方波信号展开为傅里叶级数
【例4.2-1】将下图所示方波信号展开为傅里叶级数。
f(t)
E 2
…… 0 ……
TT, t 22
E, 2
解:按
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
意方波信号在一个周期内的解析式为
E,T,,,t,0,2,2，，ft, ,E,T0,t,,2,2
T2E2E,,,,02acosn,tdtcosn,tdt ,,，分别求得傅里叶系数: ,,,,,,Tn000,T2T2,,,,2
ET02,,，，，，,,sinn,t，sinn,t,0 00,T20nT,0
T2E2E,,,,02bsinn,tdtsinn,tdt,,， ,,,,,,T00n0,T2T2,,,,2
E0T2,,，，，，,cosn,t，,cosn,t 00,T20nT,0
E,,，， ,2,2cosn,
2n,
2E,n为奇数,即: b, n,,n
,0n为偶数,
故得信号的傅里叶级数展开式为
2E111,,，，sin,sin,3sin5,sin,ft,t，t，t，？，nt，？ ,,000035n,,,
它只含有一、三、五、……等奇次谐波分量。
【例4.2-2】将下图所示信号展开为傅里叶级数。
f(t)
2
…… 0 ……
TT00 ,T T t ,0022
,2
解:
首先将图示信号分解为奇、偶函数，如下图(a)、(b)所示。
f(t) ev
…… 1 ……
TT00,TT t ,0022
,1
(a)
f(t) od
…… 1 ……
TT00,TT 0 t ,0022
,1
(b)
从图(a)可见为一个半波反对称偶函数。在这种情况下，其傅里级数展开式 中将只含有余弦项，且只含奇次谐波分量而不含偶次谐波分量，即有:
a,a,a,？,b,b,b,b？,0 1230246
8111,,，，cos,cos,3cos5,cos,ft,t，t，t，？，nt，？,,ev000022925n,,,
从图(b) 可见为一个半波反对称奇函数。在这种情况下，其傅里级数展开式 中将只含有正弦项，且只含奇次谐波分量而不含偶次谐波分量，即有:
a,a,a,？,b,b,b,b？,00240123
4111,,，，sin,sin,3sin5,sin,ft,t，t，t，？，nt，？ ,,od000035n,,,
？f(t),f(t)，f(t) evod
8111,,cos,cos,3cos5,cos,,t，t，t，？，nt，？,,000022925n,,,
4111,,sin,sin,3sin5,sin,，t，t，t，？，nt，？ ,,000035n,,,
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