海伦公式
初等几何的海伦公式，由于大学、中学课本配合不够，许多同学对这一公式感到陌生，现将这一公式证明如下：
海伦公式：三角形的面积
其中：
、
、
分别是三角形的三边长，
证明（1）：由余弦定理可知：
，由此得出
由
可得：
，
，
，
，
因此：
由三角形面积公式
即得
上述证明用到了三角函数
、
，若
要求
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纯初等几何的证明，则可如下证之。
是 △
的
边上的高，点
为垂足。记
，
，
，
，
（见上图）。
证明（2）：若 △
是锐角三角形（图1），则由勾股定理有
由（1）式得出
，带入（2）式 ：
。
展开，即得
，由此式解得
，
类似于证明（1），得出
，
由于三角形面积
，由上式即得
。
若 △
是钝角三角形（图2），不失一般性，设
，则由勾股定理有
类似于 △
是锐角三角形的情况，可得
，
因而亦得
。
若 △
是直角三角形（图2），不失一般性，设
，由勾股定理有
。
故，此时仍有
。
关于海伦公式（Heron's formula或Hero's formula）的历史
海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作
亚历山大里亚的海伦（希腊语： ?ρων ? ?λεξανδρε??）（公元10年－70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization）科学传统方面享负盛名。
我国南宋末年数学家 秦九韶 发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二
题
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即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。”若以大斜记为
，中斜记为
，小斜记为
，秦九韶的
方法
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即相当于海伦公式。
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