一、三角形的等积变形
必备几何模型
一、三角形的等积变形
?等底等高的两个三角形面积相等。
?底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个
三角形面积相等。
?若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三
角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
【例1】
如右图，已知在?ABC中，BE,3AE，CD,2AD。若?ADE的面积为1平方厘米。求三角形ABC的面积。
二、鸟头模型
在?ABC中，D、E分别是AB、AC上的点如图? (或D在BA的延长线上，E在AC上)，
则S?S,(AB×AC)?(AD×AE) ??ABCADE
【例2】
如图，三角形ABC的面积是308，D，E，F分别为三角形三边上的点。其中AD?CD,5?3，BF?CF,4?7，AE?BE,1?6。问:阴影部分的小三角形的面积是多少,
1
【例3】
如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。问:阴影部分与空白部分的面积比为多少,
三、相似三角形性质(沙漏模型):
ADAEDEAF,,,? ABACBCAG
22?S?S,AF?AG ??ADEABC
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
?相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比; ?相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;
【例4】
如图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S,1，求?BEF的面?ADE积。
四、蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)
?S×S,S×S 1324
?AO?OC,(S，S)?(S，S) 1243
2
22?S?S,a?b 1322?S?S?S?S,a?ab?b?ab 12342?梯形面积S的对于份数是(a，b)
【例5】
如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E、F是BC边上的三等分点，求阴影部分的面积。
【例6】
在直角梯形ABCD中，AB,15厘米，AD,12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米,
测试题
1(如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S,1，求?BEF?ADE
的面积。
A(0.8 B(1 C(1.5 D(2
3
112((北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛第一题第4题)如右图BE,BC，CD,AC，那么三角形34
AED的面积是三角形ABC面积的______。
A
D
BCE
1421A( B( C( D( 2533
3(如图，已知长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三
角形ABC的面积是____。
FA
C
EDB
A(3 B(4.5 C(6.5 D(8
4(如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积,5，三角形DOC的面积,4，三角形AOB的面积,15，求三角形BOC的面积是多少,
A(10 B(12 C(14 D(15
4
5(梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米。则整个梯形的面积为多少,
A(56 B(60 C(64 D(72
(如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH6
的面积是23，求四边形EGFH的面积。
A(12 B(32 C(34 D(40
5
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