第一章 质点的运动
1－1已知质点运动方程为
，
，式中R，ω为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。
解：
质点轨迹方程以R为半径，圆心位于（0，R）点的圆的方程，即质点作匀速率圆周运动，角速度为ω；速度v = Rω；加速度 a = Rω2
1－2竖直上抛运动的物体上升到高度h处所需时间为t1，自抛出经最高点再回到同一高度h处所需时间为t2，求证：h =gt1 t2/2
解：设抛出点的速度为v0，从高度h到最高点的时间为t3，则
1－3一艘正以v0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向大小与船速平方成正比的加速度，即a＝kv2，k为一常数，求证船在行驶距离x时的速率为v=v0ekx.
解：取汽艇行驶的方向为正方向，则
1－4行人身高为h，若人以匀速v0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。
解：人前进的速度V0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，
所以小车移动的速度
小车移动的加速度
1－5一质点由静止开始作直线运动，初始的加速度a0，以后加速度以
均匀增加（式中b为一常数），求经t秒后，质点的速度和位移。
解：
1－6一足球运动员在正对球门前25.0m处以20.0m·s－1的初速率罚任意球，已知球门高为3.44m。若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）
解：由运动方程
,消去t得轨迹方程，
以x＝25.0m，v＝20.0ms－1，以及
代入后得
1－7一人扔石头的最大出手速率为v＝25m/s，他能击中一个与他的手水平距离L=50m，高h=13m的目标吗？在此距离上他能击中的最大高度是多少？
解：由运动方程
,消去t得轨迹方程
以x＝05.0m ，v＝25ms－1代入后得
取g＝10.0，则当
时，
〈13
所以他不能射中，能射中得最大高度为
1－8质点做半径为R的圆周运动，其路程按规律
运动，式中b、c为常数，求:（1）t时刻质点的角速度和角加速度；（2）当切向加速度等于法向加速度时，质点运动经历的时间。
解：（1）质点做圆周运动的速率
切向加速度
（2）法向加速度
当
时，
1－9一质点作半径为R的圆周运动，初速为v0，若其加速度a与速度v之间的夹角θ恒定不变，求质点运动的速率随时间的变化v(t)，及其切向加速度、法向加速度的大小。
解：速度沿着切向方向，加速度与速度成恒定的夹角，则
；
；
1－10飞机以100m·s-1的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标处。问：（1）此时目标在飞机下方前多远？（2）投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出2s后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？
解：
（1）
（2）
（3）
1－11一无风的下雨天，一列火车以v1=20m/s的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降，求雨滴下落的速度v2。（设下降的雨滴作匀速运动）
解：以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为V1,雨滴相对地面竖直下落的速度为V2，旅客看到雨滴下落速度V2’为相对速度，它们之间的关系为
1－12升降机以加速度a0=1.22m·s2上升，当上升速度为2.44m·s1时，有一螺帽自升降机的天花板脱落，天花板与升降机的底面相距2.74m，试求：（1）螺帽从天花板落到底面所需时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离。
解：（1）以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度为a’=g+a,螺丝落到底面时，有
（2）由于升降机在t时间内的高度为
则
1－13飞机A相对地面以vA =1000km/h的速率向南飞行，另一飞机B相对地面以vB =800 km/h的速率向东偏南30°方向飞行。求飞机A相对飞机B的速度。
解：
1－14 一人能在静水中以1.10m·s-1的速度划船前进，今欲横渡一宽为1000m、水流速度为0.55m·s－1的大河。（1），那么应如何确定划行方向？到达正对岸需多少时间？（2）如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？
解：如图（1）若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，则划行速度和水流速度u的合速度的方向正对着岸，设划行速度
合速度
的夹角为α
如图（2）用最短的时间过河，则划行速度的方向正对着岸
1－15设有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处，飞机相对空气的速率为
，而空气相对地面的速率为u，A、B间的距离为l。
（1）假定空气是静止的（即u=0），求飞机来回飞行的时间；
（2）假定空气的速度向东，求飞机来回飞行的时间；
（3）假定空气的速度向北，求飞机来回飞行的时间。
解：由相对速度的矢量关系
有
（1）空气时静止的，即u＝0，则往返时，飞机相对地面的飞行速度就等于飞机相对空气的速度v’（图（1）），故飞机来回飞行的时间
(2) 空气的速度向东时，当飞机向东飞行时，风速与飞机相对空气的速度同向；返回时，两者刚好相反（图（2）），故飞机来回飞行的时间为
(3) 空气的速度向北时，飞机相对地面的飞行速度的大小由
可得为
，故飞机来回飞行的时间为
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