江苏专转本高数必会公式(最全!)

第1页共15页导数 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos12sinududxxtguuuxuux+==+-=+=，　，　，　axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22=¢=¢×-=¢×=¢-=¢=¢222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx+-=¢+=¢--=¢-=¢òòòòòòòòòò+±+=±+=+=+=+-=×+=×+-==+==CaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdx+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=òòòòòòòòarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222òòòòò++-=-+-+--=-+++++=+-===-CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020pp江苏专转本高等数学必会公式第2页共15页一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：函数角Asincostgctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式：·和差化积公式：2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinbabababababababababababa-+=--+=+-+=--+=+abbababababababababababactgctgctgctgctgtgtgtgtgtg±×=±×±=±=±±=±1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(mmmxxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx-+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim1sinlim0==+=¥®®exxxxxx江苏专转本高等数学必会公式第3页共15页·倍角公式：·半角公式：aaaaaaaaaaaaaaaaaacos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sin-=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctgtg　　　　　　　　　　　　　　·正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin===·余弦定理：Cabbaccos2222-+=·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx-=-=2arccos2arcsinpp　　　高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv+++--++¢¢-+¢+==---=-åLLL中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf=¢¢=---¢=-)(F)()()()()()())(()()(xxx曲率：aaaaaaaaaa23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg--=-=-=aaaaaaaaaaaaaa222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg-=-=-=-=-==江苏专转本高等数学必会公式第4页共15页.1;0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss==¢+¢¢==DD=¢D¢DDD==¢¢+=®D的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：aaaaa定积分的近似计算：òòò----+++++++++-»++++-»+++-»bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)](4)(2)[(3)(])(21[)()()(1312420110110LLLL抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：òò--==×=×=babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：江苏专转本高等数学必会公式第5页共15页。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间aaqqqjj,cos)(][..sin,cos,,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuuvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv×´==×´=´=×==´=++×++++=++=×=×+=+×=-+-+-==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++ïîïíì+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxAvv多元函数微分法及应用江苏专转本高等数学必会公式第6页共15页zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz-=¶¶-=¶¶=×-¶¶-¶¶=-==¶¶+¶¶=¶¶+¶¶===¶¶×¶¶+¶¶×¶¶=¶¶=¶¶×¶¶+¶¶×¶¶==D+D=»D¶¶+¶¶+¶¶=¶¶+¶¶=，　　，　隐函数＋，　　，　　隐函数隐函数的求导公式：　　　　时，，当　　　　　　　　：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：　　　全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu¶¶×-=¶¶¶¶×-=¶¶¶¶×-=¶¶¶¶×-=¶¶=¶¶¶¶¶¶¶¶=¶¶=îíì==　　　　　　　　　　　隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy-=-=-=-+-+-==ïîïíì====-¢+-¢+-¢¢-=¢-=¢-ïîïíì===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线vvwyjwyjwyj方向导数与梯度：江苏专转本高等数学必会公式第7页共15页上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(¶¶\×+×=×=¶¶¶¶+¶¶==¶¶+¶¶=¶¶=vvvvvvjjjjj多元函数的极值及其求法：ïïïîïïïíì=-<-îíì><>-=====　　　　　　　不确定时值时，　　　　　　无极为极小值为极大值时，则：　　，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx重积分及其应用：òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò++-=++=++==>======÷÷øöççè涶+÷øöçè涶+===¢DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(srsrsrsrsrsrsrsrsrqqq，　　，　　，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴　　对于轴对于平面薄片的转动惯量：　　平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：江苏专转本高等数学必会公式第8页共15页òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòWWWWWWWWWWW+=+=+=========×××=ïîïíì=====ïîïíì===dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxrrrrrrrrjqjjqqjjqjqjjqjjjqjqjqqqqqqqppqj)()()(1,1,1sin),,(sin),,(),,(sinsincossinsincossin),sin,cos(),,(,),,(),,(,sincos222222200),(0222，　　，　　转动惯量：，　　其中　　　　重心：，　　球面坐标：其中：　　　柱面坐标：曲线积分：îíì==<¢+¢=££îíì==òò)()()()()](),([),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfLjbayjyjbayjba　　特殊情况：　　则：　　的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧江苏专转本高等数学必会公式第9页共15页。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()coscos()}()](),([)()](),([{),(),()()(00),(),(00==+=+¶¶¶¶¶¶¶¶-===¶¶-¶¶=-=+=¶¶-¶¶+=¶¶-¶¶+=+¢+¢=+îíì==òòòòòòòòòòòòòòyxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLLbabayyjjyjyjba曲面积分：òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòååååååå++=++±=±=±=++++=dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(22gba系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：江苏专转本高等数学必会公式第10页共15页òòòòòòòòòòòòòòòòòòWåååååWå=++==×<¶¶+¶¶+¶¶=++=++=¶¶+¶¶+¶¶dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnnvvvvvdiv)coscoscos(...,0div,div)coscoscos()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：—高斯公式的物理意义gbanngba斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：òòòòòòòòòGGåååG×=++G¶¶¶¶¶¶=¶¶=¶¶¶¶=¶¶¶¶=¶¶¶¶¶¶¶¶=¶¶¶¶¶¶++=¶¶-¶¶+¶¶-¶¶+¶¶-¶¶dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyRvvvv的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjirotcoscoscos)()()(gba常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112+++++=++++--=++++-LLL级数审敛法：江苏专转本高等数学必会公式第11页共15页散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUu¥®+¥®¥®+++=ïîïíì=><=ïîïíì=><=lim;3111lim2111lim1211Lrrrrrrrr。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(+¥®+££ïîïíì=³>+-+-+-+-nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuuLL绝对收敛与条件收敛：åååå>£-+++++++++时收敛１时发散ｐ　　级数：　　收敛；　　级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnnLLLL幂级数：江苏专转本高等数学必会公式第12页共15页0010)3(lim)3(1111111221032=+¥=+¥===¹==><+++++³-<++++++++¥®RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散时，收敛于　　rrrrrLLLL函数展开成幂级数：LLLL+++¢¢+¢+===-+=+-++-¢¢+-=¥®++nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：x一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+¥<<-¥+--+-+-=<<-++--++-++=+--xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm　　　　　　LLLLL欧拉公式：ïïîïïíì-=+=+=--2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe　　　或三角级数：。上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。，，，其中，0],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin)sincos(2)sin()(001010ppwjjjw-====++=++=åå¥=¥=LLnxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn傅立叶级数：江苏专转本高等数学必会公式第13页共15页是偶函数　　　，余弦级数：是奇函数　　　，正弦级数：（相减）（相加）　　　　　　　其中，周期åòåòòòå+=========+-+-=++++=+++=+++ïïîïïíì=====++=--¥=nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2,1,0cos)(20sin)(3,2,1nsin)(201241312116413121124614121851311)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210LLLLLLLLppppppppppppppp周期为l2的周期函数的傅立叶级数：江苏专转本高等数学必会公式第14页共15页ïïîïïíì=====++=òòå--¥=llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(10LL　　　　　　其中，周期pppp微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。　　得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy-=\=++====+====+=¢òò)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(jjj一阶线性微分方程：)1,0()()(2))((0)(,0)()()(1)()()(¹=+ò+ò=¹ò===+ò--nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP=\=¶¶=¶¶=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22¹º=++xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中D¢¢¢=++D=+¢+¢¢江苏专转本高等数学必会公式第15页共15页式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr的形式，21rr(*)式的通解两个不相等实根)04(2>-qpxrxrececy2121+=两个相等实根)04(2=-qpxrexccy1)(21+=一对共轭复根)04(2<-qp242221pqpirir-=-=-=+=bababa，，)sincos(21xcxceyxbba+=二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，]sin)(cos)([)()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmxwwlll+===+¢+¢¢江苏专转本高等数学必会公式