[doc] 马尔可夫与切比雪夫不等式及其等号成立的条件
马尔可夫与切比雪夫不等式及其等号成立
的条件
VolI9,NO.4
Ju1.,2006
高等数学研究
STUDIESINCOLIEGEMATHEMATICS25
马尔可夫与切比雪夫不等式及其等号成立的条件
丁永臻黄志敏.
(1.中国石油大学(华东)数学学院山东东营257061~2.东营市技术学院基础部山东东营257097)
摘要用现代概率论方法
证明
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马尔可夫和切比雪夫不等式,并给出其等号成立的充要条件.
关键词马尔可夫不等式.切比雪夫不等式,概率.随机变量中图分类号O211
本文用现代概率论方法,证明马尔可夫不等式与切比雪夫不等式,特别是给出两个不等式等号
成立的充要条件,这在流行的概率统计教科
书
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中是没有的.结果的证明主要依赖下面的引理.
引理设X是样本空间n上的随机变量,P(X?O)=1,则E(x)=0当且仅当P(X—O)一0.
证明记厶为集合A的示性函数.若P(X—O)一1,则P(X>O)一O,P(X<O)一0,于是,
E(X)一E(XI{x>o}+?{x_o1+?{Ko))一0+O+0=0.反之,若P(X?O)一1,E(X)一0,则必有
P(X—o):1注意到J{?,两边取期望,由E()=P(A),即得不等式成立.
记y一一J{c}’则y?0,P(Y?O)一1.结论中等号成立等价于E(y)一0,由引理,E(y)
一0等价于P(Y—O)一1,等价于P(X—el()一1,等价于P(X?{0,,})一1.证毕.
定理2(切比雪夫(Chebyshev)不等式)设X是样本空间n上的随机变量,有有限期望和方
差,则v,>0,P(Ix一I?,)?.其中等号成立当且仅当存在P?Eo,1],使
P(X=一,)=(1一p)/2,P(X—)一P,P(X—+,)一(1一p)/2.
证明记Y一(一),则y?0,E(y)一有限.应用马尔可夫不等式有,
P(Ix一I?,)一P(Y?,z)?一.
E
不等式得证.等号成立的充分性易于验证.下证必要性.如果P(Ix—I?,)一,则有P(y?,2)一,
由马尔可夫不等式等号成立的条件得P(Y?{0,,2}):1,即P(X?{一,,,+,})一1_
记P(一)一p,则P(X?(一,,+,})一1一P,再注意到E()一,贝?必有
P(X一一,)一P(X一+,)一(1一p)/2.证毕.
注显然,要使马尔可夫与切比雪夫不等式中的等号对所有的,>0
都成立,其充要条件是x
为单点分布,即P(X一)一1.
?收稿日期:2004—06—28
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