731《平面向量的内积》教案
7.3.1《平面向量的内积》教案9-10
主备课题 7.3.1平面向量的内积 赵志慧 课时 2 时间 6月 人
学习目标:
1.掌握平面向量数量积的定义
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律
学习重点:平面向量的数量积定义.
学习难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
学习过程:
一(知识回顾:
1.向量的数乘运算定义:一般地，实数λ与向量的积是__________，记作_____， a
它的长度和方向规定如下:
(1)λ,__________ a
(2)当λ>0时,的方向与a方向________， ,a
当λ<0时,的方向与a方向_________. ,a
,,0特别地，当或时，λ,__________ a,0a
向量的数乘运算律:设,为任意向量，λ,μ为任意实数，则有: ab
?λ(μ)=__________?(λ+μ)=__________ ?λ(+)=__________ aaab二(情景创设
问题1. 我们已经学习了向量的加法，减法和数乘向量，它们的运算结果都是___
量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢,这种新的运算结果又是什么呢,
三(学生探究
联想:物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。 问题2. 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力的作用下产生位FS移，那么力所做的功为多少, F
SSW可由下式计算:W,,,?,,cosθ，其中θ是与的夹角. FF
S若把功W看成是两向量和的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我F
们引入向量的内积(数量积)的概念.
SS力F与位移都是向量，功W叫做向量F与向量的内积，它是一个数量，
又叫做数量积。
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四(新知探究
,,,aa1.两个非零向量的夹角定义: 设有两个非零向量与 ，作,, OAOBb
,,,,aa,, 则由射线OA与OB所形成的角?AOB 叫做向量与的夹角，记做〈，〉,bbb
,,a规定0º? 〈，〉 ?180º b
,,,,aa?当〈，〉,0º时，向量与同向; bb
,,,,aa?当〈，〉,180º时，向量与反向; bb
,,,,,,,,aaaa?当〈，〉,0º或〈，〉,180º时，与平行(共线)，记做?; bbbb
,,,,,,aaa?当〈，〉,90º时，与垂直，记做?。 bbb
2.向量的内积(数量积)定义
,,,,,,aaa已知两个非零向量与，它们的夹角是〈，〉，则两个向量、的模与bbb
,,,,,,aaa它们的夹角〈，〉的余弦之积叫做向量与向量的内积，记作?，即 bbb
,,,,,,aaa?,,,,,cos〈，〉 bbb
说明:(1)向量的内积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角大小决定
,,,,,,aaa(2)〈，〉是与的夹角;范围是0?〈，〉?π，(注意在两向量的bbb
夹角定义中，两向量必须是同起点的.)
3.几个重要结果:
,,a,ba?cos〈，〉, b
ab
,,,,,,,,aaaa?当〈，〉,0时， ?,,,,,cos0,,,,, bbbb
,,,,,,,,aaaa?当〈，〉,π时， ?,,,,,cos,=,,,,, bbbb
,,,,,,,,2aaaaaaa?当,时， ?,,,,,cos0,,,或,,,a,a b
,,,π,,,,aaa?当〈，〉, 时， ?,,,,,cos=0 bbb22
,,,,,,aaa因此，对于非零向量与b，有?b,0 ?b。 ,
,a0(6)规定?,0;
注意:符号“?”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
2
4. 向量数量积的运算律
,,a已知，，和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律: cb
,,,,aa??,? (交换律) bb
,,,,,,aaa?(λ)?,λ (?),?(λ) (数乘结合律) bbb
,,,,aa?(，)?,?，? (分配律) cccbb
,,,,aa?(?)? (?) (一般不满足结合律) ccbb
五(典型例题
例1 判断正误，并简要说明理由. ,,?,;( ) ?,0;( ) a000a
,?若，则对任意非零向量，有( ) a0a,b,0b,
,,,,aa?如果?,0，那么与夹角为锐角( ) bb
,,,a?若?,?，则( ) ca,cbb
?若且，则( ) a,c,b,ca,bc,0
,,,,aa?若，则?,,,,,( ) a//bbb
22?与是两个单位向量，则,( ) abab
,,,,aa,b,例2:已知2，3，θ为与的夹角，分别在下列条件下求? abb
,,a(1)与的夹角为135? (2)? (3)? ababb
,,aab变式:已知,,,4，,,,6，与的夹角θ为60?，求 b
a,b(1) (2) (3) ，，，，，，a,a，b2a,b,a，3b
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??例3 已知?ABC中，a,5，b,8，C,60?，求BC?CA
变式:三角形ABC中，若,,判断三角形ABC的形状 BC,CA
:例4.在平行四边形ABCD中,已知AB,4,AD,3,，DAB,60,
，，求:1.AD,BC
，，2.AB,DA
六(课堂小结
通过本节学习，
要求
对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗
大家掌握平面向量的内积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.
七(课堂检测
0mnm,n,1501.若=4， =6，与的夹角为，则 . mn
,2.若a,b<0，则与的夹角的取值范围是( ) ab
,,,,，,，,,，,,A. B. C. D. 0,,,,,,,,,,,,,,,2222，,，,,，,,3.下列等式中，其中正确的是 ( )
22222222a,bb，，，，a,b,a,ba，ba,a ? ? = ? ?= a，2a,b，b2aa
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
a,5b,8a,b,,20ab4.已知，，，则与的夹角为 。
0605.已知单位向量和的夹角为，则 。 ，，，，ee2e,e,3e，2e,121212八(作业:教材40页
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