第0讲三角形的等积变形.doc

第0讲三角形的等积变形.doc 第六讲 三角形的等积变形 三角形面积的计算公式,三角形面积=底×高?2 三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积,如果三角形的底不变,高越大,小,,三角形面积也就越大,小,,同样若三角形的高不变,底越大,小,,三角形面积也就越大,小,,这说明,当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化,一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化,同时也告诉我们,一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状,本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系, 为便于实际问题的研究,我们还会常常用到以下结论, ?等底等高的两个三角形面积相等, ?底在同一条直线上并且相等,该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上,这两个三角形面积相等, ?若两个三角形的高,或底,相等,其中一个三角形的底,或高,是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍, 1例如图1,BD=DE=EC=BC,?ABD和?AEC的底边相等,它们所对的3 顶点同为A点,,也就是它们的高相等,那么这两个三角形的面积相等, 同时也可以知道?ABC的面积是?ABD或?AEC面积的3倍, 例如在图2中,?ABC与?DBC的底相同,它们的底都是BC,,它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上,,也就是它们的高相等,,那么这两个三角形的面积相等, 图1 图2 图3 例如图3中,?ABC与?DBC的底相同,它们的底都是BC,,?ABC的高是?DBC高的2倍,D是AB中点,AB=2BD,有AH=2DE,,则?ABC的面积是?DBC面积的2倍。 上述结论,是我们研究三角形等积变形的重要依据。 【典型例题】 【例1】 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形( 方法1:把底边四等分 方法2:如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即?ABD与?ADC等积。然后取AB、AC中点E、F，并连结DE、DF。以而得到四个等积三角形，即?ADF、?BDE、?DCF、?ADE等积。 1方法3:如图，先将BC四等分，即，连接AD，再将AD三等分，即BDBC,4 1，连结CE、CF，从而得到四个等级的三角形，即?ABD、?CDF、?CEF、AEEFFDAD,,,3 ?ACE等积。 【例2】 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1?3?4( 图3 图1 图2 方法 1:如下左图，将BC边八等分，取1?3?4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到?ABD、?ADE、?AEC的面积比为1?3?4。 1方法2:如图，先取BC中点D，再取AB的分点E，连结AD、DE，从而得到三个三角形;4 ?ADE、?BDE、?ACD的面积比为1?3?4。 1方法3:如图3，先取AB中点D，连结CD，再取CD上分点E，连结AE，从而得到?ACE、4 ?ADE、?BCD的面积比为1?3?4。 当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决。 【例3】 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证:?AOB与?COD面积相等( 证明:??ABC与?DBC等底等高， ?S?ABC=S?DBC 又? S?AOB=S?ABC—S?BOC S?DOC=S?DBC—S?BOC ?S?AOB=S?COD( 【例4】 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形。 分析:本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积 相等(我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′ 处，?A′BD与?ABD面积相等，从而?A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等(这样就把 四边形ABCD等积地改成了三角形?A′DC(问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原 则(过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点( 解:?连结BD; ?过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′( ?连结A′D，则?A′CD与四边形ABCD等积( 【例5】 如右图，已知在?ABC中，BE=3AE，CD=2AD(若?ADE的面积为1平方厘米(求三角形ABC的面积( 解法1:连结BD，在?ABD中 ? BE=3AE， ? S?ABD=4S?ADE=4(平方厘米)( 在?ABC中，?CD=2AD， ? S?ABC=3S?ABD=3×4=12(平方厘米)( 解法2:连结CE，如右图所示，在?ACE中， ? CD=2AD， ? S?ACE=3S?ADE=3(平方厘米)( 在?ABC中，?BE=3AE ? S?ABC=4S?ACE =4×3=12(平方厘米)( 1BC【例6】图中，在?ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=,求阴影部分面积占三角形3ABC面积的几分之几 解:连结BG，在?ABG中， BDAD, 1？,SS ,,ADGABG3 在?ABC中 AGCG,2 2？,SS ,,ABGABC3 122？,，,SSS ,,,ADGABCABC339 21SS,SS,同理; ,,BDEABC,,CFGABC99 2215SSSSS,，，,++() ,,,,,ADGBDECFGABCABC9999 54()SS,1-阴影部分面积= ,,ABCABC99 【例7】 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果?ADE的面积为4平方厘米(求三角形CDF的面积( 解:连结AF、CE， ?S?ADE=S?ACE;S?CDF=S?ACF; 又?AC与EF平行， ?S?ACE=S?ACF; ? S?ADE=S?CDF=4(平方厘米)( 【例8】 如图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S?ADE=1，求?BEF的面积( 解:连结AC，?AB//CD，?S?ADE=S?ACE 又?AD//BC，?S?ACF=S?ABF 而 S?ACF=S?ACE+S?AEF?S?ABF=S?BEF+S?AEF ? S?ACE=S?BEF ?S?BEF=S?ADE=1( 【解题在于实践】 [一]如下图，在?ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与?ABE等积的三角形一共有那些, 解答:3个 [二]如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与?BEC等积的三角形有那些, 解答:3个 [三]如图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积的______。 3解答: 8 [四]如图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是______。 3解答: 10 [五]如图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S=27平方厘米， ?ABC 求S。 ?DEF 解答:8平方厘米 [六]如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且S=54平方厘米，ABCD求S?BEF( 解答:6平方厘米 [悬赏] 如图，将四边形ABCD各边都延长一倍至 A'、B'、C'、D'(连接这些点得到一个新的四边形 A' B' C' D'(如果四边形ABCD的面积是1，求四边形A'B'C'D'的面积( 解答:连结AB′,AC