分配格上幂零矩阵幂指标的特征

分配格上幂零矩阵幂指标的特征 第22卷第2期 2010年6月 湖南文理学院(自然科学版) JournalofHunanUniversityofArtsandScience(NaturalScienceEdition) V01.22N0.2 Jun.2010 doi:10.3969/j.issn.1672—6146.2010.02.002 分配格上幂零矩阵幂指标的特征 周惊雷,黄勇 (1.湖南文理学院数学与计算科学学院,湖南常德,415000; 湖南城市学院数学与计算科学系,湖南益阳,413000) 2. 摘要:主要研究了分配格上幂零矩阵幂指标的性质,得到了分配格E幂零矩阵幂指 标的一个特征定理. 关键词:分配格;幂零矩阵;幂指标 中图分类号:0189.21文献标识码:A文章编号:1672.6146(2010)02.0005—02 AcharacterizatiOnofnilpotentindexoverdistributivelattice ZHOUJing—lei,HUANGYong2 (1.CollegeofMathematicsandComputationalScience,HunanUniversityofArtsandScienc e,Changde415000,China; 2.InformationandComputerScienceDepartment,HunanCityUneversity,Yiyang413000, China) Abstract:Acharacterizationofthenilponentindexofthematricesoverthedistributivelattice wasgiven Keywords:distributivelattice;nilponentmatrice;nilponentindex 1符号与定义 现实生活中,对非线性关系的研究是一个非常 重要的方面.在数学中,格就是一个研究非线性关 系的一般的代数结构,自然的格上矩阵(简称为格矩 阵)的研究也引起了人们的极大兴趣Llj.幂零格矩阵 的概念最早是由Give'on在1964年提出来的I引,自 那之后,有很多学者研究了幂零格矩阵的性质,也 得到了许多重要的结论J. 本文中,我们总用符号(厶,V,^) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示一个 分配格,并且我们总假定分配格上的最大元1和 最小元0是存在的.()表示格上阶矩阵的 全体所构成的集合.记N={1,2,…,胛). 假设A?M(L),如果V,J?N,有a,=0,则 称矩阵为一个零矩阵且记为0.对于矩阵A? ),如果存在整数k?1,使得A:0,则称A 为一个幂零矩阵.满足A=0的最小的正整数k称 为矩阵A的幂指标并记为(). 我们有一些办法 对于分配格上一个阶方阵, 来判断其是否是一个幂零矩阵(例参见文献[2.5]), 但即使知道一个方阵是幂零矩阵,这个幂零矩阵的 幂指标又是多少呢?在文献[3]中,Tan给出了一个 阶幂零矩阵的幂指标为n的充分必要条件,但如 何来判断一个阶幂零矩阵的幂指标是任意给定的 一 个正整数呢? 本文主要研究了一般分配格上幂零格矩阵的性 质,得到了一个n阶幂零格矩阵的幂指标为给定正 整数r(11的充分必要条件. 为了方便,我们用符号ll表示集的基数. 2基本结论与证明 设A=0?),显然h(A)=1;而如果A是 一 个非零幂零矩阵,则h(A)?2.因此在下面的讨 论中,我们总假定是一个非零矩阵,即总意味着 h(A,2. 收稿日期:201006—01 作者简介:周惊雷(1969.),男,博士,副教授,主要研究方向为格上矩阵和多重线陛代 数 6湖南文理学院(自然科学版)2010焦 对于A=(ao.)EMAL)以及正整数m,记A的 第(f,)一元为口』『. 弓I理1设A=()?^().贝0: aij=?…ai.. Is^,岛,.,'卜lsn 由符号说明,其结论是显然的. 定义1设A=()?).矩阵A的积和式 perA定义为perA=?订1)口2)…口州其中,o'E 表示集?的置换群. 由积和式的定义,容易知道: 引理2设A=(aq)E().交换矩阵A的两 行或两列,矩阵的积和式不变. 由引理2可知,如果我们讨论的是一个矩阵的 积和式,这时我们可以不考虑该矩阵的行,列顺序. 设?MAY),l,.n,对于l?fl<f2<…< fr,1<<…<?,符号[fl,f2,…,f,l, ,…,Jr]表示矩阵A中第fl,i2,…,f,行与第, ,…, 列相交位置上的元所组成的r阶子矩阵. 同时,我们规定: Q,()={[',i2,…,f,I,,…,】ll{',f2,…,fr)U {,,…,Jr}I=r+1). 引理3设A=()?()为幂零矩阵.则 对于任意的正整数,以及任一排列{',f2,…,f,)CN, 都有bai26…ai=0. 引理4【4J设A=(ao.)EMAL).则A是幂零矩 阵的充分必要条件为:对任意的rEN以及{',f2, … ,f,)cN,有perh[iI,f2,…,f,lfl,f2,…,f,】=0. 引理5【2J设A=()?MAL).则A是一个幂 零矩阵的充分必要条件是A"=0. 由引理5可知,一个n阶方阵的幂指标一定 小于等于rl,即厅()r1. 由上面的引理,定义和符号,我们可以得到分 配格上一给定幂零矩阵的幂指标的如下特征定理. 定理1设A=()?)是一幂零矩阵.则 对于任意的rEN,A=0的充分必要条件是对任 意的?Q,(),perB=0或者Q,()=. 证明"==>"设A=()?)是一个幂零矩 阵,且A=O(reN).如果Q,()?,设B=A[ii, f2,…,l,,…,]是Q,()中的任一元.则由引 理2,不失一般性,不妨假定{f2,…,f,)={,,…, 一 1).对于perB中的通项^…ai, '=0,其中 f1,f2,…,f,是,,…,的一个置换,有: 情形1如果fl=,则{『2,…,f,):{,,…, 一I)={/2,…,fr),由引理4,有口fl^a/2b…'? a/ 2…af,f,_<perA[i:,…,f,If2,…,f,】=0. 情形2如果fl?{,,…,一},则必存在 '(2?r),使得'='.,因此: aid , a~t , …act ,'…一一 + …口j,'?(1) 类似地,如果对所有的st(f=l,2,…,,一2),都有 ?{,_,2,…,一,},则存在I'st+. ?{f2,…,f,),使得. = . 因此我们可以适当调整(1)式中的项,使得(1) 式中左边的乘积等于那些前面项的列标等于后面项 的行标的项之积,即有口"…a=口''… ai sr_2 1Sr_2 口 一 . 由引理l,^…ai.' 是口中的一 般项,因A=0,故…'?=0.否则必 存在(f=l,2,…,r-2),使得, = . 令{矗,, … ,矗+.)={,,…,}一{lI,,…,),则由引理4 有: ^口…口?perA[A,,…,矗.,..l^,,…, 矗】=0. 由上面的讨论,对所有的…口i,',都有 口"…口f,'0,i~perB=V口口…口''?0.这 就说明:对任意的BEQ,(),都有perB=0. "乍"如果()=妒,此时意味着r=rl,因为 A是幂零矩阵,由引理5,A=0.如果Q,()??, 则对任意的rEN及对任意的{f,fl,f2,…,f,..,J) cN,如果l{f,f1,i2,…,f,J)I<,.+l,则必存在, ?{f,',f2,…,f,)<t),使得=,固由引理 3有…一 …+, ., … 一 … 一 . = 0,如 果I{f,I1,f2,…,f,)I=,+1,意味着f,fl,f2,…,f,.., 两两不等,所以f,fl,f2,…,fr一I',f2,…,f,刀 ?Q,(),因对任意的BEOr()都有perB=0,故 … 一 . ?perA[i,',f2,…,ir一1I',f2,…,f,一I,J]=0, 所以aq=Vaii, '口w=0,Vi,jEN,即A=0. … '一i 证毕. 由定理1,我们可以得到如下刻划分配格上一 给定幂零矩阵的幂指标为任意正整数的一个定理. (下转第9页) 第2期贺乐平,等fie—s型线性算子的范数及其应用9 而 (J-.ooJ-.aoPz(J-. oo J-.ao)一I一 一_l_ ()). ()一= (?.(五)XP(1-(2/r))-1厂())一= ()一1(xp(1-(A/r))-I厂()出)一 , (出)一= (?(,,Y)YHg())一= ()一1(q(1-(x/s))-Ig())一 . 因此. = ((J.J.hdxdy)G(s)'.…一口I (xP(1-(2/r))-lf())一一 (J-.ooJ-.ooq)()一i1()_lg())一jI)z: ((,)一(,)),<I. 定理得证. 注:式f71即为式(21的改进式. ematicalResearchandExposition,2006,26(2):276—282. [6]HeLeping,Jjaweijian,OaoMingzhe.AHardy—Hilbert'S typeinequalitywithgammafunctionanditsapplications [J].IntegralTransformsandSpecialFunctions,2006, 17(5):355-363. (上接第6页) 定理2设A=()?M)为一幂零矩阵.则 h(A)=r(reN)的充分必要条件为对于所有的Be Qr(A),per//=0或Q,(A)=,且存在Ce一 (), 使得perC?0. 证明"==>"设为一幂零矩阵.如果存在 h(A)=r(reN),则A=0且A?0.由定理l, A=0意味着或对任意的BeOr(),perB=0或 Qr()=;而A?0意味着存在CeOr一1(A),使 得perC?0. "仁"如果()=,则,.=,由定理1,存 在CeQr一1(A),使得perC?0,这说明A?0,由 引理5,故此时只能有()=n.而如果()?, 且对于所有的BeOr(),都有perB=0,则由定理 1可知A=0;而存在CeOr一 ,(),使得perC?0意 味着A?0.故()=r.证毕. gK.Abinnearin.qu"y[JMmAmAppl,2o02,参考文献 : 27(11:288.296.'' [2】杨必成.算子范数与Hilbert型不等式[M】.北京:科学[1]Dav.yBA,Pri.l.yHA?I仃0du.i.n.li.alld 出版社,2009:18..rder[M】?L0ndan:cmb删g.u"iPre,2O02? [3】YangBicheng.Onthen.m.faself-adjoint.perat.rand【2】GiV.'.nYLatti..m枷..[J】.Infom-c.n廿0l,1964,7: anewbilinearintegralineouality[J].ActaMathematica477484-? Sinica,EnglishSeries,2007,231311.1316. [3]TanYJ?0""ilpotentm....rdis啪utiVelnice[J】. 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