（刘鸿文版）材料力学--外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图（可编辑）

（刘鸿文版）材料力学--外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图（可编辑） (刘鸿文版)材料力学--外力偶矩的计算 扭矩和扭矩 图 q 悬臂梁受均布载荷作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解:任选一截面x ，写出剪力和弯矩方程 x 依方程画出剪力图和弯矩图 FS x M x l 由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为 目录 例题4-2 q x ?4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 B A l FAY FBY 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解:1(确定约束力 FAy,Fb/l FBy,Fa/l 2(写出剪力和弯矩方程 x2 FS x M x x1 AC CB 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。 C F a b 目录 例题4-3 ?4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 B A l FAY FBY 图示简支梁C点受集中力偶作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解:1(确定约束力 FAy,M / l FBy, -M / l 2(写出剪力和弯矩方程 x2 x1 AC CB 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。 C M a b 目录 例题4-4 ?4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 B A l FAY q FBY 简支梁受均布载荷作用 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解:1(确定约束力 FAy, FBy, ql/2 2(写出剪力和弯矩方程 y x C x 3.依方程画出剪力图和弯矩图。 FS x M x 目录 例题4-5 ?4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 B ql y 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。 试:画出刚架的内力图。 例题4-6 解:1、确定约束力 2、写出各段的内力方程 竖杆AB:A点向上为y B ql y FN y FS y M y 平面刚架的内力 目录 横杆CB:C点向左为x B ql y B FN x M x x FS x x 平面刚架的内力 目录 竖杆AB: B ql y 根据各段的内力方程画内力图 横杆CB: M FN FS ql ， , ， 平面刚架的内力 目录 ?4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 载荷集度、剪力和弯矩关系: 目录 载荷集度、剪力和弯矩关系: q,0，Fs 常数， 剪力图为水平直线; M x 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。 2.q,常数，Fs x 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线; M x 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上(q 0)，抛物线呈凹形; 分布载荷向上(q 0)，抛物线呈凸形。 3. 剪力Fs 0处，弯矩取极值。 4. 集中力作用处，剪力图突变; 集中力偶作用处，弯矩图突变 ?4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 目录 5、也可通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。 从左到右，向上(下)集中力作用处，剪力图向上(下)突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。 从左到右，顺(逆)时针集中力偶作用处，弯矩图向上(下)突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。 ?4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 目录 微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法: ? 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 ? 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。 ? 建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。 ? 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。 ?4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 目录 B A 1.5m 1.5m 1.5m FAY FBY 1kN.m 2kN 例题4-6 简支梁受力的大 小和方向如图示。 试画出其剪力图和弯矩图。 解:1(确定约束力 求得A、B 二处的约束力 FAy,0.89 kN , FBy,1.11 kN 根据力矩平衡方程 2(确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力 内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。 E D C F ?4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 目录 + - B A 1.5m 1.5m 1.5m FAY FBY 1kN.m 2kN E D C F M kN.m x O 3(建立坐标系 建立 FS,x 和 M,x 坐标系 5(根据微分关系连图 线 4(应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在 FS, x和 M,x 坐标系中。 0.89 1.11 1.335 1.67 - - 0.335 x FS kN O 0.89 kN ,1.11 kN ?4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 目录 (-) (+) 解法2:1(确定约束力 FAy,0.89 kN FFy,1.11 kN 2(确定控制面为A、C、D、B两侧截面。 FBY B A 1.5m 1.5m 1.5m FAY 1kN.m 2kN D C 3(从A截面左测开始画剪力图。 Fs( kN) 0.89 1.11 ?4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 目录 (-) (-) 4(从A截面左测开始画弯矩图。 M( kN.m) 从A左到A右 从C左到C右 从D左到D右 从A右到C左 1.330 0.330 从C右到D左 1.665 (-) (+) FBY B A 1.5m 1.5m 1.5m FAY 1kN.m 2kN D C Fs ( kN) 0.89 1.11 ?4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 从D右到B左 从B左到B右 目录 q B A D a 4a FAy FBy 例题4-7 试画出梁 的剪力图和弯矩图。 解:1(确定约束力 根据梁的整体平衡，由 求得A、B 二处的约束力 qa 2(确定控制面 由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截 面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa 左侧的截面，也都是控制面。 C ?4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 目录 (+) (-) (+) q B A D a 4a FAy FBy qa C 3(建立坐标系 建立FS,x和M,x坐标系 O FS x O M x 4(确定控制面上的剪力值，并将其标在FS,x中。 5(确定控制面上的弯矩值，并将其标在M,x中。 ?4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 目录 (+) (-) q B A D a 4a FAy FBy qa 解法2:1(确定约束力 2(确定控制面，即A、B、D两侧截面。 3(从A截面左测开始画剪力图。 Fs 9qa/4 7qa/4 qa ? 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 目录 (+) M (+) (-) q B A D a 4a FAy FBy qa Fs 9qa/4 7qa/4 qa 4(求出剪力为零的点 到A的距离。 B点的弯矩为 -1/2×7qa/4×7a/4 +81qa2/32 qa2 AB段为上凸抛物线。且有 极大值。该点的弯矩为 1/2×9qa/4×9a/4 81qa2/32 5(从A截面左测开始画弯 矩图 81qa2/32 qa2 ?4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 目录 (-) (-) (+) (+) (-) Fs 例题4-8 试画出图示有中间 铰梁的剪力图和弯矩图。 解:1(确定约束力 从铰处将梁截开 q FDy FDy qa FAy FBy MA FAy FBy qa/2 qa/2 qa M qa2/2 qa2/2 B A a qa C a a D q MA ?4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 目录 平面曲杆 某些构件(吊钩等)其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。 目录 ?4-6 平面曲杆的弯曲内力 目录 画出该曲杆的内力图 解:写出曲杆的内力方程 ?4-6 平面曲杆的弯曲内力 例题4-10 小结 1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力 2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定 3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值 4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图 目录 第五章 弯曲应力 目录 单位长度扭转角 扭转刚度条件 ?3.5 圆轴扭转时的变形 许用单位扭转角 rad/m ?/m 扭转强度条件 扭转刚度条件 已知T 、D 和[τ]，校核强度 已知T 和[τ]，设计截面 已知D 和[τ]，确定许可载荷 已知T 、D 和[φ/]，校核刚度 已知T 和[φ/]，设计截面 已知D 和[φ/]，确定许可载荷 ?3.5 圆轴扭转时的变形 例题3.6 ?3.5 圆轴扭转时的变形 某传动轴所承受的扭矩T 200Nm，轴的直径d 40mm，材料的[τ] 40MPa，剪切弹性模量G 80GPa， 许可单位长度转角[φ/] 1 ?/m。试校核轴的强度和刚度。 传动轴的转速为n 500r/min，主动轮A 输入功率P1 400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2 160kW，P3 240kW。已知[τ] 70MPa，[φ@] 1?/m，G 80GPa。 1 试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2; 2 若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d; 3 主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? 解: 1.外力偶矩 例题3.7 ?3.5 圆轴扭转时的变形 2.扭矩图 按刚度条件 3.直径d1的选取 按强度条件 ?3.5 圆轴扭转时的变形 按刚度条件 4.直径d2的选取 按强度条件 5.选同一直径时 ?3.5 圆轴扭转时的变形 6.将主动轮安装在两从动轮 之间 受力合理 ?3.5 圆轴扭转时的变形 ?3.7 非圆截面杆扭转的概念 平面假设不成立。变形后横截面成为一个凹凸不平的曲面，这种现象称为翘曲。 自由扭转 (截面翘曲不受约束) 约束扭转 (各截面翘曲不同) ?3.7 非圆截面杆扭转的概念 杆件扭转时，横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切。 开口/闭口薄壁杆件扭转比较 ?3.7 非圆截面杆扭转的概念 小结 1、受扭物体的受力和变形特点 2、扭矩计算，扭矩图绘制 3、圆轴扭转时横截面上的应力计 算及强度计算 4、圆轴扭转时的变形及刚度计算 第四章 弯曲内力 目录 第四章 弯曲内力 ?4-1 弯曲的概念和实例 ?4-2 受弯杆件的简化 ?4-3 剪力和弯矩 ?4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 ?4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 ?4-6 平面曲杆的弯曲内力 目录 ?4-1 弯曲的概念和实例 起重机大梁 目录 车削工件 目录 ?4-1 弯曲的概念和实例 火车轮轴 目录 ?4-1 弯曲的概念和实例 弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁 目录 ?4-1 弯曲的概念和实例 平面弯曲 平面弯 曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该 平面曲线仍与外力共面。 目录 ?4-1 弯曲的概念和实例 对称弯曲 常见弯曲构件截面 目录 ?4-1 弯曲的概念和实例 梁的载荷与支座 集中载荷 分布载荷 集中力偶 固定铰支座 活动铰支座 固定端 ?4-2 受弯杆件的简化 目录 目录 ?4-2 受弯杆件的简化 火车轮轴简化 目录 ?4-2 受弯杆件的简化 目录 ?4-2 受弯杆件的简化 吊车大梁简化 均匀分布载荷 简称均布载荷 目录 ?4-2 受弯杆件的简化 非均匀分布载荷 目录 ?4-2 受弯杆件的简化 简支梁 外伸梁 悬臂梁 FAx FAy FBy FAx FAy FBy FAx FAy MA 静定梁的基本形式 目录 ?4-2 受弯杆件的简化 FN FS M FS剪力，平行于横截面的内力合力 M 弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩 FBy FN FS M ?4-3 剪力和弯矩 目录 FAy FAy FN FS M FBy FN FS M 截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正;反之为负。 + _ 截面上的弯矩使得梁呈凹形为正;反之为负。 ?4-3 剪力和弯矩 左上右下为正;反之为负 左顺右逆为正;反之为负 目录 + _ 解: 1. 确定支反力 FAy FBy 2. 用截面法研究内力 FAy FSE ME 目录 例题4-1 FAy ?4-3 剪力和弯矩 FBy FBy FAy FSE ME O 分析右段得到: FSE ME O 目录 ?4-3 剪力和弯矩 FAy FBy 截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。 目录 FAy FSE 2F FSE ?4-3 剪力和弯矩 FAy FBy 截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。 目录 ME FAy 2F ME ?4-3 剪力和弯矩 * * * * * 解: 1 计算外力偶矩 例题3.1 ?3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 传动轴,已知转速 n 300r/min,主动轮A输入功率 PA 45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB 10kW,PC 15kW, PD 20kW.试绘轴的扭矩图. 由公式 2 计算扭矩 3 扭矩图 ?3.2 外力偶矩的计 算 扭矩和扭矩图 ?3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 传动轴上主、从动轮安装的位置不同，轴所承受的最大扭矩也不同。 A B C D A 318N.m 795N.m 1432N.m ?3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 ?3.3 纯剪切 一、薄壁圆筒扭转时的切应力 将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分;两端施以大小相等方向相反一对力偶矩。 圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变;纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度。 观察到: 结果说明横截面上没有正应力 ?3.3 纯剪切 采用截面法将圆筒截开，横截面上分布有与截面平行的切应力。由于壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀分布。 由平衡方程 ，得 二、切应力互等定理 ?3.3 纯剪切 在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等;两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。 纯剪切 各个截面上只有切应力没有正应力的情况称为纯剪切 切应力互等定理: ?3.3 纯剪切 三、切应变 剪切胡克定律 在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量? 称为切应变。 当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变?与切应力τ成正比，这个关系称为剪切胡克定律。 G ― 剪切弹性模量 GN/m2 各向同性材料，三个弹性常数之间的关系: τ ?3.4 圆轴扭转时的应力 1.变形几何关系 观察变形: 圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度;纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个微小角度。 圆轴扭转的平面假设: 圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线;且相邻两截面间的距离不变。 Me x p p q q Me x p p q q Me Me ?3.4 圆轴扭转时的应力 扭转角(rad) dx微段两截面的 相对扭转角 边缘上a点的错动 距离: 边缘上a点的切应变: ? 发生在垂直于半径的平面内。 Me p p q q Me d c a b b′ p p q q ?3.4 圆轴扭转时的应力 距圆心为?的圆周上e点的错动距离: 距圆心为?处的切应变: 也发生在垂直于 半径的平面内。 ―扭转角 沿x轴的变化率。 d c a b b′ p p q q e e′ ?3.4 圆轴扭转时的应力 2.物理关系 根据剪切胡克定律 距圆心为? 处的切应力: 垂直于半径 横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。 ?3.4 圆轴扭转时的应力 3.静力关系 横截面对形心的极惯性矩 ?3.4 圆轴扭转时的应力 公式适用于: 1)圆杆 2) 令 抗扭截面系数 在圆截面边缘上，有最大切应力 横截面上某点的切应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于半径。切应力的大小与其和圆心的距离成正比。 实心轴 ?3.4 圆轴扭转时的应力 与 的计算 空心轴 令 则 ?3.4 圆轴扭转时的应力 ?3.4 圆轴扭转时的应力 实心轴与空心轴 与 对比 ?3.4 圆轴扭转时的应力 扭转强度条件: 1. 等截面圆轴: 2. 阶梯形圆轴: ?3.4 圆轴扭转时的应力 强度条件的应用 (1)校核强度 (2)设计截面 (3)确定载荷 ?3.4 圆轴扭转时的应力 例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D 89mm、壁厚? 2.5mm，材料为20号钢，使用时的最大扭矩T 1930N??m,[?] 70MPa. 校核此轴的强度。 解:(1)计算抗扭截面模量 cm3 (2) 强度校核 满足强度要求 ?3.4 圆轴扭转时的应力 例3.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。 解:当实心轴和空心轴的最大应力同 为[?]时，两轴的许可扭矩分别为 若两轴强度相等，则T1 T2 ，于是有 ?3.4 圆轴扭转时的应力 在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。 可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31% 。 实心轴和空心轴横截面面积为 已知: P,7.5kW, n 100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 ? 0.5。二轴长度相同。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2;确定二轴的 重量之比。 解: 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 实心轴 例题 3.4 ?3.4 圆轴扭转时的应力 空心轴 d2,0.5D2 23 mm ?3.4 圆轴扭转时的应 力 确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横 截面面积之比: 实心轴 d1 45 mm 空心轴 D2,46 mm d2,23 mm P1 14kW, P2 P3 P1/2 7 kW n1 n2 120r/min 解:1、计算各轴的功率与转速 2、计算各轴 的扭矩 例题3.5 3 ?3.4 圆轴扭转时的应力 求:各轴横截面上的最大切应力; 并校核各轴强度。 已知:输入功率P1,14kW,P2 P3 P1/2，n1 n2 120r/min, z1 36,z3 12;d1 70mm, d 2 50mm, d3 35mm.[?] 30MPa。. T1 M1 1114 N m T2 M2 557 N m T3 M3 185.7 N m 3、计算各轴的横截面上的 最大切应力;校核各轴 强 度 3 ?3.4 圆轴扭转时的应力 满足强度要求。 相对扭转角 抗扭刚度 ?3.5 圆轴扭转时的变形 * * *