向量的数量积公式的灵活应用
向量的数量积公式的灵活应用(第10期)
山东省济南市第三中 学李佃花 平面向量的的数量积公式是向量部分一个基本而又非常重要的公式。近几年
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试题主要
考查数量积的以下几个应用:平面上两点间的距离与数量积的关系;平面上两个向量的平行
与垂直问题;利用向量数量积处理有关向量的长度、角度问题及与其它知识交汇的问题等.
下面通过例子具体说明.
一、求向量的夹角
【例1】已知求的夹角( (32)(2)8,mnmn,,，,,mn与mn,,2,4,
解析:由， (32)(2)8mnmn,,，,,
2222得，即( 628mmnn,,,,,mnmn,,,，628
,，，，，24cos,mnmnmnmn,,,，，cos,
22 8cos,62248,，，,，,，，mn
， ？，，,cos,0mn，，,mn,[0,],,
( ？，，,mn,.,
点评:本例主要考查向量夹角的求法，同时也考查学生向量的基本运算能力，在求向量
[0,].,的夹角时切记夹角的范围是
二、求向量的模或长度
120【例2】已知均为单位向量，它们的夹角为，求 ab，3.a和b
解析:利用向量求模的定义有:
2 abab，,，3(3)
22 ,，，abab96
120均为单位向量，且夹角为，有向量的数量积公式 得a和b
1， ababab,,，，,，，,,cos,11cos1202
22( ？，，,，,,abab961937
2点评:求向量的长度(或模)问题，常常利用转化为向量的数量积来求解. aaa,a
三、解决向量的垂直与平行问题
,【例3】已知且向量()ab，,与()ab,,垂直，求( ab,,3,4,
解析:()ab，,与()ab,,垂直，
,0.()ab，,()ab,,？
222， ？,,ab,0
2 ？,,9160,,ab,,3,4,
3解方程求得 ,,,.4
【例4】在四边形中，，求证:( ABCDABCDABCDABCD,
AB证明:设与的夹角为，有向量的数量积公式得: ,CD
ABCDABCD,cos,
， ABCDABCD,
， ？,ABCDABCDcos,
， ？,,cos1,
？,,,,0180或
( ？ABCD
点评:两个向量垂直的充要条件为:，利用它可以灵活、简便地解决有关垂ab、ab,0
ab直问题;两个非零向量平行的充要条件为:或者说两个向量的夹cos1,，，,,,ab,ab、
ab
0180.或角为
四、向量的数量积与三角函数的综合应用问题
ππ【例5】(2006年全国卷II)已知向量,(sinθ，1)，,(1，cosθ)，,,θ,( ab22
(?)若，求θ; ab,
(?)求的最大值( ab，
解:(?)若，则sinθ，cosθ,0， ab,
πππ由此得 tanθ,,1(,,θ,)，所以 θ,,; 224(?)由,(sinθ，1)，,(1，cosθ)得 ab
22,(sinθ，1)，(1，cosθ),3，2(sinθ，cosθ) ab，
π,3，22sin(θ，)， 4
ππ当sin(θ，),1时，取得最大值，即当θ,时，|最大值为2，1( ab，ab，44
点评:此题主要是考查数量积的坐标运算.将向量的数量积及模的坐标运算转化为三角函数的化简、求值，然后运用三角函数的基本公式及正弦函数的有界性求解.向量与三角函数的结合，题目新又巧，既符合在知识的“交汇处”出题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标
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示与运算大大简化了数量积的运算，使得数量积公式用起来更得心应手.
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