也谈圆斜二测画法直观图
1 问题的提出
贵刊于2008年第7期刊登了一篇关于圆的斜二测画法的直观图的文章,笔者恰好在教授这块内容, 和同事讨论时发现, 文,1,对教材的内容评论十分贴切, 经过推导, 得出单位圆的斜二测画法的直观图在直角坐标系下的方程是x′2-2x′y′+9y′2=1 .接下来文,1,对该方程进行解释, 此即单位圆在斜二测画法下的直观图的方程,其图形仍为椭圆, 轨迹形状的判断要涉及到图像的平移、伸缩和旋转变化公式, 此处对方程(x′-y′)2+8y′2=1,令x′-y′=x″
y′=y″(平移与旋转), 则轨迹方程变成x″2+8y″2=1.
笔者窃以为, 对x′2-2x′y′+9y′2=1的解释值得商榷.
2 预备知识
根据高等教育出版社郑崇友主编的《几何学引论(上册)》第122页《二次曲线方程的化简与二次曲线的分类》,二次曲线分为椭圆型、双曲线型、抛物线型.
2.1 旋转变换公式
设xOy与x′Oy′是平面上的两个笛卡尔直角坐标系,它们有公共的坐标原点O,从Ox轴沿逆时针方向转到Ox′轴的角为θ.以(x,y),(x′,y′)分别
表
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示平面上同一点P在这两个坐标系
1
下的坐标,r为O,P两点的距离,如图1, 因为
x′=rcos α
y′=rsin α,而
x=rcos(α+θ)=r(cos αcos θ-sin αsin θ)
y=rsin(α+θ)=r(sin αcos θ+cos αsin θ),
所以可以得到坐标的变换公式,
x=x′cos θ-y′sin θ
y=x′sin θ+y′cos θ 或
x′=xcos θ+ysin θ
y′=-xsin θ+ycos θ.
这两个式子称为坐标系的旋转变换公式.
2.2 二次曲线方程在旋转变换后的系数变化情况
设二次曲线的方程为a11x2+2a12xy+a22y2+a33=0,经过坐标系的旋转变换,消去交叉项,其中取θ角满足cot 2θ=a11-a222a12,对原坐标系进行的旋转变换是x=x′cos θ-y′sin θ
y=x′sin θ+y′cos θ,则上述二次曲线的方程可以化为
a′11x′2+a′22y′2+a33=0,其中a′11=a11+a12tan θ
a′22=a22-a12tan θ,
3 单位圆在斜二测画法下的直观图的方程
如图2,设单位圆在直角坐标系xOy下的
标准
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方程为x2+y2=1,P是圆上的任意一点,其坐标为P(cos β,sin β) ,其在
2
Ox轴上的投影为P0(cos β,0),取PP0的中点P1(cos β,12sin β),再将P1P0绕P0顺时针旋转45?得到P′P0,则P′的坐标是(cos β+24sin β,24sin β),即在平面直角坐标系中,任意一点P(cos β,sin β)变成了P′(cos β+24sin β,24sin β),即单位圆在
斜二测画法下的直观图的参数方程是x=cos β+24sin β
y=24sin β,其中β为参数,消去参数β,由x-y=cos β
22y=sin β整理得到x2-2xy+9y2=1,如图3,
图44 直角坐标系旋转后单位圆的斜二测画法的直观图的方程
单位圆在斜二测画法下的图形,在原来的直角坐标系下的方程是x2-2xy+9y2=1, 把方程x2-2xy+9y2=1转化为x2-2xy+9y2-1=0,根据预备知识,即得到a11=1,a12=-1,a22=9,a33=-1.于是,取cot 2θ=a11-a222a12=1-92×(-1)=4,因为cot 2θ=1-tan2θ2tan θ=4,即得tan2θ+8tan θ-1=0,解得tan θ=17-4,tan θ=-17-4,此时,我们只需要计算其中一个θ的值就够了, 取tan θ=17-4,使用计算器得到θ?7.02?, 则
a′11=a11+a12tan θ=1+(-1)×(17-4)
=5-17
a′22=a22-a12tan θ=9-(-1)×(17-4)
=5+17 所以在原直角坐标系xOy下的方程x2-2xy+9y2-1=0,把原直角坐标系绕原点O旋转θ (其中tan
3
θ=17-4,θ?7.02?),得到直角坐标系x′Oy′,则在直角坐标系
x′Oy′下的方程为(5-17)x′2+(5+17)y′2-1=0,如图4.
5 结论
综上所述,圆在斜二测画法下的直观图形是椭圆.特别地,单位圆在斜二测画法下的直观图在原来直角坐标系下的方程是x2-2xy+9y2=1.对原直角坐标系xOy绕原点O旋转θ (其中tan θ=17-4,θ?7.02?),得到直角坐标系x′Oy′,则在直角
坐标系x′Oy′下的方程为(5-17)x′2+(5+17)y′2-1=0,即在新的直角坐标系x′Oy′下的方程是: (5-17)x′2+(5+17)y′2=1.此时,显然可以看出,在新的直角坐标系x′Oy′下,单位圆的直观图是椭圆.
参考文献
,1, 李锦昱.圆的斜二测画法的直观图是何种椭圆,??兼评几种版本教材对圆的直观图的处理特点,J,. 中学数学杂志, 2008,,7,.
,2, 郑崇友主编.几何学引论(上册), 高等教育出版社, 2000年3月第1版第122,130.
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浙公网安备 33021202002483