毕业论文 导数在经济学中的应用

广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 1 引言 对经济学家来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，而将数学作为分析工具，不仅可以给企业经营者提供客观、精确的数据，而且在分析的演绎和归纳过程 [1]中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现。因此，在当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。 导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、 [2]经济打点中,有着普遍的应用意义。其作为数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反映了一个变量对另一个变量的转变率。在经济学中，也存在转变率问题，如:边际问题和弹性问题。运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。导数在经济领域中的应用非常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，是经济分析的重要工具。把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。 数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念， [3]是经济学应用的一个重要工具。导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分析是导数在经济学中的两个重要应用。如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利弊时，仅仅依据它的全部成本。而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本的比较。在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。我认为应当进一步研究相对变化率。 总而言之，当代研究文学中分别研究了弹性和边际函数对经济的影响，缺乏从总体上深入研究经济过程中每个环节中导数的应用情况。在商品经济活动中进行编辑分析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策者做出合理的决策。 在此我想用导数作为分析工具，对每个经济环节进行定量分析。通过研究成本所引起的边际收益与边际成本的的比较，分析绝对数相对变化率的经济问题，特别具体分析因缺乏弹性的商品和富有弹性的商品的价格变动所产生的影响。同时将弹性分析与边际分析有机结合，衡量出如何确定最优的价格，获得最大的利润。从而帮助企业做出更精明的决策，为其提供精确的数值和创新思路。 xx导数的概念:设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义，当自变量 x在点处00 x,yx,x,x,x取得增量(点+仍在该邻域内)时，相应地函数y取得增量=f(+)00 x,yx,x,x-f();如果与之比当,0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点处可00 1 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x处的导数，记为f'(x)，即 00 fx，,x,fx()(),y00x,,。 f'()limlim0,x,,x,00,x,x 若函数 y=f(x)在某区间内每一点都可导，则称 y=f(x)在该区间内可导，记 f' (x)为y=f(x)在该区间内的可导函数(简称导数)。 p 2 经济分析中常用的函数 p1 2.1 需求函数与供给函数 p2D (1)需求函数。作为市场上的一0 Q Q Q 12种商品，其需求量受到很多因素影响， 图1 需求曲线 如商品的市场价格、消费者的喜好等。 需求曲线的特征: 为了便于讨论我们先不考虑其他因 1、因变量Q放在横轴，而自变量价格p放在纵素，假设商品的需求量尽受市场价格 轴 的影响，即Q 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示某种商品的需求量， 2、需求曲线的斜率为负。 P表示此种商品的价格，则用 Q=f(P) 3、需求曲线不会凹向原点 表示对某种商品的需求函数。例如， 某空调的价格从3000元/台降到2000P S 元/台时，相应的需求量就从600台增 到1000台，显然需求是和价格相关的P 2 一个变量。一般来说，对某种商品的需 求量Q随价格减少而增加，随价格增加 P1而减少，所以需求函数是单调减少的函 数(如图1)。 (2)供给函数。站在卖方的立场0 Q Q Q 12上，设Q表示对某种商品的供给量，P 图2 供给曲线 表示此种商品的价格，则用Q=F(P)表 示某种商品的供给函数。一般来说，供给曲线的特征: 作为卖方，对某种商品的供给量Q是,、因变量Q放在横轴，而自变量价格p放在 随价格P的增加而增加，随价格P的纵轴 减少而减少，所以供给函数是单调增,、供给曲线的斜率为正且凸向原点 加的函数(如图2)。 2 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 2.2 成本函数与平均成本函数 (1)成本函数。产品的成本一般有两类:一类随产品的数量变化，如需要的劳动力，消耗的原料等;这种生产成本称为可变成本。另一类成本无论生产水平如何都固定不变，如房屋 设备的折旧费、保险费等，称为固定成本。设Q为某种产品的产量， CC为生产此种产品的成本，生产每个单位产品的成本为a，固定成本为，则成本函0 C数为C =C(Q)=aQ+。 0 C(Q)[2](2)平均成本函数。用C,C(Q),表示每单位的平均成本函数。 Q 2.3 价格函数、收入函数和利润函数 (1)价格函数。一般来说，价格是销售量的函数。生活中随处可见，买的东西越多 消费者就可以把价格压得更低。例如，某批发站批发100件衣服给零售商，批发定价，30元，若每次多批发10件衣服，相应的批发价格就降低2元，显然价格是和销售量相关的一个变量。在厂商理论中，强调的是既定需求下的价格。在这种情况下，价格是需求量的函数，表示为P=P(Q)。要注意的是需求函数 Q=f(P)与价格函数 P=P(Q)是互为反函数的关系。 (2)收入函数。在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为R。销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格。因此，收入函数为R=R(Q)=PQ。其中 Q 表示销售量，P表示价格。 (3)利润函数。利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L。则L=L(Q)=R(Q)-C(Q)。其中Q 表示产品的的数量，R(Q)表示收入，C(Q)表示成本。总收入减去变动成本称为毛利，再减去固定成本称为纯利润。 3 导数的经济学意义及其在经济分析中的应用 3.1 边际分析 3 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率。利用导数研究经济变量的边际变化的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，即边际分析方法，是经济理论中的一个重要分析方法。 一般地，设函数y=f(x)可导，则导数f'(x)叫做边际函数。成本函数C=C(Q)的导数C'(Q)叫做边际成本，其经济意义为当产量为Q时再生产一个单位的产品所增加的总成本;收入函数R=R(Q)的导数 R'(Q)叫做边际收入，其经济意义为当销售量为 Q 时再多销售一个单位产品所增加的销售总收入;利润函数L=L(Q)的导数L'(Q)叫做边际利润，其经济意义近似等于产量(或销售量)为Q时再多生产(或多销售)一个单位产品所增加(或减少)的利润。 [4]例1:假定有酒100吨，现价8元/公斤，多陈一年可增值2元/公斤，贮存费每 55年10000元，因贮存酒积压资金引起机会成本每年增加(其中为酒的贮量，10p,r10P为当年白酒价格，r 为利息率，且假定r=10%)，那么这些酒须储存多久效益才 最大呢, 分析:假设须贮X年才最佳，由已知可得如下函数关系: 1. x年增加的总收入函数 55R(x),10，2x,2，10x(元) 2. x年增加的贮存总成本 55552C(x),10000x，x,10，10%,([10，8，2，10x)/10],90000x，20000x(元) 3. x年净增利润函数 L(x),R(x)-C(x) 52,2，10x,[90000x，20000x] 2,110000x,20000x (元) 5R('x),2，10此时边际收入: C('x),90000，40000x边际成本: 5R('x),C('x)2，10,90000，40000x因为当利润最大，所以有，即x=2.75(年)。 由于驻点唯一，故只有当储存期为2.75年时,企业才能获得最佳经济效益，其最大净增利润为151 250元。 由上进一步表明，边际分析这种以导数为工具，以经济现象为内容的数学分析方法已深深融人到了经济学中，并成为经济学的一个重要组成部分。 4 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 3.2 弹性分析 1)弹性理论 ( 在西方微观经济学中, 弹性是用来表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度。具体地说, 当一个经济变量发生1%的变动时, 由它引起另一个经济变量变动的百分比。因此, 需求的价格弹性表示在一定时期内一种商品的需求量的变动对于该商品的价格的变动的反应程度。或者说, 它是衡量一种商品的需求量对其价格变化的反应敏感程度, 这种敏感程度通常是用需求价格弹性系数来表示。其公式为:需求的价格弹性系数=需求量变动率/价格变动率。同样, 供给的价格弹性表示在一定时期内一种商品的价格变动对于该商品的供给量变动的影响。其公式为:供给的价格弹性系数=供给量变动率/价格变动率。 需求的价格弹性和供给的价格弹性分为点弹性和弧弹性。而价格弧弹性的计算可以有三种情况, 它们分别是涨价时的弧弹性、降价时的弧弹性, 以及中心公式计算的弧弹性。至于到底应该采用哪一种计算方法, 这需要具体情况和需要而定。并且, 一种商品需求的价格弹性与供给的价格弹性的大小是各种影响因素综合作用的结果, 是 [3]决定商品供求变化方向、均衡数量及价格水平的重要因素。 用西方经济学的价格弹性理论研究中国市场的价格弹性的变化, 最关键是科学地计算产品的供给价格弹性和需求价格弹性。 (2)弹性的定义 ,y,x设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量yx ,x,0之比，当时的极限称为函数y=f(x)在点处的相对变化率，或称为弹性函数。 x记为E,f('x)。 xf(x) 3.2.1 需求价格弹性的概念与分析 需求价格弹性的概念:经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格 PEE,Q'(P)弹性。记为。由于需求函数是价格的递减函数，所以需求弹性一ddQ(P) 般为负值。 其经济意义为:当某种商品的价格下降(或上升)1%时，其需求量将增加(或减少) EEE%。当=-1(即||=1)时，称为单位弹性。即商品需求量的相对变化与价格的ddd EE相对变化基本相等，例如报纸。当<-1(即||>1)时，称为富有弹性。即商品需dd 5 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 [9]求量的相对变化大于价格的需求变化，此时价格的变化对需求量的影响较大。换句话说，适当降价会使需求量有较大幅度上升，从而增加收入。例如空调、汽车等高档生活用品，包括旅游和专业服务等。需求富有弹性的商品价格下降而总收益增加，就是我们一般所说的“薄利多销”的原因所在。“薄利”就是降价，降价能“多销”，“多销”则会增加总收益，所以，能够作到薄利多销的商品是需求富有弹性的商品。需求富有弹性的商品价格上升而总收益减少，说明了这类商品如果调价不当，则会带来损失。例如，1979年我国农副产品调价，猪肉上调20%左右，在当时我国人民的生活水平下，猪肉的需求富有弹性，猪肉涨价后人们的部分购买力转向其他代用品，猪肉的需求量迅速下降 国家不得不将一些三、四级猪肉降价出售，加上库存积压，财政损失20多亿;再加上农副产品提价后给职工的补助20多亿，财政支出增加40多亿。若E=-1d E(即||=1)时称为单位弹性。即商品需求量的相对变化大于价格的需求变化，此时d 价格的变化对需求量基本没有影响，即需求的减少恰好抵消了涨价增加的收入。当 EE-1<<0(即|| <1)时，称为缺乏弹性。即商品需求量的相对变化小于价格的相对dd 变化，此时价格的相对变化对需求量的影响较小，在适当涨价后，不会使需求量有太大的下降，从而可以使收入增加。反之，则收入不会有太大的增加。中国有句古语叫“谷贱伤农”，意思是指丰收了，由于粮价下跌，农民的收入减少了。其原因就在于粮食是生活必需品，需求缺乏弹性。由于丰收而造成的粮价下跌，并不会使需求量同比例增加，从而总收益减少，农民受损失在商品经济中，商品经营者关心的是提价(,p>0)或降价(,p<0)对总收益的影响。利用需求弹性的概念，可以得出价格变动如何影响销售收益的结论。 总之，企业在制定或变动产品价格时，一定要考虑到自己产品需求价格弹性的大小，这样才能更好地利用价格策略增强竞争力。 3.2.2 需求价格弹性的应用 一、需求价格弹性在企业经营中的应用 (1)需求价格弹性在厂商定价中的应用 对厂商来说，利润最大化是其经营目标，而厂商一般通过调整价格来实现这一目标，然而通过这一方式能否到预期效果还要由Ed的来定。 在市场上，厂商若能判定某些商品是属于需求富有性的，则可以采取降价的策略，也就是“薄利多销”策略。“薄利”就是降价，降价能“多销”，因需求增加而增加的收入大于价格下降而减少的收入，会使总收益增加，但不能采取提价的策略。比如，公园除了比较大的节日，象五一节、六一节、十一节去游玩的人比较多以外，其余的时间游人非常少，造成了社会资源的闲置，非常可惜。公园的门票就属于需求富有弹 6 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 性的商品，票价应该下降，因为下降以后可以吸引大批的本地居民去公园消费。而且对于园来说，一般是固定费用较大，而变动费用较少，客增加公园支出的总费用不会 [5]有太大影响，公园在增加收入的同时，支出的费用却增加很少，何乐而不为呢, 在市场上，商家若能够准确地判断出某种商品是属于需求缺乏弹性的话，就不能采取降价的策略而应该采取提价的策略。比如，在农产品市场上，由于粮食是生活必需品，需求价格弹性小。也就是说，人们不会因为粮食便宜而多吃粮食。由于丰收了而造成粮价下跌，并不会使需求量同比例地增加，反而使总收益减少，农民蒙受损失。这就是中国古语“谷贱伤农”经济学道理，意思是丰收了，由于粮价的下跌，农民的收入减少。以上分析了产品的需求价格弹性大小与企业总收益之间的关系及其在实际中的一些运用。在真正应用时，我们还要注意两点:一是上面所提到的总收益包括了成本与利润，总收益增加并不意味着利润增加，总收益减少不意味着利润减少。二是商品的需求价格弹性会由于人们收人水平、所处的地区等因素的改变而改变。综上所述，企业在制定或变动产品价格时，一定要考虑自己产品需求价格弹性的大小，这样才能够更好地利用价格策略，在竞争中求得生存与发展。 [6]例1:某企业某产品的需求价格弹性在1.5-2.0之间，如果预计明年把价格降低10,，问明年的销售量预期会增加多少,总收入将会增加多少, dqpqp,,E,,,E解:由，， dddpqqp 1qp1p(,E),(,E),,Rdd,, 。 pqpR 因此时， E,1.5d ,q,(,1.5)，(,0.1),0.15,15%， q ,R,(1,1.5)，(,0.1),0.05,5%。 R 当E,2.0 时， d ,q,(,2.0)，(,0.1),0.20,20%， q ,R,(1,2.0)，(,0.1),0.1,10%。 R 所以，明年该企业销售量预期会增加15-20,，总收入将会增加5-10,。 由此可见，在市场经济中，企业经营者关心的是商品涨价(Δp>0)或者降价(Δp<0)对总收入的影响程度，利用需求弹性概念可以知道涨价未必增收，降价未必减收。 7 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 (2)需求价格弹性在价格预测中的作用 由于Ed在公式上等于需求量变动的百分比与价格变动的百分比之比，所以在产品需求弹性、基期价格已知的条件下，我们可以在预测未来需求量或需求量变动率后，预测商品在未来某一时期的价格。如:某一商品的弹性系数为2，2005年的销售价格是500元，预计2006年的销售量会从2000件上升到3000件，则可预测2006年的价格变动率=需求变动率/弹性系数=50%/2= 25%，预期价格=基期价格(1+价格变动率) = 500*1.25=625 (3)需求价格弹性在需求量预测中的作用 在基期需求量和已知Ed的条件下，企业在知晓价格变化的情况后，也可以用上面的原理来预测一下自己商品在未来某一时期内的需求量。 二、需求价格弹性在国家经济决策中的应用 (1)利用需求价格弹性合理调控经济，做出科学决策在现实生活中，某些需求缺乏弹性的商品，如农场品，在供给量增加后，价格大幅下降，而需求量不会增加很多，从而使均衡价格维持在很低的水平，这就会极大的挫伤生产者的积极性，最终使得未来供应量减少，而在供应量减少后，该产品的价格就会大幅上升，而价格的大幅上升，又不会引起需求量的大幅减少，因此会均衡价格达到很高的水平。如:近来猪肉价的大幅上涨就与这种情形相似。而这种价格水平的急剧波动，对经济的健康发展造成很大的危害，因此国家对这商品应采用最低保护价政策，维持价格的稳定。 (2)利用需求价格弹性制定科学的国贸政策 一般情况下，人们普遍认为一国的货币贬值可以改善国际收支。实际上一国货币贬值是否能达到这种效果还看该国进出口商品的Ed来定, 即进出口商品的Ed之和大于1，只有在这个条件下，一国的货币贬值才能改善这个国家的国际收支。因此国家在制定国际贸易政策时，要充分考虑本国进出口商品的Ed，这样才可以提高决策的科学。 (3)利用需求价格弹性制定科学的税收政策 国家根据财政收支的需要和国家产业的发展规划，对具有不同Ed的商品制定不同的征税标准。对那些Ed为零且不关乎国计民生的商品，征收较高的税收，从而增加国家的财政收入;而对那些富有弹性的商品，降低税率，已达到增加需求量，促进经济增长的目的;而对那些低弹性且关乎国计民生的商品，如农产品,国家不仅不征税，还要提供财政补贴，鼓励这些弱势产业的发展。 P[7]Q,10,例1:某商品的需求函数为 2 求:(1)需求价格弹性函数; (2)当P=5时的需求价格弹性并说明其经济意义; 8 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 (3)当P=10时的需求价格弹性并说明其经济意义; (4)当P=15时的需求价格弹性并说明其经济意义。 EQPP1P解:(1)按弹性定义: ,Q',(,),PEPQ2P,2010,2 EQ51(5),,,(2) EP5,203 EQ1,,1由于，所以当P=5时，该商品的需求缺乏弹性，此时价格上涨1%，需EP3 1求量下降。 %3 EQ10(10),,,1(3) EP10,20 EQ,1由于，所以当P=10时，该商品具有单位弹性，此时价格上涨1%，将引起EP 需求量下降1%。 EQ15(15),,,3(4) EP15,20 EQ,3,1由于，所以当P=15时，该商品是富有弹性的，此时若价格下降1%，将EP 导致需求量增加3%。 那么，“边际”与“弹性”之间有什么联系与区别呢,请看下面一个例子。 [7]2Q,75,P例2:某商品的需求函数为，P为价格 (1)求P=4时的边际需求。 (2)求P=4时的需求弹性。 (3)当P=4时,若价格上涨1%，总需求将变动百分之几，上升还是下降,若价格 增加一个单位，总需求将变动多少，增加还是减少, (4)当P=4时，若价格上涨，总收益将变动多少,上升还是下降,若P=6时，将 如何变化。 (5)P为多少时，总收益最大, 解: Q'(P),,2P(1), Q'(4),,2P,,8 p,4 9 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 EQPP(2) ,Q',(,2P)2EPQ75,P EQP(4),(,2P),,0.54 P,42EP75,P (3)由弹性的经济意义及(2)的结果可知:若价格上涨1%，总需求将下降0.54%; 由边际的经济意义及(1)的结果可知:若价格增加一个单位，总需求将下降8个单位。 由(3)可以看出，弹性是一个相对量的比较，价格变动1%，相应的需求量将变动Ey;而边际则是一个绝对量，价格增加一个单位，需求量将增加或减少多少个绝对%Ex 量。边际与弹性，一个从绝对量变化的角度，一个从相对量变化的角度。但有一点它们是相同的，就是它们都是考虑在某一点时的瞬间变化情况，均是局部性的概念，而不是对整个变化过程做研究。 下面看第(4)问， 总收益应为需求量与价格的乘积，即: 23R(x),Q,P,(75,P)P,75P,P 2R'(4),(75,P)P,27边际收益 p,4 2ERPP75,3P2,R',(75,3P),收益弹性: 32EPR75P,P75,P 2ERP75,3(4),,0.46 P,42EPP75, 表示p=4时，价格上升1%，总收益增加0.46%;价格增加一个单位，总收益增加27个单位。 2R'(6),(75,3P),,33边际收益 p,6 2ERP75,3,33(6),,,,0.85收益弹性: P,62EP39P75, 表示P=6时，价格上升1%，总收益将减少0.85%;价格增加一个单位，总收益减少33个单位。 由上可见，边际与弹性随着P点的不同而不同，是一个局部性的概念，掌握“边际” 与“弹性”的概念，注意它们的区别与联系，在市场管理和制定商品价格，确定生产量等方面都具有重要的经济意义。 那么，总收益有时升，有时降，何时才能使总收益最大呢,这是一个整体性问题， 若用边际或弹性来解决则显得有些罗嗦，在经济数学中，一般可用最大(小)值来解决: 2R'(P),75,3P,0 10 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 , (舍去) P,5P,,512 R''(5),,6P,,30,0P,5 所以P=5时总收益最大。 4 最优分析及案例 最优化问题是经济管理活动的核心，通常是利用函数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题。对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将导数作为分析工具，可以给企业经营者提供精确的数值和新的思路和视角。 经济学分析中的主要优化问题有产出最大化分析、收入最大化分析、利润最大化分析、资源合理利用的优化分析、成本最小化分析以及最优组合分析等，通常伴随一些 [8]约束条件。通过优化分析可以帮助企业管理者寻求最大化企业的收益，并尽量降低生产成本和管理费用，意义非常深远。 y,f(x)f'(x)设函数是可导的，那么导函数在经济学中叫做边际函数。 x,x西方经济学家对它的解释是:当时，若x再增加一个单位的量，y将增加多0 少，它反映的是经济量的变化率;若是边际成本，则反映生产量处于某一水平时，总成本的变化率等等。在经济学中有边际需求，边际成本，边际收入，边际利润等。 4.1 如何用边际函数求成本的最低 (1)总成本、平均成本和边际成本 企业的生产成本通常被看成是企业对所购买的生产要素的货币支出，它可以表示成产品的函数，设为C(q) ，平均成本是总成本中每生产一单位产品的所消耗的成本 C(q)C(q),; q 边际成本 q，,q,qC()C()'q,limC()。 ,q,0,q ,C(q)MC(q),在实际生产中也用企业增加一单位产品所付出的成本来代替。 ,q (2)总成本，平均成本和边际成本曲线 11 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 由平均成本和边际成本定义可知，任何产量水平上的平均成本C(q)值都可用连接原点到总成本曲线上相应点的线段的斜率给出.任何产量水平的边际成本，可用总成本曲线相应点曲线的切线的斜率给出。由于随着产量的增加，企业投入的成本必定增加，所以总成本曲线是一条向右上方倾斜的曲线。由西方经济学研究知，在达到一定的产量水平之前，总成本的增量是递减的;在达到这个水平之后，总成本的增量是递增的，所以总成本曲线存在拐点，所以平均成本曲线和边际成本曲线都呈U型。 (2)边际成本对企业生产的指导作用 任何有理性的企业主总是想扩大生产规模和追求利润的最大化，那么扩大生产规模有无限制条件,利润最大化的前提条件是什么呢,设某企业的销售函数为R (x)，利润函数为P(x)，则P(x) =R (x)-C(x)，由导数的知识知，利润P(x)的最大值一般位于 P’(x)= 0处，此时，R’(x)=C’(x)，即边际收益等于边际成本时企业利润最大(萨缪尔森原则)。 [9]2例1:生产某种产品q台，总成本C(单位:千元)的函数为:。 C(q),200，0.05q 求:?当产量为90台时的总成本; ? 当产量为90台时的平均成本; ? 当产量由90台增加到100台时总成本的平均变化率; ? 当产量为90台时的边际成本。 2解:总成本函数C(q),200，0.05q。 ?当产量为90台时，总成本为 C(90),200，0.05，8100,605(千元)。 ? 当产量为90台时，平均成本为 C(90)605C(90),,,6.72(千元)。 9090 ? 当产量由90台增加到100台时总成本平均变化率为 C(100),C(90),C700,605,,,9.5(千元/台)。 ,q100,9010 ? 当产量为90台时，边际成本为 2C'(q),(200，0.05q)',0.1q， C('90),0.1，90,9?(千元/台)。 C('90),9上式中，表 示 当产量为90台时， 再多生产1台总成本将增加9千元。 4.2 如何利用边际函数求利润最大 12 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 利润最大化是企业决策考虑的根本目标。由微积分基本原理知道:利润最大化的点 [10]在边际利润等于零的点获得。 在经济研究中, 生产某种产品的总成本C (x)、总收入R(x)、与总利润都是,(x)产量x的函数，因而有=R(x)-C(x), 即总利润是总收入中除去总成本的那一部,(x) 分价值。从数学的角度上来讲, 利润就是x的函数, 从而将研究经济中的最大化问题 [8]转化为求函数的最大值问题。由于发生最大值的点往往是函数的驻点(即:导数为0的点)。由此我们来分析上面的问题: 在= R (x ) - C ( x )两边关于产量 x求导得 ,(x) d,(x)dR(x)dC(x)d,(x)d[R(x),C(x)],,,，即 dxdxdxdxdx ,'(x),MR(x),MC(x)，其中MR(x)与MC(x)分别表示总收入与总成本对产量记作 的导数，在经济学中分别称为边际收入与边际成本。 ,'(x),Q令，得 MR(x)=MC(x)。 这就是使得利润最大的 x所满足的条件 (在实际问题中最值总是存在, 而且唯一 ) ，也就是说能够使边际收入等于边际成本的产量值就是利润最大化的产量值 (记x作)，这也是经济学中的一个重要定理。 0 值得注意的是，许多人认为产量越高所得利润就越大，因而他们就极力使自己的产量增加，当然他们所获得的总收入也在增多，但其所得利润不一定增多。通过上面的 x分析，我们可以看出来，在达到某一点之前, 企业增加产量导致利润增加;过了这0 一点，利润会减少。 以上只是关于导数在经济最优化问题方面中应用的一小部分，类似最优化的问题在现实生活中随处可见，例如税收的最大化问题、最佳存款利息、最佳批数和批量等等，而此类问题在引入导数的概念以后更加容易解决。 [11]例1:某企业 6 月份最多生产机床100台，销售x台的销售额函数 2R(x),3000x,20x，其成本函数为C(x)=500x+400(元)，求该企业生产多少台时获得的利润最大, 2R(x),3000x,20x解:?， R('x),3000,40x?, C(x),500x，400?， C('x),500?。 R('x),C'(x)令 ， 即3000-40x=500。 解得x=62(台)，即该企业生产62台机床时利润最大。 13 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 [11]例2:某种产品的总成本C(单位:万元)是产量x(单位:万件)的函数， 23，求当生产水平为x=10万件时，从降低单位成本的C(x),100，6dx,0.4x，0.02x 角度看，继续提高产量是否得当, 解:当生产水平 x = 10万件时，总成本为 23(万元)。 C(10),100，6，10,0.4，10，0.02，10,140 C(10)140这时单位产品的平均成本为 (元/件) C(10),,,141010 2， ?C'(x),6,0.8x，0.06x 2边际成本为(元/件)。 C'(10),6,0.8，10，0.06，10,4 此时再加一件成本仅需4元，低于总平均成本()，加进这件产品时，C'(10),C(10) 平均成本得到下降，所以该企业还可继续提高产量。任何有理性的企业主总是想扩大生产规模和追求利润的最大化，那么扩大生产规模有无限制条件,利润最大化的前提条件是什么呢,设某企业的销售函数为R(x)，利润函数为P(x)，则P(x)= R(x)-C(x)，由导数的知识知，利润P(x)的最大值一般位于P′(x)=0处,此时, R′(x) = C′(x)，即边际收益等于边际成本时企业利润最大(萨缪尔森原则)。 5 结论 经济是国家的命脉，经济是保障人民生活稳定的条件，同时又是社会发展的决定因素。导数以它独特的优势正被作为一种工具，在经济分析中发挥其作用。 随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，是经济分析的重要工具。运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。 综上所述,对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，将数学作为分析工具，可以给企业经营者提供客观、精确的数据，在分析的演绎和归纳过程中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现。因此，在当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。 导数对于在经济学中边际问题的剖析尤为主要,经由过程边际问题的剖析,对于企业的抉择妄想者作出正确的抉择妄想起了十分主要的浸染!通过阐述导数在经济分析中的几种应用，说明导数在经济管理中的重要作用，利用数学工具对经济的各个环节进行定量分析，有利于对经济管理工作作定性分析，从而更科学地进行经济管理，这是我国深化体制改革使经济管理工作于国际接轨必不可少的一步。 14 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 参 考 文 献 [1]丁瑶:导数的经济意义及教学探讨[J]. 重庆电子工程职业学院. 2010.07. 149-150 [2]王晓燕:导数的经济意义及在经济分析中的应用[J]. 黔南民族师范学院. 2009.06. 154-155 [3]刘荣花，杨春艳等:导数理论在经济分析中的应用[J]. 高师理科学刊. 2010.07. 34-36 [4]吴伟国:经济学中边际分析的作用[J]. 全国中文核心期刊，2008.11. 397 [5]李锦春:需求价格弹性分析及应用[J]. 江苏淮阴商业学校市场论坛. 2008.12. 50-52 [6]王琨:从数学角度看弹性分析[J]. 闽南科技学院学报，2009.08. 6-7 [7]曾小凤:导数在经济分析应用中“边际”与“弹性”的联系与区别[J].闽西职业大学学报. 2004.09. 87-89 [8]王利珍:用导数解决经济中的最优化问题[J]. 忻州师范学院学报. 2008.10. 27-28 [9]雷良缓:经济数学中的边际分析与弹性分析[J]. 江苏经贸职业技术学院学报，1995.02. 81-83 [10]蔡宇泽，赵春红，王贝:需求弹性函数的经济分析[J]. 江苏教育学院学报，2007.07. 87 [11]王桐柱:函数的导数与边际成本[J]. 高中数学教与学，2005.10. 43-44 15 致 谢 感谢广东商学院四年来对我的辛苦培育，让我在大学这四年来学到很东西，特别感谢数学与计算科学学院为我提供了良好的学习环境、感谢领导、老师们四年来对我无微不至的关怀和指导，让我得以在这四年中学到很多有用的知识。在此，我还要感谢在班里同学和朋友，感谢你们在我遇到困难的时候帮助我，给我支持和鼓励，感谢你们。 在此论文撰写过程中，要特别感谢我的导师戴薇的指导与督促，同时感谢她的谅解与包容。没有戴老师的帮助也就没有今天的这篇论文。求学历程是艰苦的，但又是快乐的。通过这一阶段的努力，我的毕业论文《导数在经济学中的应用》终于完成了，这意味着大学生活即将结束。在大学阶段，我在学习上和思想上都受益非浅，这除了自身的努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的。 在本论文的写作过程中，我的导师戴薇老师倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从写作提纲，到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循循善诱，在此我表示衷心感谢。同时我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的各位老师以及关心我的同学和朋友。 写作毕业论文是一次再系统学习的过程，毕业论文的完成，同样也意味着新的学习生活的开始。我将铭记我曾是一名广商学子，在今后的工作中把广商的优良传统发扬光大。 感谢各位专家的批评指导。