列微分方程与解微分方程的要点

列微分方程与解微分方程的要点列微分方程与解微分方程的要点表示未知函数（设未知函数为一元函数），未知函数的导数或微分与自变量之间关系的方程称作微分方程，方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数，叫微分方程的阶，因此，n阶微分方程的一般形式为 F(X;y, ()n,y………)=0 y 作为考研数学对微分分方程的要求，仅是一些特殊情形，即：一阶微分方程（变量可分离方程，一阶齐次方程，一阶线性方程， Bernoulli方程，令微分方程（会乘以积分固子后可化为全微分方程的方程）；可降阶的高阶微分方程（n,,,y=f(x)型，y=f(x...

列微分方程与解微分方程的要点表示未知函数（设未知函数为一元函数），未知函数的导数或微分与自变量之间关系的方程称作微分方程，方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数，叫微分方程的阶，因此，n阶微分方程的一般形式为 F(X;y, ()n,y………)=0 y 作为考研数学对微分分方程的要求，仅是一些特殊情形，即：一阶微分方程（变量可分离方程，一阶齐次方程，一阶线性方程， Bernoulli方程，令微分方程（会乘以积分固子后可化为全微分方程的方程）；可降阶的高阶微分方程（n,,,y=f(x)型，y=f(x,y)型，,,,yfyy,(,)型）；二阶（或高阶）线性微分方程（解的结构及解法）； nn,,1(1)nn()xy,pyxyPxypuler方程（++……+=f（x）；(、2……,pi,1nn,1i1 n)为常数），此外，对考数（三）的同学还要求差分方程（本课件不涉及）考查的重点是列微分方程解应用题，这恰是广大考生认为的难点部分，先从往年考题中分析两个例子能窥见一斑。当然概念与解方程也是考查的重点例1 设曲线L位于XOY平面的第一象限内，L上任意点M处的切线与Y轴总相交，交点记为A，已知|MA|=|OA|，且L过点（33，），22 求L的方程。例2 设物体A从点（0，1）出发，其速度大小为常数v,设y轴正向运动,物体B从点c(-1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。一、基本概念与线性方程解的性质 1、微分方程的解（1）解，通解，特解：代入微分方程，使之成为恒等式的函数，称作微分方程的解，如果微分方程解的表达式中，所含独立的任意常数个数等于微分方程的阶数，此解称作微分方程的通解（通解有时也可以写成隐函数的形式，此种形式的解叫做微分方程的通积分）；确定了通解中的任意常数后，得到的解叫微分方程的特解。（2）初始条件：用来确定n阶微分方程通解的任意常数的n个条件，如(1)n,,yxy(),yxy(),yxy(),，，…… 01n,000 称之为初始条件（3）初值问题与积分曲线，带有初始条件的微分方程称为初值问题。 ,,,=f(x)解的性质 yPxyqxy，，()()微分方程特解的图形叫做微分方程的积分曲线。（1）若,,,yy，为齐次线性微分方程：=0 （）的解，ypxyqxy，，()()i122、二阶（或高阶）线性微分方程：则 cycycy,，c（，为任意常数）仍为（）的解。 i111222 （2）若cyyycycy,，，为方程（）的两个线性无关的解，则（，i1121122c为任意常数） 2 为方程（）的通解 i （3）若,,,y*为非齐次线性微分方程ypxyqxy，，()()=f(x) ()ii的特解，而Y为相应的齐次线性微分方程()i的通解，则y=y*+Y是方程()ii的通解 *（4）若,,,yfx()ypxyqxy，，()()(i=1、2……n)为=（i=1、2……n）的ii nn**特征，则,,,yy,yfx,()是ypxyqxy，，()()=的特征（叠加原理） ii,,vi1,1, ,x例3 设,,,ycxe,yyy，，,20（c为任意常数）它是微分方程（）（A）通线（B）特线（C）不是方程的解（D）是包含以上三个选项的情况

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