杨辉与纵横图
杨辉(约13世纪),字谦光,是南宋时期的数学家、数学教育家,他生活在钱塘(现杭州)一带,他的著作有《详解九章算法》。
纵横图最早起源于中国.纵横图在国外译为奇平方(Magic Squares)或幻方(或魔方阵),日本人称为方阵,杨辉称为纵横图.一般是指将连续的若干个自然数按一定规则进行“安排”,形成满足某种
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的图形.将n2(n>3)个连续的自然数排列成纵横各有n个数的正方形,使每行、每列以及两对角线上的n个数字之和均相等,这样的正方形图叫做n阶纵横图,也叫做n阶幻方.
世界上最古老的幻方是我国著名的“九宫图”.它是由1到9这九个连续的自然数排列成的每行、每列以及两对角线上的三个数字之和均等于15的三阶幻方.九宫图是我国有着悠久历史的一种数字组合游戏,据传说,伏羲氏得了天下,黄河龙马驮了一张图,作为礼物献给他,称为“河图”.公元前2200年左右大禹治水时、洛水中浮出一只大乌龟,它的背上有图有字,人们称之为“洛
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”.“洛书”所画的图中共有黑、白小圆圈45个.把这些连在一起的小圆圈用数目
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示出来,得到l,2,3,4,5,6, 7,8,9这九个数.人们把由九个数组成3行3列的数字方阵,如用现代的数字来书写,这个方阵表示的的确就是一个九宫图,称为3阶幻方(如图13).
《周易·系辞传》说:“河出图,
洛出书,圣人则之.”这是说黄河出
现河图,洛水出现洛书,圣人把它们当作天赐作为治理天下的准则,关于河图,洛书这些简单的数字排列,最早可考查的资料是《大戴记》(公元80年),历代学者在著书中都把这些图形描写成神秘哲学的一个重要部分.反映出中国文化的特色,同时对后世哲学、占卜、音乐和数学等都有深远影响.
美妙的九宫图作为数学游戏,引起了一代又一代人的兴趣.在参与游戏的过程中,人们通过认真的思考,不断地提出巧妙的对策与方法,同时在九宫图的基础上,逐渐地刨造出一批类似的、但更为复杂的数字组合游戏.
在早期的幻方爱好者中,我国13世纪的宋朝数学家杨辉成绩最大,他利用数学方法寻找规律,巧妙地构造出许多别具风格的幻方来,杨辉构造的九宫图,方法简单又巧妙.
例如,他将1到9这九个数字斜着排列(如图14),然后将上、下两个数字对调,左右两个数字对调,最后将对调后的四个数字填人相邻的空格中,就得到一个九宫图.
杨辉构造的四阶幻方,方法也十分简便,他先将1到16这16个连续的自然数按顺序排列在四行四列上(如图15),然后把两条对角线上关于正方形中心对称的四对数分别对调,这样就得到一个行、列以及对角线上数字之和都是34的一个四阶幻方.
(a)依次排四行
(b)外四角对换(c)内四角对换
杨辉在构造了三、四阶幻方的基础上,继续对幻方进行系统研究,陆续地构造出五阶、六阶、七阶、八阶、九阶、十阶幻方.后来,人们经过研究,得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为:
N。=- n(n2+1).
其中n为幻方的阶数,所求的数为N n。
此外,他还突破了幻方为正方形的限制,将它扩大到不同的形状,杨辉对幻方的研究和推广,大大丰富了这种数字游戏的内容,直到今天,在国际上一些科学家利用幻方这种变化无穷的特点,把它作为智力测验的工具和智力玩具.提高了它在训练人们机智方面的层次.
对幻方的深入研究也为人们带来了新的启示,将幻方中的自然数换成一般的物体,也对它们按一定规则进行‘‘安排”,并进一步讨论这种“安排”的存在性问题、计数问题、构造问题和优化问题,就构成了今天的数学分支——组合数学研究的主要内容.
古老的幻方作为历史上最早的组合结构,开创了组合数学的先河,显示了中华民族的聪明才智,近代它还被现在计算机程序
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
、人工智能等许多方面都有着广泛的应用。
幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中,这说明我国人民在2500年前就已经知道了幻方的排列规律,而
在国外,公元130年,希腊人塞翁才第一次提起幻方,我国不仅拥有幻方的发明权,而且是对幻方进行深入研究的国家,公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3-10阶幻方,记载在他1275年写的《续古摘奇算法》一书中,我国的洛书图是现代组合数学这一分支的最古老的例子,比希腊类似的幻方要早期两个世纪,在欧洲,直到1574年,德国著名画家丢勒才绘制出了完整的4阶幻方。
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