解析函数的几种求法 数学系毕业论文.doc

解析函数的几种求法 数学系毕业论文.doc 解析函数的几种求法 摘要 在已知解析函数的实部或虚部的条件下求解析函数,并将其表示为的形式,f(z) 是复变函数中一个很重要的问题.因此,选择恰当的方法求解析函数就显得非常重要了. 本文给出了一些用必要的定理和推论来求解析函数的方法,再以例题说明具体的应用. 关键词 解析函数; 调和函数; 柯西—黎曼方程 Some Methods Of Analytic Functions Abstract Known in the analytic functions real part or imaginary part conditions for analytic functions, and will it says theforms, the complex functions is a very important f(z) question. So, choose appropriate method for analytical function is very important. In this paper, some with the necessary theorem and reasoning for the method of analytic functions, again with examples explain specific application. Keywords Analytic Functions; Harmonic Function; Cauchy-Riemann Equation 一 引言 从解析函数及调和函数理论我们知道这两类函数有着非常密切的联 系:函数Du(x,y)在单连通区域内解析的充要条件是f(z),u(x,y)，iv(x,y) vxy(,)Du(x,y)vxy(,)及为内的共轭调和函数,已知或中的一个,就可以确 f(z)定函数,不过可能相差一个实数或纯虚数.这就提出了一个问题:已知 vxy(,)u(x,y)f(z)调和函数或,如何求其共轭调和函数使解析,这不仅是 复变函数理论中的重要问题,同时在物理中的流体力学、空气动力学、电 学等领域有重要应用.如在实际应用中,有时要对一对共轭调和函数进行 计算与研究.本文就对已知调和函数或,如何求其共轭调和函u(x,y)vxy(,)数使解析方法进行总结与探求. f(z) 二 预备知识 1. 解析函数的定义及柯西—黎曼方程的推出 定义1 如果函数在区域内可微,则称为区域内的解fz()DD,,fz() 析函数,或称在区域内解析.若在某一点的某一领域内解析,我fz()Dfz() 们也说在某点解析. fz() zxiy,，fzuxyivxy()(,)(,),，若在一点可微,而且设 fzzfz()()，,,,lim(),,fz (1.1) ,,z0,z ,,,，,，,,,,，,zxiyfzzfzuiv,()(),又设其中 ,,，,，,,uuxxyyuxy(,)(,), ,,，,，,,vvxxyyvxy(,)(,), (1.1)变为 ,，,uiv,lim().,fz (1.2) ,,x0,，,xiy,,y0 因为无论按什么方式趋于零时,(1.2)总是成立的.先设,,,，,zxiy zz，,z,,,,yx0,0,即变点沿平行于实轴的方向趋于点,此时(1.2)成为 ,,uv,limlim(),，,ifz ,,,,xx00,,xx ,,uv,于是知必然存在,且有 ,,xx - 1 - fzfz()(),,,,uv,0, . (1.3) ，,,,ifz()limlim,,,yyy00,,,,xxzzz0,,x,,x00 zz，,z同样,设即变点沿平行于虚轴的方向趋于点,此时,,,,xy0,0, (1.2)成为 ,,uv,limlim(),,，,ifz ,,,,yy00,,yy ,,uv,故知亦必存在,且有 ,,yy fzfz()(),,,,uv,0, . (1.4) ,，,,,ifz()limlim,,,xxx00,,,,yyzzz0,,y0,,y0 比较(1.3)及(1.4)得出 ,u,v,u,v,,,,. ,x,y,y,x uv这是关于及的偏微分方程组,称为柯西—黎曼方程. 由此我们可以得出: f(z),u(x,y)，iv(x,y)结论1 若在区域D中解析,则必满足柯西—黎曼 方程,即 ,u,v,u,v,,,,. ,x,y,y,x f(z),u(x,y)，iv(x,y)结论2 若在区域D中解析,则 ,u,v,v,u,f(z),，i,,i. ,x,x,y,y f(z),P(r,,)，iQ(r,,)D推论1 若函数在区域中解析,则有 ,,,,PQQP,,i,1,i,,,，,,()()()fzeirei ,,,,,,rr - 2 - ,Pi,P,Q,Q,,i,1,i,,e,,re，i. ()(),rr,,,,,r 所以有 ,P,Q,Q,P11,,,,. ,rr,,,rr,,推论1的证明: f(z),u(x,y)，iv(x,y),P(r,,)，iQ(r,,)证 由于 ,x,rcos, 令 则有 y,rsin., ,P,u,u,,,cos，sin,...........................................(1),r,x,y ,P,u,u,,,,rsin，rcos,....................................(2),,,x,y ,Q,v,v,,,cos，sin,...........................................(3),r,x,y ,Q,v,v,,rsin,，rcos,.....................................(4),,x,y, (3)，i加到(1)式,有 ,P,Q,u,v,v,u，i,cos,(，i)，isin,(,i) . ,r,r,x,x,y,y i,由结论2及e,cos,，isin,,得 ,,PQ,i,,,，f(z)e(i)..............................(5) . ,,rr i同理用(4)式减去×(2)式,有 ,Q,P,v,u,u,v,i,,rcos,(,i)，irsin,(，i) . ,,,y,y,x,x,, i,re,rcos,，risin,由结论2及,得 ,,QP,1,i,,,,()()............................................(6).fzrei ,,,, - 3 - 由(5),(6)式可得 ,P,Q,Q,P11,,, ,....................................(7),rr,,,rr,, 经过代换可得 ,,,,PQQP,i,,1,i,,,，,, ()()()fzeirei,,,,,,rr ,Pi,P,Q,Q,,i,1,i,,e,,re，i()() . ? ,rr,,,,,r我们称(7)式为以极坐标为参数的柯西—黎曼方程. (r,,) 2. Laplace方程及调和函数 设fzuiv(),，在内解析,则由柯西—黎曼方程 D ,u,v,u,v,,,,, ,x,y,y,x 2222,,,,uvuv,,,,,得 22,,,,,,xxyyyx 22,,vv,因在内连续,他们必定相等,故在内有 DD,,,,xyyx 22,,uu，,0, 22,,xy 22,,vvuv，,0,同理,在D内有即和在D内满足Laplace方程: 22,,xy ,,,,uv0,0. 22,,,,，这里是一种运算记号,称为Laplace算子. 22,,xy (r,,)下面我们给出以极坐标为参数的Laplace方程: f(z),P(r,,)，iQ(r,,)D设在区域内解析,则由 - 4 - ,P,Q,Q,P11,,,,. ,rr,,,rr,, 2222,P,Q,Q,Q,P111,,，,,,得 . 222,,r,,,r,r,,r,rr,, 22,Q,Q由解析函数的无穷可微性知和在内连续,它们必相等,所以有 D,,,r,r,, 22,,,PPP12,,，，,0rr. 22,,r,,r 同理可得 22,,,QQQ12,,，，,0rr. 22,,r,,r 2222,,,PPP,Q,Q,Q1212,,,,，，,0，，,0rrrr我们称,为极坐标形式2222,r,,,r,,r,,r 的Laplace方程. D定义2 若二元实函数在区域内有二阶连续偏导数,且满足Hxy(,) ,,H0DLaplace方程,则称为区域内的调和函数. Hxy(,) 形式地,我们有: D定义3 若二元极坐标函数在区域内有二阶连续偏导数,且H(r,,) 22,,,HHH12,,D，，,0rr满足,则称为区域内的调和函数. H(r,,)22,r,,,r [1]Df(z)g(z)引理1 (解析函数唯一性定理)设函数及在区域内解析, z(k,1,2,3？)DD{z}设是内彼此不同的点,并且点列在内有极限点.如kkf(z),g(z)Df(z),g(z)果(k,1,2,3？),那么在内,. kk 三 求解析函数方法介绍 1. 不定积分法 - 5 - f(z),u(x,y)，iv(x,y)f(z),P(r,,)，iQ(r,,)由于解析函数,的导数 ,u,v,v,u,f(z),，i,,i,还是解析函数,并且,或 f(z),x,x,y,y ,,,,PQQP,,i,1,i,,,，,,()()()fzeirei . ,,,,,,rr 当已知单连通区域内的调和函数或时,可Du(x,y),P(r,,)v(x,y),Q(r,,) ,z将表示成的函数,此时有 f(z) ,u,v,v,u,f(z),，i,,i, ,x,x,y,y ,,,,PQQP,,i,1,i,,,，,,()()()fzeirei. ,,,,,,rr ,我们令,则得 F(z),f(z) f(z),F(z)dz. , ,u,v,,PQ,v,u,i,F(z),，i,，F(z),,iF(z)e(i)其中或或或,x,x,y,y,,rr ,,QP,1,i,,,()()Fzrei. ,,,, 22u(x,y),2x,2y,2xy例1 试求以调和函数为实部的解析函数 f(0),0f(z),u，iv,并且满足. 22解 由u(x,y),2x,2y,2xy,得 ,u,u,4x,2y,,,4y,2x , ,x,y 由柯西—黎曼方程,得 ,v,u,,,4y，2x . ,x,y F(z),4x,2y，i(4y，2x),4z，2iz所以 . - 6 - 2因此 ,将带入,得. C,0f(z),F(z)dz,2z(2，i)dz,(2，i)z，Cf(0),0,, 故所求函数为 2. f(z),(2，i)z xu,例2 证明为调和函数,并求以它为实部的解析函数. 22x，y ,x,rcos, 证 令 则有 y,rsin., rcos,cos,Pr,,(,), , 22rrr，(cos)(sin),, 22,P2cos,,Pcos,P,cos,,,,,,由于,,, 2322r,r,,rrr, 22,P1,P1,P2coscoscos,,,所以 ，，,,,,0, 222333r,r,rr,rrr, xu,P(r,,)故 为调和函数,也即为调和函数. 22x，y P,Q1,P,sin,,,,,由于,, r,rr,,,, 所以 ,P,Q,,i,2,i2,,2F(z),e(，i),,re,,z . ,r,r 1,2f(z),,zdz,，C故 . ,z yv(x,y),arctan(x,0)z例3 验证在右半平面内是调和函数,并求以x f(z)此为虚部的解析函数. ,x,rcos, 解 令 则有 y,rsin,. - 7 - rsin,,, , Q(r,),arctan,.(,,,),,,rcos22, ,,QQ,0,,1由于, ,,,r 22,,,QQQ12,,，，,0rr故 , 22,,r,,r 所以 为调和函数. Q(r,,),, ,P1,Q,又由得 ,rr,, 11,i,Fze(),, . rz 1f(z),dz,lnz，C所以 . ,z yv,f(z),u，iv例4 试求以为虚部的解析函数,并满足22x，y . f(2),0 ,x,rcos, 解 令 得 y,rsin,. rsin,sin,Qr,,(,), , 2222rrr，cossin,,可以验证其为调和函数. 由 QQ,,sin,cos,,,,,. 2rrr,,,,P1,Q,及,得 ,rr,, ,Pcos,, 2,rr - 8 - cossin,,,,i,2,i2,,2F(z),e(,i),re,z故 . 22rr 因此所求函数为 1,2f(z),F(z)dz,zdz,,，C . ,,z将带入,得 f(2),0 11f(z),, . 2z 2. 线积分法 在两个二元实函数和的表达式中,令,就可以得u(x,y)y,0,x,zv(x,y) 两个相应的复变量函数. u(z,0),v(z,0) f(z)定理1 已知函数在区域内调和,包含原点,在内解u(x,y)DDD 析, 则 R[f(z)],u(x,y),If(0),0,em f(z),u(z,0)，iv(z,0) z,u,,v(z,0)|dx其中. y,0,0,y v(x,y)f(z),u(x,y)，iv(x,y),证 设由于在内解析,所以解析且f(z)D满足柯西—黎曼方程,从而 (x,y)(x,y),,,,vvuu ,，,,，v(x,y)dxdydxdy.,,(0,0)(0,0),,,,xyyx再将右端按图中两端路线积分,第一段由O到第二段由到A(x,0)A(x,0), ,于是 B(x,y) xy,,uu,,，v(x,y)dxdy. ,,00,,yx所以 - 9 - x,u. (,0)|vxdx,,,0y,y0,y zMN,设是中在实轴上的部分,当时 MND Bxy(,) fzfxuxivx()()(,0)(,0),,， 因在内解析,故由唯一性定理可知,在区域上 fz()DD oxAx(,0)fzuzivz()(,0)(,0),,， 而且 z,uvzdx(,0),, . ? ,0,y xy,推论 设uxy(,)在区域内调和,包含原点.是的二元多DDuxy(,) yfzuxyivxy()(,)(,),，项式,Rx()是中的一次项,在解析且uxy(,)Dv(0,0)0,,则 fzuzivz()(,0)(,0),， zvzRxdx(,0)(),,其中 . ,0 ,u|(),,Rx这是因为所以由定理即得所述结论. y,0,y ,u,|0x 方法(1) 一般方法 将对求原函数(在原点为者),同时令y,0,y xz,vz(,0),即得于是fzuzivz()(,0)(,0).,， yxy,uxy(,) 方法(2) 特殊方法 若uxy(,)是的二元多项式,将中的一 xyxz,(1),次项去掉,乘以再对求原函数(在原点为0者),同时令即得vz(,0)fzuzivz()(,0)(,0).,，,于是 22uxyxxyyf(,),(0)0,,，,,fz()例5 求解析函数. 2zi22vzuzz(,0),(,0),,,,fzz()(1),,解 所以. 22 - 10 - 3222例6 求. fz()uxyxxyxyyf(,)632,(0)0,,，,,, 333解 所以. fziz()(12),,vzzuzz(,0)2,(,0),,,, fzuzivzC()(,0)(,0),，，fzw(),若条件换成,则(C为任意常f(0)0,00 数)然后再定常数C. 例7 求. uxyfi,,,2(1),(0),fz() z22解 , vzxdxzuz(,0)2(1)(1)1,(,0)0,,,,,,，,fzziC()[(1)1],,,，，,0 Ci,由得, fi(0), 2故 . fzzzi()(12),，, xxfz()例8 为调和函数,求. uxyexyeyy(,)cossin,, ,uzz,,|0, 解 因为所以,又zzze(,0),,故fzzeC(),，. vz(,0)0,y,0,y 可见此法具有一定的优越性,使我们可以用心算立即得出这些题的答 fz()fz()案.这类题是求解析函数,有了就可以知道它的虚部. vxy(,)3. 形式导数法 uxy(,)f(z),u(x,y)，iv(x,y)vxy(,)引理2 设复变函数,且和都有偏导 fz()数,那么(形式地)对于可由柯西—黎曼方程可以写为 ,,,fuv,f,，,i0,0(由此可见,解析函数是以条件为特征的,因此,我们,z,,,zzz zz不妨说,一个解析函数与无关,而是的函数). 11zxiy,，zxiy,,xzzyzz,，,,(),()证明 由及知, 22i 11xzzyzz,，,,(),()fz()f(z),u(x,y)，iv(x,y)将,代入到中,则可看成22i - 11 - ,,xy11,,,,,,,,,,,fuxuyvxvy,,,,与的函数,故又因为,,，，，izz,,22i,,zz,,,,xyxy,,,,,zzzzz,,所以 ,,,,,,,fuuvv1111,,，,i ,,2222,,,,xiyxiy,z,, 11,,,,uiuivv ,，，,2222,,,,xyxy 1,,,,uviuv ()().,,，，22,,,,xyyx ,f,u,v,u,v,0,,,,利用柯西—黎曼方程,则,故与无关,是的zfz()z,x,y,y,x,z函数. ? 定理2 若已知调和函数且有定义,则相对应的解析函数uxy(,)u(0,0)为 zzfzuuiCCR()2(,)(0,0),,,，,. 22i ,f,0fz()fz()证明 根据上述引理,即是关于的函数,则关于的zz,z ,f,0,导数为0,即事实上 ,z ,,,,,,,,,,,fuxuyvxvy,，,，i,,,,,,,,,,,zxzyzxzyz,, 111,,,,uuivv ,，,, 2222,,,,xiyxy ,,,,1,,,,uviuv .,,,，,,,,22,,,,xyyx,,,, ,f,0,fz()z由柯西—黎曼方程知:于是可把看成的函数,记此函数,z 1fz()uxyfxiyfxiy(,)[()()],，，,为,用这个记法可写出恒等式. 2 - 12 - zzzz1xy,,,如果代入,则由于所需确定的ufzf(,)[()(0)],,，fz()22i222i fu(0)(0,0),可相差一个纯虚数常数,因此我们可假设实数,即,从而函f(0) zzfzuu()2(,)(0,0),,fz()数可以用公式计算,可任意加上一个纯虚数常 22i 数,所以 zzfzuuiCCR()2(,)(0,0),,,，, . ? 22i x例9 已知是平面上的调和函数,求以为实部uxyey(,)cos,zuxy(,) 的解析函数. fz() 解 由定理2 zz02fzeeiC()2coscos0,,，2i zz,z22ee，2 21,,,，eiC2 z 11,，,，eiC z ().,，,eiCCR 4. 其他方法 DD定理3 uxy(,)为区域内的调和函数,那么在内以为实部的uxy(,) 解析函数为: ,ufzdziCCR()2(),，,. ,,z 11xzzyzz,，,,(),()证 由得 22i ,,,,,,,,,uuxuyuuuu111,,，,,，,,()i , ,,,,,,,,,zxzyzxiyxy222 - 13 - ,,,uuu,,i2所以,现设的共轭调和函数为. vxy(,)uxy(,),,,xyz ,u,v,u,v,,,,由柯西—黎曼条件有 ,x,y,y,x ,,,,,uvuuu,fzii()2,，,,, , ,,,,,xxxyz 2,,fuu,,,，2()dzz,fzdzz()2(),,fz(),，故 所以,由于是解析函数,因,,,,,zzzz, 2,,fu,u,,0,,()ziC,fzdziCCR()2 (),，,,()0z,此,得,于是.即.? ,,,,zzz,z类似可证: DD定理3? vxy(,)为区域内的调和函数,那么在内以vxy(,)为虚部的解析函数为: ,vfzidzCCR()2 (),，, . ,,z 32xxy,3例10 求一解析函数,使其实部为. 11xzzyzz,，,,(),()解 以代入,得 uxy(,)22i 1313233uzzzzzzzz,，，，,,，()()()(). 882 ,u32,z所以 ,由上述定理有 ,z2 323fzzdziCziCCR()2 (),,，,，, . ,2 调和函数及解析函数的理论和方法在数学及 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 技术中有着广泛的应用.本文所给出的方法及其推广,很好地解决了复变函数中这一问题的理论与计算. - 14 - 参考文献 [1]余家荣.复变函数.4版[M].北京:高等教育出版社,2007. 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