天津科技大学高等数学（一.一）检测题答案（2013年）

天津科技大学高等数学（一.一）检测 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 （2013年） 天津科技大学《高等数学》(一)检测题1-1答案 一、填空题 x2[1,)，,x(x,2)1. ; 2. 、; 3. ; 4.; (1，2):(2，，,)(e,e)x，1 2xucosxy,e、u,sinx5. ; 6.; 7. ; 8. . y,u、u,1，tanv、v,e2二、选择题 1. (A); 2. (C). 天津科技大学《高等数学》(一)检测题1-2答案 一、填空题 n,1n,11. ; 2. ; (,1)n ,5. (1)1; (2); (3); (4); (5); (6)不存在. 0002 二、选择题 1. (B); 2. (C); 3. (C); 4. (C); 5. (D). 天津科技大学《高等数学》(一)检测题答案1-3 一、填空题 11. ; 2. ; 3. 不存在; 4. 不存在; 5. ; 6. . 000二、选择题 1. (B); 2. (D); 3. (B); 4. (C); 5. (B) . 天津科技大学《高等数学》(一)检测题答案1-4 一、填空题 ，0,1,2111. 、; 2. 、、; 3. 0; 4. . ，, 1 二、选择题 1. (B); 2. (A); 3. (D); 4. (B). 三、计算题 xx，11，111. 解:. lim(，2)(,1),lim(，2)lim(,1),(1，2)(0,1),,3x,,x,,x,,xxxx,1,1 2x3x4(x1)(x4)x45，,,，，lim,lim,lim,2. 解:. 2x,1x,1x,1(x1)(x1)x12,，，x1, 22222(x，h),xx，2hx，h,xlim,lim,lim(2x，h),2x3. 解:. h,0h,0h,0hh 221x1xxx1，，lim(，),lim,lim,4. 解:. 2x,,1x,,1x,,1x1(x1)(x1)x12，，,,x1, xxx5,4,4(,1)445. 解:. lim,limlim,,2x,1x,1x,1x,12xxxxx(,1)(5,4，)5,4， 2nnnn1，3，5，，(2,1)(1，2,1)？6. 解:. lim,lim,lim,1222n,,n,,n,,nnn,12(,1),1 22xaxabxb(1,),(，),axblim(,,),lim,0四、解:由，有 x,,x,,xx1，，1 1,a,0，, 得a,1、b,,1. ,,a,b,0，, 天津科技大学《高等数学》(一)检测题答案1-5 一、填空题 112e,121. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. . e2e 二、选择题 1. (A); 2. (D); 3. (B). 三、计算题 2 xxxxxxsin，tan3sintan33131. 解:. lim,lim，lim,lim，lim,，,2x,0x,0x,0x,0x,0xxxxx2222222 21xsinx1xsinxx1，,limlimlim,,,2. 解:. 222x,0x,0x,02x2x2x 12x212xlim[(1，2)]x1，2e3x,0x3. 解:. lim(),,,e,11x,0x1,e,1,xxlim[(1,)]x,0 111x,n，，？，四、证明:设，则 ()n222n，n，n，n12 2111nx,n(，，，),？ (或放大为); x,1nn2222n，1n，1n，1n，1 2n111x,n，，，,(？) . n2222n，nn，nn，nn，n 22nnlim,1、lim,1而，根据夹逼准则得. limx,1n22n,,n,,n,,nnn，1， 天津科技大学《高等数学》(一)检测题1-6答案 一、填空题 1,11. (,,，,1)、(,1，2)、(2，，,)，; 2. 2; 3. 、; 4. . x,,102二、选择题 1.(A); 2. (C); 3. (B). 三、计算题 x11sin1xxxsin1(解:. lim(1，sinx),lim[(1，sinx)],e,ex,x,00 xx,1xe,ee(e,1),1lim,lim,elim,e2. 解:. x,1x,1x,1xxx,1,1,1 xxln(1，sin2)sin23. 解:. lim,lim,2x,0x,0xx 3 f(x)4. 解:只需讨论函数在点处的连续性(其它点处显然连续). x,1 2x，ax，bf(x)limf(x),lim 要使函数在点处连续，首先极限要存在，而x,1x,x,11x,1 2由分母极限为零，则分子极限，即. b,,a,1lim(x，ax，b),1，a，b,0x,1 limf(x),f(1),1 其次由，有 x,1 2x，ax,a,1limf(x),lim,lim(a，x，1),a，2,1， x,1x,1x,1x,1 得，进而. a,,1b,0 天津科技大学《高等数学》(一)检测题1-7答案 证明题 3f(x)f(1),,1,01( 证明:设，则函数在闭区间[1，2]上连续，又， f(x),x,4x，2 4f(2),2,0f(,),0,x,4x,2.根据“零点定理”，有,,(0，1)使得，即是方程的 4x,4x,2一个根，所以方程在区间(1，2)内至少有一个实根. 1f(x),lnx，xf(x)f(1),1,02( 证明:设，则函数在闭区间上连续，又， [，1]e 111f(,),0.根据“零点定理”，有使得，这 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明方程f(),,1，,0,,(，1)eee 11lnx，x,0在区间内至少有一个实根，而是区间(0，1)子区间，所以方程(，1)(，1)ee lnx，x,0在区间(0，1)内至少有一个实根. F(x),f(x),xF(x)3. 证明:设，根据已知条件函数在闭区间[0，1]上连续，又 F(0),F(1),f(0)[f(1),1] . 0,f(x),1F(0),F(1),0 因为，所以. F(0),F(1),0F(0),0F(1),0F(0),0f(0),0 若，要么,要么.如果，有，取 4 f(c),cf(1),1f(c),cF(1),0，则;如果，有，取，则. c,0c,1 F(0),F(1),0F(0),F(1),0 若，则，根据“零点定理”，有使得c,(0，1)F(c),0f(c),c，即. f(c),c 综上，无论何情况下在区间上都至少存在一点，使得. [0，1]c 天津科技大学《高等数学》(一)自测题1答案 一、填空题 1，xln21. ; 2. ; 3. 不存在; 4. ; 32，x 35. 1; 6. ; 7. (,,，0)、(0，1)、(1，3]. ,2 二、选择题 1.(B); 2.( B); 3.(C); 4.(D); 5.(C). 三、计算题 x,ax，ax，a2sincos(x,a)cossinx,sina2221(解:lim,lim,lim,cosa. x,ax,ax,ax,ax,ax,a 234234x，x，x，x,4(x,1)，(x,1)，(x,1)，(x,1)lim,lim2(解: x,x,11x,1x,1 232. ,lim[1，(x，1)，(x，x，1)，(x，x，x，1)],10x,1 ,,,xt2xxttttt3(解:,,,,,,,. lim(1)tan1limtan(1)limcotlimx,1t,0t,0t,0,,222ttan2 2nn，1n11，11n1n，nlim(1，，),lim[(1，)],e,e4(解:. 22n,,n,,nnn 1lncosx2xy,(cosx)5(解:设，则，于是 lny,2x 5 lncosxln[1(cosx1)]cosx11，,,limlnylimlimlim ， ,,,,,222x,x,x,x,00002xxx 11,12x2lim(cos) e所以，. x,,0x, e nnnnnn1，2，3，，(，1)2？lim(,),lim[,],lim,16(解:. n,,n,,n,,nnn,122(,1)22(,1) 四、解答题 2axbxaxb(1,),(1,),21(解:由， xaxbxlim(,，),lim,lim,12x,，,x,，,x,，,abx1，，/xaxbx，， ,b,1有及，得、. 1,a,0a,1b,,2 1，a xfx1，(),1lim2( 解:由极限存在及分母极限为零，有分子极限也为零，从而当 x,03xx,0e,1 xf(x)时，为无穷小，于是 1，xf(x),1xf(x)/21lim,lim,limf(x),2limf(x),12 ，所以. 3xx,0x,0x,0x,03x6e,1 3( 证明:显然数列有界，又，这表明数列单调增加， x,x(2,x),x{x}{x}n，1nnnnn limx于是极限存在. nn,, 22a,2a,alimx,a设，对公式x,2x,x两边取极限，有，解得a,1(由nn，nn1,,n limx,x,0limx,1a,0，及单调增加，则极限，于是舍去)，所以. x,0{x}n1nnn,,n,,n 11fx0,x,14( 解:当时，; (),lim,,1nn,,x1，01， 111f(x),lim,lim,x,1 当时，; nn,,n,,1，121，x 1fxx,1 当时，. (),lim,0nn,,x1， 6 1，0,x,1，, , 于是 f(x),1/2，x,1，, ,0，x,1., ，f(x) 因为，所以函数在点处右连续; x,0f(0),limf(x),lim1,1,f(0)，，x,0x,0 ,，,， 因为，于是f(1),limf(x),lim1,1、f(1),limf(x),lim0,0f(1)、f(1),,，，x,1x,1x,1x,1 f(x)f(x)都存在且不相等，所以是函数的跳跃间断点.在其它点处函数显然连续. x,1 f(x)(1，，,) 综上，函数的连续区间是及，而是函数的跳跃间断点. [0，1)x,1 天津科技大学《高等数学》(一)检测题2-1答案 一、填空题 ,yx,,611. ; 2. ; 3. . fxxfx(+)(),,f(0)00 二、选择题 1. (D); 2.( B); 3.(B); 4.(C); 5.(B). 三、解答题 fxgxf(x),f(0)g(x),g(0)(),(),,1.解:. ,lim,lim,f(0),g(0),a,blimx,0x,0x,0xx,0x,0 x,1x,12.解:要使在处可导，必须在处连续，而 f(x)f(x) ，,2;;. fx(1)lim1,,f(1),lim(ax，b),a，bf(1),a，b,，xx,1,1 ,，ab，,1由，有. 又 f(1),f(1),f(1) fxfaxbaxbab()(1)1(),，,，,，, ， fa(1)limlimlim,,,,，，，，xxx100,,,xxx,,,111 2fxfxxx()(1)1(1)(1),,,，,. f(1)limlimlim2,,,,,,,,xxx,,,111xxx,,,111 ,,x,1a,2b,,1由在处可导，有，得，此时. f(x)f(1),f(1),， 12x,03.解:由于，故由连续的定义可得 在处limf(x),limxsin,0,f(0)f(x)x,x,00x 7 连续. 由导数定义 12xsin,0fxf(),(0)1x,， fx(0),lim,lim,limsin,0x,0x,0x,0xxx,0 得在处可导. x,0f(x) 天津科技大学《高等数学》(一)检测题2-2答案 一、填空题 11x1. ; 2. ; 3. ; secxtanx，2xarctanx，12x,e，xxx 2, 4. ; 5. ; 6 . 0 2cosxf(sinx)f(sinx)3 二、选择题 1.(A); 2.(B); 3.(D). 4.(B) 三、计算题 322(1)2x，,22,,,yxx,，,,，,，()()1.解:. 2253(5)(5),,,xxx 2x21，,xx2121，x,2.解: y,,321，x22(1)，x ,,y,,sin(3x，2)(3x，2),,3sin(3x，2)3.解:. x,(1/x)1,y,,,,4.解:. 22221,(1/x)x,x,1xx,1 cos(1),x,,yxx,,,,,(1)cot(1)5.解: sin(1),x arctanxearctanx,,y,e(arctanx),6.解:. 21，x 8 22sec1,xsec1,x2,,,7.解:y,sec1,x(1,x),(1,x),,. 21,x21,x xcos(ln)sinx8.解:. y,，,xe,cosx 天津科技大学《高等数学》(一)检测题2-3答案 一、填空题 1x1. ; 2.-4 3. 0 4. . ,e3x,y,7,02x 二、选择题 1.(D); 2.(B); 3.(D); 4.(C). 三、计算题 5,1.解:， fxx()6(1),， 4,, fxx()6.5(1),， 33,,,,,, 所以 fxx()6.5.4(1),，f(0)6.5.4(01)120,，, 1dydyxxx,,e,ye2.解:方程两边同时对求导，有， xlny,2,yeydxdx x2dyye解得 ( ,,xdx1，ye 2221t2tyttd/(1，)t,,y(t),1,,，x(t),3.解:因为，所以( ,,222221，t1，t1，txdtt2/(1，) 天津科技大学《高等数学》(一)检测题2-4答案 一、填空题 12x,1. 0.31，0.3; 2. 3. ; 4. ; dx2xf(x)dx2ecosdxx9 12xC，5. ; 6. ln1，2x，C. 2 二、选择题 1. (D); 2. (B); 3.(C) 9 三、计算题 d11y22xx1. 解:2elog2elog， ,,x,x,,,x,22dln2ln2xx 12x 所以，. dy,(2e,logx,)dx2ln2 22222xx,,2. 解:，ye4，所以dyedx,4 ,yxexe,，22x,x,11 23. 解:方程两边同时求微分，有， ydx，x,2ydy,dx，2cosydy 2,1y解得，( ,dydx,2(xycosy) x，y 4. 解:方程两边同时求微分，有， e(dx，dy),ydx，xdy x,0dy,,dx由原方程知，当时，，代入上式，得， y,0x,0 yd所以( ,,1x,0xd 天津科技大学《高等数学》(一)自测题2答案 一、填空题 1fx(),,1. 2; 2. -1; 3. 0; 4. -2; 5. fxfxfxx，e[(ln)()(ln)]d.x二、选择题 1.(B ) 2. (C) 3.(B) 三、计算题 fxhfxh(，),(,)001. 解: limh,0h f(x，h),f(x)f(x,h),f(x)0000,,,,lim，lim,f(x)，f(x),. 2f(x)000h,h,00h,h fxafx1()，,x,02.解:用代入，有，于是由 f(1),af(0)，， f(1，,x),f(1)af(,x),af(0)f(0，,x),f(0), lim,lim,alim,af(0),ab,x,0,x,0,x,0,x,x,x 10 dy1dydyyy3.解:方程两边同时对求导，有，得,，所以 y，e,xx，e,1ydxdxdx1，edd2uyy22,,,,. ,[()][,()2][,()][,()],fx，yx，y,fx，yx，ydd1exx， 天津科技大学《高等数学》(一)检测题3-1 一、填空题 fbfa()(),1(0; 2(; 3(1. ba, 二、选择题 1(C; 2(D; 3(B; 4.A( 三、解:在上连续、可导，且.由罗尔定理，知，,,(1,2)fx()(,),,，,fff(1)(2)(3),,1 ,,,及，使得，即方程至少有两个实根、. ,,(2,3)ff()()0,,,,,,fx()0,21212 ,,另一方面，为二次多项式，故方程至多有两个不同的实根，从而该方fx()fx()0, 程必有两个实根，分别位于区间及. (1,2)(2,3) 四、证明题 1. 证:设，则在上连续，在内可导，且fxxx()arcsinarccos,，fx()[1,1],(1,1), 1,,1,,，于是，均有 fx()0,，,,,,x(1,1),,221,x1,x,, , fxffxx()(1)()(1)0(1),,,，,,,,,, ,,fxfx()(1)arcsin(1)arccos(1)(11),,,,，,,,，,,,,即 . ,22 2. 证:设，则在上连续，在内可导，从而 fxx()arctan,fx()[0,]x(0,)x 1,,,,,,,,,,,arctan()(0)() (0)xfxffxxxx. 21，, 3(证:设Fxxfx()(),，则Fx()在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且FF(0)(1)0,,， 11 ,,从而，使得，即. ，,,(0,1)F()0,,,,,ff()()0，, 天津科技大学《高等数学》(一)检测题3-2 一、填空题 1(4; 2.，,; 3.0; 4.. cosa二、选择题 1(B; 2.D. xxexex,，，，1sincos110,,三、1. . lim lim1,,,,,xx,,001xx，，，ln(1)110,,1，1，x 1 xln1,,,x,,,lim limlim02(. ,,2xxx,，,,，,,，,xxxxx，，，12(12),,, 11 111，,x21，x2lim(11)cot2 limlim3(，,,,,,xx，，. 0,,2000xxx,,,tan22sec224xx 22lncottan(csc)tanxxxxxx,,,,4. . limlimlimlim1,,,,,22，，，，xxxx,,,,10000lnsinxxx x xxxxxx,,,ee2eeee11，,,，，5.. limlimlim1,,,,000xxx,,,xxxxxxxxsinsincos2cossin20，,, xxx11e1e1e11,,,,,xx,,，，limlimlimlim,,,,,6(. ,,,,,2xx,,,,0000xxxxxxxxe1(e1)22,,,, tanx11,,tanx0y,7. ，设，则 lim()，，,,,，,x0xx,, 12 tanx,lnx11,,,,limlnlimlnlimtanlnlimyx,,,,,,,，，，，xxxx,,,,0000cotxxx,,,, 12sinxx,,,,limlim02，，xx00,,,cscxxtanxlimlny1,,，0x,0故 limee1,,,. ,,，x0,x,, lnxlimsinlnlimxx，，sinsinlnxxxcscxxx00,,0. 8limlimeeex,,,，，0，，,,xx00 1sintanxxlimlim，，0,,xxxxcsccotxx,,00 . ,,,,eee1 111lnx,,limlnlimx,,,1x,1,x,,x,1111,,,xxx9. . limlimeeeex,,,,xx,,11 1cossin,xx10. . lim(csccot)limlim0xx,,,,xxx,,,000sincosxx1,,11ln1，,,,2ln(1)ln1，,，xxxx,,1，xx11. . limlimlimlim1,,,,xxxx,，,,，,,，,,，,1arccotarccot(1)xxxx，,2x1， 1 lnlnnxln2xxlimlim0,,12. 由，故. limlimlim0,,,nx,,,，,xxx,，,,，,,，,1nxxx 2x 12xsin1cosxxx,,2四、证:由， limlimlim1,,,000xxx,,,111322xxx622 22tansec1tanxxxx,,， limlimlim1,,,22000xxx,,,1xx3x3 1133故 xxx,sin~，tan~xxx,. 63 13 天津科技大学《高等数学》(一)检测题3-3 一、填空题 ,ne(1),n，1x1. 1，; 2(. (1)!n，1n, 二、选择题 1. A; 2. B. ()nfn(0)1()nxa,,,三、解:，， fxxn()()e,，nnnn!!(1)!, ,x11(1)e,xn，，xnn231，fxxxxxxx()e(01),,，，，，，,,故. ,2!(1)!(1)!nn,， 1，，224421,,x1(),，，xxox2,x4,,1e1,,x，，1()ox2!，，limlimlim,,,,四、. ,，44,,4xxx,,,000xx22x，， 天津科技大学《高等数学》(一)检测题3-4 一、填空题 1.增加; 2.，; 3.，. (,0],,[1,)，,(1,0)x,0 二、选择题 1. D; 2. D. 82(2)(2)xx,，,三、解:令fx()20,,,,，驻点. xx,,,2, 222xx ,在区间上，，单调增加; (,2],,,fx()0,fx() ,在区间上，，单调减少; [2,2],fx()0,fx() ,在区间上，，单调增加。 [2,)，,fx()0,fx() 14 221,x2,x,,,,,四、解:，，令，得. x,,yx,,2eyx,,2(21)ey,0 2 2111,x,,,,在区间(,],,,上，，曲线是凹的;在区间上，，曲(,],y,0y,ey,0 222 1,2211,x,x2,,(, e),线是凸的;在区间上，，曲线是凹的;拐点:，[,)，,y,ey,0y,e 22 1,12(, e). 2 1五、 1. 证:设，则在连续、可导，且 fxxx()11,，,，fx()(1,),，,2 1111,,,1, fx(),,,,,221，x21，x,, ,当时，，故在单调增加，从而当时，，fx()0,fx()[0,)，,fxf()(0)0,,x,0x,0 1即. 11，,，xx2 xx,,2. 证:设，则，为凹曲线，从而，有fx()e,fx()e0,,yfx,(),,xy xy，xyfxfyxy()()，，ee，2，即,e. ,f()222 天津科技大学《高等数学》(一)检测题3-5 一、填空题 ,x,0,,1(，5; 2(1; 3(，大，x; 4(1. 06 二、选择题 1(B; 2. C; 3. D; 4. B. ,,,三、解:二阶可导，且，，故 fx()fxaxx()coscos3,，fxaxx()sin3sin3,,, 15 ,,,， 得 . fa()coscos0,，,a,2,33 ,,,,,此时，，从而为函数的极大值，且此极f()2sin3sin30,,,,,,f()fx(),333 ,,1大值为. ,，,f()2sinsin3,333 50四、解:显然已有的墙应为长方形的长边. 设长方形小院的长为(m)，宽为(m)，则所xx 100d100l需建的三边墙的总长为. 由，得唯一驻点为. 由x,10lxx,，,(0),,102xdxx 2200dl问题的实际意义知的最小值必存在(或由)，知即为的最小值点，x,,0ll032xdx10x,即当小院的长为10m，宽为5m时最省材料. 五、解:设矩形的底宽为(m)，高为(m)，则 yx 21151x,,25,，,,，xyxyx,,，从而,, yx,,,28x8,,2 110,,,截面的周长为lxyxxx,，，,，,2(0). ,1，,,2x,,4 1010,1020,,,x2,x,2l,，,1x由，得唯一驻点为;由l,,0，知是极小值点，从而是最小值点，即当防空洞截面的底宽为时，建造材料最省. 00234x44,，，,x 天津科技大学《高等数学》(一)检测题3-6 一、填空题 121(，; 2(1; 3(2，; 4. . y,0x,01d，xx2 二、选择题 1(A; 2(D. 16 三、解:函数的奇函数，定义域为. (,),,，, 221,x2(3)xx,,,,， y,y,2322，，，，1，x1，x在上列表: [0,)，, x (0,1)(1,3)(3,)，,30 1 ,y+ + 0 - - - ,,y0 - - - 0 + 曲线 yfx,()拐点 极大 拐点 x由lim0,，知水平渐近线为 y,02x,,1，x 13描点:，(1,)， (0,0)(3,)24 作图(如图). 1/2 3/4 3 1 O 天津科技大学《高等数学》(一)自测题3 一、填空题 3,11. ; 2. 3; 3. ，大. 4 二、选择题 1(C; 2. A; 3(C; 4. B; 5.C. cosx lnsin1cos1sin1xxx,sinx,,,,,,,limlimlimlim三、1. . 2,,,,,,,(2)4(2)42428,,,,,xxxxxxx,,,,2222 17 2xln(arctan)22x,2. ,,xxxlimln(arctan)limln(arctan)lim,，,,，,,，,xxx1,, x 12222x1，x， ,,,,,limlim2xx,，,,，,1,,1，x,arctanx2x 22xx,ln(arctan)2x,,故 . x,,lim(arctan)limeexx,，,,，,, 5四、证:反证法. 设方程有两个不同实根，且，并记，则fxxx()1,，,ab,ab,fx()在上连续，在内可导，且. 由罗尔定理知，使得[,]ab(,)abfafb()()0,,，,,(,)ab 4,,. 但，矛盾，从而方程不能有两个不同的实根. fxxx()510(),，,,f()0,, 五、证:反证法. 设，使得，则在及上分别应用罗尔定理，，,,(,)abf()0,,[,]a,[,],b ,,,可得及，使得. 再对函数在是应，,,,(,)a，,,,(,)bff()()0,,,,[,],,fx()121212 ,,用罗尔定理，得，使得，与条件矛盾，从而在内必恒有，,,,,(,)f()0,,(,)ab12 . fx()0, x,1六、证:设，则在上连续、二阶可导，且 fxxx()eln,,fx()[1,)，, 11,,x,1x,1x,1,,,，fxx()e0(1),,,，,, fxxx()eln1(0),,,,，，1,e1,,,xx,, ,,,从而在单调增加，于是当时. 又从而在fx()[1,)，,x,1fxf()(1)0,,fx() x,1单调增加，于是当时，即有. [1,)，,x,1fxf()(1)1,,e1ln,，xx*提示:也可用泰勒公式 18 ,11，，，，2ex,12(1)(1)xx,，,eln,,,xx1(1)(1)，,，,xx,,,,2,2!，，2，， 11,,21,e,,，,,1(1)1.x,,2,2,, 22七、解:设切点为，则切线方程为，它与、轴的(,1)xx,YxxXx,,,,,(1)2()yx 2x，12交点分别为、，从而所述三角形的面积为 (,0)(0,1)，x2x 211x，2， Ax,,,，(1)22x 122记，则 zAx,,，4(1)x 211(1)(31)(31)，，,xxx222, zxxx,,，,，,4(1)(1)22xxx 1,x,z得到唯一的驻点为. 由于在该驻点附近的符号为左负右正，因而该唯一驻 3 124点为极小值点从而是最小值点，即所求点为(,)，面积的最小值为. A,3393 0,,xx八、证:不妨设，则 12 ,fxfxffxx()()(0)() (0),,,,,,,， 111111 ,fxxfxfxxxx()()() ()，,,,,，,, 122212212 ,,,,,由，知单调减少，从而ff()(),,,，于是有fxxfxfx()()()，,,，fx()0,fx()211221 即fxxfxfx()()()，,，. 1212 天津科技大学《高等数学》(一)检测题4-1答案 19 一、填空题 1(; 2(; 2x，CarccotxC， 2,xf(x)3( ; 4(; 5(( arcsinx，cosx，C，C，Ce二、选择题 1((D); 2((C); 3((C)( 三、计算题 x3134x,，,，，xxxxC1(解:原式3dd. ,,ln34 112(解:原式. ,,,,，3d2d3arctan2arcsinxxxxC2,,21，x1,x 22cossinxx,3(解:原式,,,,，，d(cossin)dsincosxxxxxxC. ,,sincosxx， 241，3x，3xdx23arctanx，x，Cdx,，3xdx,4(解:原式( 22,,,1，x1，x 4x33,y,y(x)y,xdx,，C四、解:设所求曲线为，由已知有，则， y,x,4 411x1y,,再由曲线过点(1,0)，有，得C,,，所求曲线为( 0,，C4444 天津科技大学《高等数学》(一)检测题4-2答案 一、填空题 2313(2x，1)，C1(; 2(; ,cos(1，3x)，C43 13223(; 4(( sinx，Cln(1，x)，C232 二、选择题 1((D); 2((B)( 20 三、计算题 cosxdsinx1(解:原式=( cotxdx,dx,,lnsinx，C,,,sinxsinx 1dlnx2(解:原式=( dx,,lnlnx，C,,lnxxlnx 11,,1xxed(,)3(解:原式==. e，C,x 1122224(解:原式 ,cos(2,3x)d(x),,,,cos(23)d(23)xx,,26 12( ,,,，sin(23)xC6 arccotxarccotx,edarccotx,,e，C5(解:原式=( , 41d(x)14,,arcsin(x)，C6(解:原式. ,42441,(x) fx()1d[2F(x)]1dx四、解:,,arctan[2F(x)]，C( 2,2,14()，Fx221，[2F(x)] 天津科技大学《高等数学》(一)检测题4-3答案 计算下列不定积分 ,1(解:令x,2sint()，则dx,2costdt，于是 t,2 22 4,xdx,4cosdt,2(1，cos2t)dt,,, 21xxx( ,2(t，sin2t)，C,2(arcsin，1,)，C2224 ,2dx,sectdt2(解:令()，则，于是 x,tantt,2 2dxsectx，C,dt,costdt,sint，C,( 3,,,223sect1，x(x，1) 656x,tdx,6tdt3(解:令，则，，于是 x,t 21 8x6t1642,,,，,，dxdt6(ttt1)dt22,,,3，，t1t1，x1 7575366xxxttt666(,，,x，arctanx)，C,6(,，,t，arctant)，C,( 753753 114(解:令，则，于是 x,dx,,dt2tt 1-dt342tdt1d(1，4t)14t原式 ,,,,,,,ln(1，4t)，C,,,441116161，4t1，4t(，4)4tt 41x14,ln，C( ,,ln(1，)，C4416x，416x 天津科技大学《高等数学》(一)检测题4-4答案 一、填空题 121(; 2(; xsinx，cosx，Cxarctanx,ln(1，x)，C2 3x,x，arctanx，C3(xxxCln,，; 4(( 3二、选择题 1((B); 2((A)( 三、计算题 2,x2,x2,x,x2,x,xxedx,,xde,,xe，2xedx,,xe,2xde1(解: ,,,, 2,x,x,x,x2,,xe,2xe，2edx,( ,e (x，2x，2)，C, 2xsecxdx,xdtanx,xtanx,tanxdx,xtanx，lncosx，C2(解:( ,,, 32222,lnxdx,(xxlnx,xdx),xx(3lnx,2)，C3(解:原式. ,,339 22 xarcsindxx,xarcsinx,dx4(解: ,,21,x 2d(1x),2( xarcsinxxarcsinx，1,x，C,，,,221x, xxxxecosxdx,cosxde,ecosx,e(,sinx)dx5(解: ,,, xxxxxecosx，sinxde,ecosx，esinx,ecosxdx = ,, 1xxecosxdx 所以 =( e(cosx，sinx)，C,2 22x3d(x3x10)，，,2lnx，3x,10，Cdx,,6(解:( 22,,x3x10x3x10，,，, dx1d(x1/2)，117(解:,,( arctan(x，)，C22,,44x4x5(x1/2)1，，，，42 x,41211dx,[,]d(x,2),,，C8(解: ( 3232,,x,2(x,2)(x,2)(x,2)(x,2) 2lnx2f(x)dx,lnx，Cf(x),四、解:由已知，则，于是 1,x 2,xf(x)dx,xf(x),f(x)dx,2lnx,lnx，C( ,, 天津科技大学《高等数学》(一)自测题4答案 一、填空题 xarctanx，C1(; 2(; ,sinx，Cx，C12 xxeC，，3(; 4(; 5(( 2[x，f(x)]，C,2cost，C二、选择题 1((D); 2((A); 3((D)( 三、计算题 23 21d(1，x)11223,，(arctanx)darctanx,ln(1，x)，(arctanx)，C1(解:原式( 2,,2231，x ,2(解:当时，令()，则，于是 0x,3x,3sectdx,3secttantdt,t,2 2x,93tant2dx ,,3secttantdt,3tantdt,3(tant,t)，C,,,x3sect 333,22(其中)， C,C,,x,9,3arccos，C,x,9，3arcsin，C112xx , 当时，令，()，则，于是 x,,3x,3sectdx,3secttantdt,t,,2 2x,9322dx ,,tt,,t,t，C,x,,，C3tand3(tan)93arcsin,,xx 32,x,9，3arcsin，C ， x 2x,932dx,x,9，3arcsin，Cx,3所以，对，都有( ,xx 2x223(解:原式 ,，,,,，,，，xxxxxxxxCln(1)dln(1)22arctan,21，x xxddxx,4(解: 2,,xxxx，,,，2(1)(2) 11112,,2,dx. ,,，，，ln1ln(2)xxC，,,,3xx,，1233,, 332xt,dx,3tdt5(解:设，则，.于是， xt, 3ttttx222233原式. ,3tedt,3te,6tedt,3(t,2t，2)e，C,3(x,2x，2)e，C,, 1(12ln)1dx，6(解:原式= ,，，ln|12ln|xC,212ln2，x 1xf(x)dx,arcsinx，Cxf(x),四、解:等式两边对求导，有，x,21,x 24 1f(x),， 2x1,x 3dx1122222,x1,xdx,,1,xd(1,x),,(1,x)，C所以，( ,,,3f(x)2 11122,,f(x),x，,(x)，五、解:由，得，所以 f(x),x，22xx(x) 3x112,,，C( f(x),f(x)dx,(x，)dx,2,,3xx 天津科技大学《高等数学》(一)检测题5-1答案 一、填空题 a,,A 1( 必要，充分; 2. ; 3. ，0; 4. 0， ( 2()dfxx,04 二、选择题 1. (D) ; 2. (A) ; 3. (D) . 三、计算或证明 1(解: 11118(1)=; fxx()d,,3()d6fxx,,,,1133 31333 (2)由==; fxx()d4,fxxfxx()d()d，6()d()d2，,,,fxxfxx,,,,,,,11111 3,13(3)由，得; gxxgxx()d()d3,,,,gxx()d3,,,,,131, 3331212(4). ，,，,，,[()()]d()()d224fxgxxfxdxgxx,,,,,,1112323 4xfx,M0,1fx2. 证明:因为在连续，则必存在的最大值与最小值，使m，，，，,,41，x 1得 . mfxdxM1010,,,,，，，，，，,0 25 44xx111，,1又，则， fx,,,,1Mfmf,,,,1,00，，，，，，444111，，，xxx2 41xxd1,,所以0. 4,021，x n，1,arctanarctanx3.证明:由积分中值定理，有，使得d,，于是 x,,[n,n，1]22,n1，1，,x n，1arctanarctanarctanx,,,,, limdlimlim0x. 222,n,nn,,,,,，,，，，111x,, 天津科技大学《高等数学》(一)检测题5-2答案 一、填空题 17,xxeex,sinsinln,ln2，，1. ， ，; 2. ; ，ln2，，3x3 xsinxsinx13. 或; 4. 5. ; 6 . . cottfttxfx()d，，，y,02cos,xe 二、选择题 1. (A); 2. (A); 3( (D) . 三、计算或证明 xxFxfttt()()d0d0,,,1(解:x,0时，; ,,00 xx2Fxfttttx()()d2d,,, 01,,x时，; ,,00 xx1Fxfttttt()()d2d0d1,,，,x,1时，. ,,,001 xxarctandarctandtttt,,arctan1x002(解:. ,,,limlimlim2,,,000xxxxxxxtan22 x,,1,5Fxxx,,43. 解:在区间连续，且 Fxttdt,,4，，，，,,，，，，,0 ,xx,,0,4Fx,0令，得， ，， 26 432; ; F00,Fttdt44,,,,，，，，，，,03 ,15725 ;， ,,,,,Fttdt14Fttdt54,,,,，，，，，，，，,,0033 32所以F00,为最大值，为最小值. F4,,，，，，3 天津科技大学《高等数学》(一)检测题5-3答案 一、填空题 321. ; 2. 0; 3. 1 . 3 二、选择题 1. (C) . 三、计算下列定积分 ,,1445,1. 解:( 0cosxsinxdx,sinxdsinx,sinx,0,,005 2x,t,dx,2tdt2. 解:令，则. 于是 x,t 222d13tt,,,,221d2[ln(1)]21lnttt,,,,,，,,原式. ,,,,1,,11112，，tt,,,, ,,22. 解:设 , xtdxtdtxt,,,,tan,sec,:13,:43 ,,,233dxsec3223t,33. csccot[csc]dtttdtt,,,,,2,,,,,221tansec3tt,1xx，444 ,,,,,,xxxxxdxxxxdxxsindcoscoscossin,,,,，,，,,,4. 解:( ，，,,,,,,,00000 四、解答与证明题 2xtudtdutuxx，,,,，,，,,:12,:12fxtt()d，1.解:对于定积分，设 ,1 22，xfxttfuu()d()d，,所以， ,,11，x 22，xdd . fxttfuufxfx，,,，,，()d()d21，，，，,,11，xxxdd 27 2xtdxdtxt,,,,,,1,,:02,:112.解:对于定积分，设 fxx(1)d,,0 2101011则 ,,,，,，，fxxfttfttfttttt(1)d()d()d()d1dd,,,,,,,,,011010，1t 03，，1222,，，，,，(1)ln1ln2tt，，. ，，,,，，033，，,1 1dt111,3.证明:对于定积分，设， tdtdutxu,,,,,,:1,:122,x1，tuux 1,du11211tdtd1uxx则. ,,,du1222,,,,x111，，，tut111x，12u 天津科技大学《高等数学》(一)检测题5-4答案 一、填空题 p,1 1(发散; 2(. 二、解答 00xxx01. 解: 所以，反常积分收敛. ，，edlim101xeee,,,,,,,，，,,,,,,,x ，,，,dx，，,,,,，,2lim22xx2(解:.所以，反常积分发散. ,，，1x,，,1x 1,，,lim3(解:因为，所以，点x,1是瑕点，于是 ,x,1x,1 11111，，. dxdxxx,,,,,,,,,，,121lim2122，，,,,，，00x,1xx,,110所以反常积分收敛. 11,,lim0,2x,1x,14. 解:因为函数在区间上除外连续，且，于是为,,22x,1(1),xx,(1) 111d1,x，，d11x，，瑕点. 由于，所以反常积分发散. ,,,,,,，,lim122,,,,,00x,1(1)(1)11,,,,xxxx，，0 28 天津科技大学《高等数学》(一)自测题5答案 一、填空题 1 1. 0 ; 2( ; 3( ; 4(. 1x,12二、选择题 1. (C); 2. (A) ; 3. (A) ; 4. (B); 5. (B) . 三、解答题 ,,1,,22221. 解:.,,,,,cos2cos2xdxxdx,,, 0,2222 eee112223，，2. 解: xdxxdxx,,,(ln)(ln)lnln，，11,,，，1x33eee3.解:因为，所以为瑕点， x,1limln1,,,,x，，,x,1 111x11ln(1)ln(1)ln(1)ln(1),,,,,,,，xdxxxxdxxxdx ,,,,,,,000001,x 11111,x11xxdxdxxxxln(1)ln(1)1ln1,,，,,,,，,，= ，，,,,,，，,,0000011,,xx 1,,,,,,,,(1)ln(1)1lim(1)ln(1)1xxxx,1=.,,, 0x,1 xtt，，,Ftft, 对于左式设，则 Ftfxdx,fxdxdt，，，，，，，，，，,,,4. 证明:000,,，， xtxxxx，，,所以 fxdxdtFtdttFttFtdtxFxtftdt,,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，,,,,,000000,,，， xxxxx==右式. xfxdxtftdtxftdttftdtxtftdt,,,,,，，，，，，，，，，，，,,,,,00000 xxxxx,,()'()'()'()xtftdtxftdttftdtxftdttftdt,,,,,5. 证明:因为 ，，，，,,,,,aaaaa xx,,,,所以，左式=右式. ,，,,,,ftdtxfxxfxftdtfxfa，，，，，，，，，，，，,,aa b(,)ab6. 证明:由积分中值定理，在内存在一点，使，所,fxdxfba()()()0,,,,11,a 29 以。在区间上应用罗尔中值定理，可知存在一点，使得f()0,,,,,,(,)(,)aab[,]a,111,f()0,, 11xudfxttfu7. 解:对积分作换元，则，于是 ,f(xt)dtxt,u()d(),,,000x xx12，即，两边对求导，有 f(u)du,f(x)，xsinxf(u)du,xf(x)，xsinxx,,00x 2,,f(x),,2sinx,xcosx，即，所以 f(x),f(x)，xf(x)，2xsinx，xcosx f(x),(,2sinx,xcosx)dx,2cosx,xsinx，sinxdx,cosx,xsinx，C( ,, 11f(x)dx,a8. 解:(1)设，则， f(x),，ax,01，x 该式两边同时在上求定积分，有 [0，1] 111daxaa1()ddln(1)ln2a,ln2， ，即， fxx,，axx,，x，,，0,,,0001222，x 1得 ，所以( a,2ln2f(x),，2ln2,x1，x 11x(2)，则，于是， f(x),，axf(x),，axxf(x)dx,a,01，x1，x 该式两边同时在[0，1]上求定积分，有 111dxxaa1()dd1ln(1)1ln2， xfxx,，axx,,，x，,,，0,,,000122，x a1a,2(1,ln2)a,1,ln2，即，得，所以( f(x),，2(1,ln2)21，x 天津科技大学《高等数学》(一)检测题6-1答案 一、填空题 ,12,,1241.; 2. ; 3. ; 1,xdx2cos2,,dydy,，，,,,,,,101y,, 14. ; 5. . e，,22,1e 二、选择题 30 1. (C); 2. (D). 三、计算题 11111，，2231. . Axxxxx,,,,,d，，,,,0236，，0 2. 由对称性 40,/21,2244d144sind144sind144. 36,A,A,yx,,tt,tt,,,,1,,,0/20,22 ,,，a,,,,a、,,2acos,3. 两圆的极坐标方程分别为，由 得， ,,,,,，3,2acos,, 由对称性， ,,,/3/2/22222222AAadaaaaa,,，,，，,,24cosd/32(1cos2)d2/33/2,,,,,,,, 1,,,0/3/3,, 2,,,，y1x1x,4. 解:由 得，则 ,2,，1，ayax, 131x221/1，a1，a,(1,,)d,,(1，)Axaxxa 20,031，a 112,,, ， 1，a31，a31，a 11212(1)d1 而 ，由，有，所以 A,,xx,,,A，A,A,A21212,0333 21,，即，得a,3( 1，a,2331，a 天津科技大学《高等数学》(一)检测题6-2答案 一、填空题 a1a222242()d,ayy, 1. ; 2. 或; ,xxdx,,()dayy,，，,,,0,0a ,/28sattt,3sincosd4x32 3. ， ; 4. ; 5. . (10101),,027 二、选择题 31 1. (C); 2. (D) ( 三、计算题 11,4,41.解:; . Vxx,,dVyy,,,d,,,xy,,0025 22ee2,,2222eVeeeeyy4lnydy4ln2lnydy,,,,,,,,,,,,,,,ye,,ee2. 解: ,,22224422eeeeee,,,,,,,,,,，， 23(解:由抛物线通过原点，有(由 c,0y,ax，bx，c 1443ab2()d ，得，于是 a,,b,ax，bxx,，,093232 14322 V(b),,[(,b)x，bx]dxx,032 1434324322 ,,[(,b)x，2b(,b)x，bx]dx,03232 22143b43bb2b162,,[(,b)，(,b)，],(,，), . 5322323301545 b21,,, 由，得唯一驻点，而，于是是唯一极b,2b,2V(b),,0V(b),,,0151515 小值点，也是最小值点，因此当时该图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积最小，此b,2x 455a,,3,,时，所以a,,，，. b,2c,0333 天津科技大学《高等数学》(一)自测题6答案 一、填空题 1212x4(2x,)dx，(,)dx1. ; 2. ; 23,1,,12xx232 33222a3. ; 4. xyaxya，,，,,2二、选择题 1. (B); 2. (B); 三、计算题 32 1. 解:铅直向上取为轴，原点在罐底(如图)，则积分区间为， [0，4]x [x，x，dx]在上任取一个小区间，将该层水吸出克服重力 [0，4] 所做的功的微元为: 2 ，所以 dW,g,,,1dx,(4,x),9.8,(4,x)dx 4424(kJ)( 246.3W,dW,9.8,(4,x)dx,,4.9,(4,x),78.4,,0,,00 2. 解:如图取坐标，轴铅直向下，原点在水面，则积分区间为， [2，5]x [x，x，dx] 在上任取一个小区间，则该小条薄板所受 [2，5] dP,g,2xdx,19.6xdx侧压力的微元为:， 5525所以 (kN) ( 205.8P,dP,19.6xdx,9.8x,2,,22 3. 证明:在处取一宽为的小曲边梯形，小曲边梯形绕轴旋转所得的旋转体体积近dxyx 2(),xfxdxdVxfxdx,2(),似为，这就是体积元素，即，于是平面图形绕轴旋转所成y bb的旋转体体积为 Vxfxdxxfxdx,,2()2(),,,,aa 天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-1答案 一、填空题 1223，，,，,1( (,1，2，2); 2( I; 3( ; 333 , 4( ; 5( 13，或7j; 6( ; 22(0,7,0)4二、选择题 1((B); 2( (C); 3((D)( 三、解答题 ,, ,(解:( 3a，2b,3(1,2,4)，2(,1,1,0),(1,8,12) 22MP,NPP(0，0，z),(解:设所求点位，由，有 33 222222，即 (0,2)，(0,2)，(z,3),(0,2)，(0，3)，(z,2) 22z,6z，15,z,4z，17，于是2z,,2，得z,,1，所求点为( (0，0，,1) ,,,,a11e,,,,a,,,( 解:;( 3a,3(1，2，,1),(3，6，,6)(1，2，,2),a33 22222222AB,6，(,2)，(,3),49AC,(,2)，3，(,6),49,( 解:由，， 2222222BC,(,8)，5，(,3),98AB，AC,BC ，有AB,AC及， 所以，三角形ABC是等腰直角三角形( 天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-2答案 一、填空题 2arccos21( ， (7,,4,,13); 2( ; 21 3( 0; 4( (2,-2,-1)( 二、选择题 1((A); 2((A); 3((D); 4( (C) ( 三、解答题 ,,,ijk,,a，b,120,(2，,1，,3)1(解:因为，所以 1,11 ,,,,7 (a，b),c,2，0,9, ,,,,2(解:( 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 1)与向量k,0、都垂直的所有非零向量可以取为()，而 abka，b ,,,ijk,,a，b,221,(2，,4，4),2(1，,2，2) ， 243 34 所以，所求向量为(其中为实数)( k(1，,2，2)k,0 ,,,,,,,,,c,(x，y，z)(方法2)设所求向量为，由，有，即 c,a、c,ba,c,b,c,0 2x，2y，z,0，,y,,2k、z,2k令，得， x,k,2x，4y，3z,0，, 所以，所求向量为(其中为实数)( k(1，,2，2)k,0 ,,,, S,a，b3(解:a，b,(1,,5,7)，由平行四边形的面积，所以( S,75 天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-3答案 一、填空题 2222222221( ; 2( ，; (x,1)，(y，1)，(z,2),6y，z,(1，x)y,1，x，z 23( 圆锥面; 4( 椭圆，椭圆柱面; 5(，抛物柱面( z,x 二、选择题 1((B); 2((B); 3((C); 4( (D) ( 天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-4答案 一、填空题 22,2,xz,1,221( 2( xy，,1,y,0;, x，y，z,3z,13(; 4( . 二、选择题 1((C); 2((C); 三、解答题 ,n,MM，MM,(,2,2,1)，(1,,3,2),(1,3,4)1(解: 取法向量， 1213 35 (x,1)，3(y,0)，4(z,2),0 平面方程为，即( x，3y，4z,9 ,2( 解:根据两平面平行的关系，所求平面法向量可以取为， n,(2，,1，3) 2(x,1),(y,0)，3(z，1),02x,y，3z，1,0所求平面为，即( Ax，By,03( 解:由平面过轴，有，为此设所求平面为，将点C,D,0z Ax，Ay,0B,A代入到方程中有，得，所求平面为，即M(1,,1,,1)A,B,0 x，y,0( xyz4(解:平面方程化为，所以在三个坐标轴上的截距分别为6,2,4( ，，,1624 12,12 原点到平面的距离为( ,2227263，， 天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-5答案 一、填空题 x,2y，1z,, 1( ; 2( ; x,y,z3,24 x,1y,2z,3,,3( ; 1,22 二、选择题 1((A); 2((C); 3. (B) 三、解答题 ,1( 解:根据平行直线的关系，所求直线的方向向量为s,(2，,3，4)，又过直线过原 xyz,,点，于是所求直线的方程为( 2,34 M3,,,0,,32( 解:设所求平面方程为，将点代入有，得，x，2y,z,1，,z,0 于是所求方程为( x，2y，2z,1 36 ,,,ijkx，y，3z,1，,, 3(解:直线的方向向量，s,113,(2，4，,2),2(1，2，,1),x,y,z,3,1,1,1 ,x,y，2z,0平面的法向量，由直线与平面的夹角公式，有 n,(1，,1，2) ,,122s,n,,1, arcsinarcsinarcsin,,,,,,,26s,n66 4(解: xyz，,11x,3t,1、y,,2t，1、z,t解:将直线改写为参数方程，将其代入到平,,321, 之中，有，即，得，面方程3t,1，2t,1，t,10,06t,12,0t,2x,y，z,10,0 x,5、y,,3、z,2再将代到直线的参数方程之中，得，所以直线与平面的交点为t,2 ( (5，,3，2) 天津科技大学《高等数学》(一)自测题8答案 一、填空题 22z1(，; 2(; 3(,1; 2y,z,0x，y000 22x，2y,16 4. 0; 5( 二、选择题 1((C); 2( (C); 3((D); 4((D); 5((C) 三、解答题 ,222cos,，cos,，cos2,,11(解:设e,(cos,,cos,,cos2,)，由，有 22222cos,,sin2,,0 ，即，所以 cos,(1,2sin,),0 ,3,22,,,e,(,,0)e,(0,0,,1) ,或,(,舍去)，于是或. ,,,22244 37 Ax，By,0 2(解:由平面过原点且垂直面，有，为此设所求平面为，C,D,0xOy Ax,Ay,0将点代入到方程中有，得B,,A 所求平面为，即M(1,1,1)A，B,0 x,y,0( x,1y,2z,3m，n，p,0,,3(解:设所求直线方程为，由与已知直线垂直，有mnp z3,12,,0,,?;又设与轴交点为，有?，由?、?两式得(0,0,z)z0mnp x,1y,2z,3n,2m、p,,3m,,，所求直线方程是. 12,3 38