线性变换和相似等价类的对应关系.

线性变换和相似等价类的对应关系. 线性变换和相似等价类的对应关系 设有两个非空集合V,U～若对于V中任一元素α～按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应～则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换,或映射,～记作β=T(α)或β=Tα,( α?V)。 设α?V～T(α)= β,则说变换T把元素α变为β～β称为α在变换T下的象～α称为β在变换T下的源～V称为变换T的源集～象的全体所构成的集合称为象集～记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α?V}, 显然T(V) ?U 注:变换的概念实际上是函数概念的推广。 定义2 设V,U分别是实数域R上的n维和m维线性空间～T是一nm 个从V到U得变换～如果变换满足 nm ,1, 任给α～α?V～有T(α+α)=T(α)+T(α); 1 2n1212 ,2, 任给α?V～k?R～都有 T(kα)=kT(α)。 n 那么～就称T为从V到U的线性变换。 nm 说明: 1 ? 线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 2? 一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换～T(α)或Tα 代表元 α在变换下的象。 3?若U=V～则T是一个从线性空间V到其自身的线性变换～称为mnn 线性空 V中的线性变换。下面主要讨论线性空间V中的线性变换。 nn 二、线性变换的性质 设T是V中的线性变换～则 n (1) T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2) 若β=kα+kα+…+kα,则Tβ=kTα+kTα+…+kTα1122mm1122m ; m (3) 若α～…α线性相关～则Tα…Tα亦线性相关, 1m1m 注:讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4) 线性变换T的象集T(V)是一个线性空间V的子空间。 nn 记S={α|α?V,T α=0}称为线性变换T的核～S是V的子空间。 TnTn 设V和W是数域F上的向量空间～而σ:V?W是一个线性映射。那么 (i) σ是满射Im(σ)=W; (ii)σ是单射Ker(σ)={0} 定理1 设V和W是数域F上的向量空间～而σ:V?W是一个线性映射。那么V的任意子空间在σ之下的像是W的一个子空间。而W的任意子空间在σ之下的原像是V的一个子空间。 三、线性变换的运算 设L(V)是向量空间V的全体线性变换的集合～定义L(V)中的加法～数乘与乘法如下: 加法: 数乘:, 乘法:～ 其中～. 易验证～当A, B是V的线性变换时～A+B～AB以及kA都是V的 线性变换. 四、线性变换的矩阵 VV是数域上的一个维向量空间,是的一个设F,,,,？,,n12n基,,,L(V).由于因而它们可由基线性,(,),V,i,1,2,？,n,,,,,？,,i12n 表出.令 ,(,),a,，a,，？，a, 1111212n1n, ,(,),a,，a,，？，a, (1) 2121222n2n, ………………… ,(,),a,，a,，？，a, . n1n12n2nnn(1) 也可以表示为: ,(,,,,？,),(,,,,？,,)A , (2) 12n12n 其中 a … aa1n1112 … aaa2n2122 A= …………………… … aaan1n2nn ,(,)称为关于基的矩阵.的第列元为在基j,,,,？,,,AAj12n 下的坐标,因而当取定基之后,在这一基下的j,1,2,？,n,,,,,？,,,12n 矩阵是唯一的. 设V是数域F上一个n维向量空间.令是V的一个线性变换.取定一个基 ,,？,.考虑V中任意一个向量 ,x,，x,，？，x,.,,n1122nn21 ,，,，仍是V的一个向量.设,，,，, y,，y,，？，y,.1122nn 自然要问,如何,，,，计算的坐标. ，，y,y,？,y12n 令 ，，,,,a,，a,，？，a,,1111212n1n ，，,,,a,，a,，？，a,,2121222n2n (2) ……………………………… ，，,a,a,，a,，？，a,,n1n12n2nnn ，，,,,这里,i,j=1,…,n,就是关于基的坐标 ,,？,,ijj1n .令 … a aa1n1112 … aaa2n2122 A= …………………… … aaan1n2nn n阶矩阵 A叫做线性变换关于基的矩阵.矩阵A的,,,,,,,？,,12n第j列元素就是这样,取定F上n维向量空间V的一个基之后,对于V的每一个线性变换,有唯一确定的 F上n阶矩阵与它对应. 为了计算关于基的坐标,我们把等式(2)写成矩,,,,,,？,,，，,,12n 阵形式的等式 (3) ，，，，，，，，,,,,,,？,,,12n =. ，，,,,,？,,A12n 设 ,,x,，x,，？，x,1122nn x,,1,,x,,2= ，，,,,,？,,12n,,？,,,,xn,, 因为,是线性变换,所以 (4) ，，，，，，，，,,,x,,，x,,，？，x,,122nn x,,1,,x,,2？，，，，，，，，,,,,,,,,, = n12,,？,,,,xn,, 将(3)代入(4)得 x,,1,,x,,2 A. ，，,,,,？,,，，,,,12n,,？,,,,xn,, 最后等式表明,关于的坐标所组成的列是 ，，,,,,？,,，，,,12n x,,1,,x,,2 A ,,？,,,,xn,, 比较等式(1),我们得到 定理1 令V是数域F上一个n维向量空间,是V的一个线性变换,而关于V的一个基的矩阵是 … aaa1n1112 … aaa2n2122 A= …………………… … aaan1n2nn 如果V中向量关于这个基的坐标是,而的坐标是,，，x,x,？,x，，,,12n ,那么 ，，y,y,？,y12n (5) 在空间内取从原点引出的两个彼此正交的单位向V2 ,量作为的基.令是将的每一向量旋转角的一个旋转.是,,,,,VV1222 的一个线性变换.我们有 V2 ,,,,,,，，,cos，sin,112 ，，,,,,,sin,，,cos,.212 所以关于基的矩阵 是 ,,,,,,12 ,,cossin,,,,, ,,sin,cos,,, 设,它关于基的坐标是,而的坐标是.,,，，，，，，,,V,,,x,x,,y,y2121212那么: ,,cossin,y,,,,1,,,,, ,,,,ysin,cos,,2,,, 设A向量空间V的线性变换～如果 ～ 则矩阵A称为线性变换A在基下的矩阵. ,1,相似矩阵:对于两个n阶方阵A,B～如果存在一可逆矩阵C～使得～则称方阵A与B相似～记为A，B. ,2,线性变换的特征值和特征向量:设A是向量空间的一个线性变换～如果存在实数和V中非零向量ξ～使得Aξ=λξ～则称λ为A 的一个特征值～ξ为A的属于特征值λ的一个特征向量. ,3,矩阵的特征值和特征向量:设A为一个m阶实矩阵～如果存在m维非零向量 ～使得～则称λ为矩阵A的 特征值～为的属于特征值λ的特征向量. A 下面定义线性变换的运算. 1、正交变换的性质:设A是欧氏空间的一个线性变换～则下面几个命题等价: (1) A是正交变换, (2) A保持向量的长度不变～即对于任意的, (3) 如果是V的标准正交基～则也是V 的标准正交基. (4) A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 2、线性变换矩阵的性质: ? 设V的线性变换A在基下的矩阵为A～向量在基 下的坐标为在此基下的坐标为～ 则 ? 设与是向量空间V的两组基～从基 到基的过渡矩阵为C～又设线性变换A的这组 两基下的矩阵分别为即A, B～则A，B. 3、线性变换的矩阵可以是对角阵的充要条件:设V为m维向量空间～A为V的一个线性变换.那么存在V的一组基～使得A在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是A有m个线性无关的特征向量. 4、方阵相似于对角矩阵的充要条件:n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量. 五、线性变换在不同基下的矩阵的关系 定理1 设V是域F上n维线性空间～V上的一个线性变换A在V的两个基α……α与η～……η下的矩阵分别为A与B～从基{α1n1n }到基{η}的过渡矩阵S～则 ii -1 B=SAS (1) 证明: 有由已知条件我们有 A(α,…,α)=( α,…,α)A 1n1n (2) A(η,…,η)=( η,…,η)B 1n1 (3) (η,…,η)= ( α,…,α)S 11n (4) 于是 A(η,…,η) 1 =A((α,…,α)S) =(A(α,…,α))S 1n1n =((α,…,α)A)S=(α,…,α)(AS) 1n1n -1-1 =((η,…,η)S)(AS)= (η,…,η)(SAS) 11 (5) 比较,3,和,5,式得 -1 B=SAS 定理1表明～同一个线性变换A在V的不同基下的矩阵是相似的。 定理2 域F上n维线性空间V的同一个线性变换A在V的所有各个基下的矩阵组成的集合恰好是M(F)的一个相似等价类。 n 证明: 设A在V的一个基α,…,α下的矩阵为A～用A表示M(F)1nn中由A确定的相似等价类。 任取V的一个基η,…,η～设A在此基下的矩阵是B。据定理1～1n B，A,从而B?A。 -1反之～任取C?A～则有可逆矩阵U～使得C=UAU。令 ,γ,…γ,=(α,…,α)U 1n1n (6) ,γ,…γ,是V的一个基～由定理1～A在即基γ,…γ下的1n1n -1矩阵为UAU,即C是A在基{γ}下的矩阵。 i 有定理2知道～同一线性变换A在V的所有各个基下的矩阵组成的集合是M(F)的一个相似等价类。于是M(F)在相似关系下的不变量nn 就反映了线性变换的内在性质～它们与基的选取无关。譬如n级矩阵的行列式、秩、迹、特征多项式、特征值等都是M(F)的相似不变量～n 因此我们可以把线性变换A在某一个基下的矩阵A的行列式、秩、迹、特征多项式、特征值。分别称为线性变换A的行列式、秩、迹、特征多项式、特征值。 **一个线性变换关于两个基的矩阵的关系: 设V是数域F上一个n维向量空间。,是的V一个线性变换。假 ,设关于V的两个基和的矩阵分别是A 和,,,,,,,,？,,,,,,？,,12n12n B。即 ，，，，，，，，=，，～ ,,,,,,,,？,,,,,,,,？,,A12n12n ，，，，，，，，=，， ,,,,,,？,,,,,,,？,,B12n12n 令T是由基到基的过渡矩阵: ,,,,,,,,？,,,,,,？,,12n12n = ，，，，,,,,？,,,,,,？,,T12n12n 于是 == ，，，，，，，，，，，，，，，，，，,,,,？,,B,,,,,,？,,,,,,,,,,,？,,,,T12n12n12n 1,== ，，，，,,,,？,,AT,,,,？,,TAT12n12n 因此 ,1,8, B,TAT 等式,8,说明了一个线性变换关于两个基的矩阵的关系。 设A～B是数域F上两个n阶矩阵。如果存在F上一个n阶可逆矩阵T使等式,8,成立～那么就说B和A相似～并且记作A~B (一) 特征值特征向量的求法 1、给定的数值矩阵的特征值特征向量的求法. 解方程 求出A的全部特征值～对每个,不同的,特征 值～解齐次线性方程组 其基础解系便是A对应于特征值的线性无关的特征向量～其任意非 零解使是A的对应特征值的特征向量. 2、求抽象矩阵的特征值～特征向量的方法一般是据定义～假定特征值λ～特征向量X,由AX=λX代入相关的已知条件～求出λ, X. 3、相似的判定的基本方法～一般是据相似的传递性～判别两矩阵相似的对角形,假定都相似,是否可以相同。 矩阵是A的属于特征值λ的特征向量是不唯一～因为若A的属 于特征值的特征向量～即有～则对任意常数有 ～说明也是A有属于特征值的特征向 量～同样可推出～若都是A的属于同一个特征值的特征 向量～则对任意～只要也 是A的属于特征值的特征向量. 向量不可以即是A的属于特征值的特征向量～也是A的属 的特征向量吗～～因为～若于特征值两 式相减有～推出～从而不是特征向量. A的属于不同的特征的特征向量的线性组合,假定系数都不为0,不是A的特征向量 ～设是A的分别属于特征值 的特征向量～其中为不等于0的常数～若 是A的特征向量～设对应的特征值为λ～即 故有: 由于所以不全为 0线性相关～这与不同的特征值对应的特征向量线性无关相 矛盾～因此的属于不同特征值的特征向量的线性组合在系数全不为A 0,从推导过程中知～只要有两个系数不为0时也成立,时～不会是A的特征向量. 相似矩阵A、B的特征值有何关系～相似矩阵有相同的特征值～因为A，B～即存在可逆方阵C～使从而 。也就是说相似矩阵有相同的特征多项式～因而有相同的特征值～同时也有相同的行列式～相同的迹～相同的秩等.,但反之不一定成立,～不过～相似矩阵的特征向量不一定相同～如则A，B 即是A的特征向量～但 ～故不是B的特征向量. 六、对角矩阵 定义1 域F上n维线性空间V上的一个线性变换A称为可对角化的～如果V中存在一个基～使得A在这个基下的矩阵为对角矩阵。 定理1 域F上n维线性空间V上的一个线性变换A可对角化得充分必要条件是～A有n各线性无关的特征向量～也就是～V中存在由A的特征向量组成的一个基。 证法 A可对角化V中有一个基ξ…ξ～使得 1n λ 0 0 … 0 1 A(ξ…ξ)= (ξ…ξ) 0 λ 0 … 0 1n1n 2 … … … … … 0 0 0 … λn Aξ=λξ,i=1,…,n,并且ξ…ξ线性无关 iii1n 当且仅当ξ…ξ是A的特征向量并且线性无关 1n 从证法可以看出:如果线性变换A在一个基下的矩阵是对角矩阵～那么主对角线上的元素恰好是A的全部特征值,重根按重数计算,。因此除了对角线上元素的排列次序外～这个对角矩阵是由线性变换A唯一决定的。 书中横卧着整个过去的灵魂——卡莱尔 人的影响短暂而微弱，书的影响则广泛而深远——普希金 人离开了书，如同离开空气一样不能生活——科洛廖夫 书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉 ——库法耶夫 书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者———史美尔斯 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料———雨果