111,,,,c1c1,,,,nn22TTT*22?,,,c1,c1,c1,y, nnan12,,,,a12??,,,,,,,,c1c1ananaa,,,,
LSH, 于是在下的约束解为 0
cy,,11.,,^^cy1,,22.*,,,,,、 Ha,,?2cn,,,ii,,cyi,1.aa,,
则
^^**TTTTRSS(),RSS(),Xy,Xy,,,,HH
cy,,11.,,cy1,,22.,,,cy,cy,?cy11.22..aaa,,?2cn,,,ii,,cy,1i.aa,,
a22cy,.iii,1,.a 2cn,iii,1
而
a2y,i.^TTi,1,,RSS(),Xy,,ni(书上第一节已给出) 2na_i,,TSSyyRSS(,)yy.,,,,,,,,eiji.,,i,,11j
F 由第五章的知识知道统计量具有以下形式
,RSS()RSS()m,,,,H,F, ,SS(nr)e
m,rk(H),r,rk(X) 其中。 F于是这里统计量为
*RSS,RSSa,(()())1,,F,, SSN,ae
*RSS(,),RSS(,),SS其中以上已给出。 e
习题7.5
解:对于随机误差项相互独立的两向分类模型
2y,,,,,,,e;i,1,?,a;j,1,?,b;e~N,,0,, ijijijij可写为矩阵形式
2 y,,,1,X,,X,,e,e~N,,0,,Iab1122
显然,且对于和的X,I,1,X,1,I,,,[,,?,,]',,,[,,?,,]',,1ab2ab11a21b12
ab''''ˆˆc,,dy任意的可估函数和的BLU估计为c,,cy和,可求c,c,,,22j,j11,ii1122,1j,1i
得
abab,,''ˆˆ,,,,,,,,,CovccCovcydycdCovyy,,,,,,,,,,,,1122iijjijij,,,,,,i11ji11j,, ababcdcdijij2,,,,,,,0Covyy,,,,,,ijabab,,,,i11ji11j
故和正交。 ,,12
第七章第三题P232
ye,,,,,,,ijiij,(7.5.1) ,2诸相互独立,eeNiajn ??(0,),=1,,,=1,,.,,ijijii,
222H:===,,,? (7.5.2) a012
构造模型(7.5.1)在(7.5.2)原假设下的似然比。
*2*yN (,),,,解:由已知可得:其中,,, +iajn=1,,,=1,,.??ijiiiii
依然函数为:
*2*2*2(-)y,(-)(-)yy,,ajajj1122nnn---a12222111222222,,,a12 Leee,,,??,,,(,,,)=,,,12a222,,,,,,jjj=1=1=112a
nia*2(-)y,n,iji,iaa11=1j2i=1,lnLn=-ln2-ln ,,,,ii2222,ii=1=1i
n1,*2(-)y,,11j,,ln11Lnj=11,=--(-)=02222,,22(),,,111,n2*2,(-)y,,12j,,ln11Ln,j=12=--(-)=0 ,2222,22()222,,,,
,?,na,*2(-)y,1ja,,n,ln11Lj=1a,=--(-)=02222,22(),aaa,,,,
222可得的MLE为: ,,,,,,?a12
nnna12111 222222?,,,,yy,yy,yy=(-)=(-)=(-),,,111.212.1a.jjajnnn=1=1=1jjj12a
***,=y,=y,=y?其中,,, a11.22.a.
2222222假设在下H:====,,,,?H:,,,,,,?不全相等,aa0120112
则检验问题的似然比统计量为
ani,nnaii=1i--1222((-))yye,,,iji. 222n,,,?L(,,,)ij=1=1i12a(y)== ,naia 2222(-)yyijiL(,,,)?.,,,,,n000i,ij=1=1i=1--2,202,e,0
nnaaaaii1222ln()=ln+(ln-1)+(-)-((-)),,ynnnyynyy,,,,,,,iiiijiiiji0..2,iiijij=1=1=1=1=1=10 aaaa1nMSnnMSnnn =(-1) -ln(-1)ln+ln+(ln-1),,,,,ieiieiii02iiiiii=1=1=1=1,0
ni2(-)yy,iji.=1jMS=其中: ein-1i
22ln(),y在原假设成立时,随着的增大而以分布收敛于。n,()ai
但是对照p234上(7.5.6)和(7.5.7)却没有发现陈老师说的结论,即代ni
a
替,n代替。 ff,eieii=1
第八章
'*'''1',1.求证(8.3.3)式 以及可逆。ZQZSSyQyQZZQZZQy,-y()()eH
ˆLS,,H,,0证明:(1)记为纯方差
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
模型中参数在约束下的解,则对应H
的残差平方和为
,''''ˆ SSyyXyyQy,,-=eHH
8.3.2) (
XH,,:0,Q 其中由于是在上的投影的平方和,故有是YSS,,eH
,XH,,:0,QH,,0上的正交投影阵,即为在约束下,列张成空X,,
*间的子空间的正交补空间的正交投影阵,又记为协方差分析模型在约SSeH
*LSH,,0,束下的参数和的约束解对应的残差平方和,则可知与,SSeH
*的关系和与的关系完全一样,故由(8.3.1)式SSSSSSeHee
*'''1',和(8.3.2)式知SSyNyyNZZNZZNy,-()()exxxx
*'''1',成立。 SSyQyyQZZQZZQy,-()()eH
'Q(2)设,则由的幂等性得 ZQZa=0
''''' , aZQQZaaZQZa==0
,'','',QZa=0 即。因而,这里。由于 ZbXXXZa=()ZaXXXXZaXb,()=
'a=0a=0的列与的列线性无关,此式意味着。由于从可以推出,所以XZQZa=0''的列线性无关,因此它是非奇异的,即可逆。 ZQZZQZ
8.4对于一个协变量的单项分类模型:
y=+++,=1,2,...,;=1,2...,,,,zeiajn。ijiijij
an2ssyy,,(),,eij其残差平方和: ij11,,
an
ZNYyyz`-z-;,,,,,,,Xijij
ij=1=1
an2 相应地
ZNZz`z-;,,,,,Xij
ij=1=1
由 式(8.2.2)
an
yyz-z-,,,,,,ijijZNY`=1=1,ijX,==an2 回归系数的LS估计为 。,ZNZ`Xz-z,,,,ij
=1=1ij
,由定理8.1.1知,可估。又由定理4.1.2知,对于任意的可估函数,LS估计,,,
为其唯一的BLU估计。
an
yyz-z-,,,,,,ijijZNY`=1=1,ijX,==an,2 所以,的BLU估计为 ,ZNZ`Xz-z,,,,ij
=1=1ij
,,,,,,,,-=---yyzz,,,,,,由式8.2.4得的LS估计为 = 。,iiiziii
,,,,,,-=---yyzz,,-,,,,相应地 , 的BLU估计为 。iuiiiu
anan22
AyyAzz,,-;-,,,,,,,,yy..izziijij=1=1=1=1
an
Ayyz,-z-;,,,,,,yzii..ij=1=1
an2
EYNZyyz,,`-z-;,,,,,,yzXijij ij=1=1
2EEyzzz,=0 , F,对于H:00 2,,,,,,111,,EEEan,,,,,,yyyzzz,,,,
对于:H1
,,,==...=;12a
22,,EAEAEAEEEa,,,,,,,1,,,,,,,,,,yyyyyzyzzzzzyyyzzz ,,,,F,12EEEan,,,,,,,,,,111,,yyyzzz,,方差源自由度平方和与交叉乘积之和 因子a-1 A AAAyyyzzz因子b-1 B
误差() a-1(b-1) BBByyyzzz总和ab-1
EEEyyyzzz
SSSyyyzzz因子误差 A+ EA,EA,EA, yyyyyzyzzzzz因子误差 B+ EEB,EB, yzyzzzzzzz协变量1
8.5
an2
EYNYyy,,`-;,,,,yyXijij=1=1
an
EZNYyyz,,`-z-;,,,,,,yzXijij ij=1=1
an2
EZNZz,,`z-;,,zzXij,,ij=1=1
anan22
AyyAzz,,-;-,,,,,,,,yy..izziijij=1=1=1=1
an
Ayyz,-z-;,,,,,,yzii..ij=1=1
an2EYNZyyz,,`-z-;,,,,,,yzXijij ij=1=1
对于H:
2EEyzzz,,,==....= , F,,1202,,,,,,111,,EEEan,,,,,,yyyzzz,,,,
第九章
9.1:
,yy=SS+SSSSSS,,eABU
2ba
,(y-y-y.+y)+(y-y)+,,,,iji.j..i...ijji=1=1(1) 2ab2(y.-y)+(y-y-y.+y),,,,j..iji.j..ijij=1=1
,,,,yAyyAyyAyyAy+++ 0123
(2)
,EEyAy()()/(a-1),,11
222,,,E(yAy)=tr[P(x:u)-p](uu+uu+I),,,11x1112220
222,由可知,()9.4.10E(yAy)+a+a-a+r,,,1122312e
,a=tr[uu(I-p)]111x
,,IA???0011 1,,,,b,,,,,,,u=, u=,11 1???????uA其中,11,,,,,,,,,,,,??00IA1 ?11,,,,b,,(bb),
?II11,,,,,,bb1,,,,,,1-1???????P=[()]()=IIIIxbbbb,,,,,,ab,,,,,,?II11bb,,,,,,(ab,ab)
,,,a=tr[uu(I-p)]=truu-truup=ab-b=a-1b 故()()()111x1111x
a=0 r=rkx-(x)=a-1同理(u)rk22i1
22,E(yAy)=ba-1故(),,+a-1()12e
222a=b+E() ,,,112e
9.4.1094119412根据()、(..)、(..),可证得如下结果:
2222=a+=aE(); E(),,,,,2be33e
22E()a+,,,也可由第一问得出,因为、是对称的。2beij,,,,
(3)
2,()a-1=y[P(x:)],u,py1x1
由于P(x:)rkP(x:)u,,pp为对称幂等阵,(u)11xx
=trP(x:)=rkxu-rkx=a-1(u,p)(:)()1x1
2,有定理343y[P(x:)]x..u,py ,21x()a-1a1
2,故y[P(x:)]xu,py 1x()a-1
22即()以下同理得证。a-1/ax, 11a-1(),