大学物理78章答案详解

第七章　　真空中的静电场7－1在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。解：如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力将相互抵消，单位正电荷所受的力为＝方向由q指向-4q。)41()22(420aqF,2520aq7－2如图，均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ。（1）求棒的延长线上任一点P的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。解：（1）如图7－2图a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，dq＝d，设棒的延长线上任一点P与坐标原点0的距离为x，则2020)(4)(4xdxddE则整根细棒在P点产生的电场强度的大小为)11(4)(40020xLxxdEL＝方向沿轴正向。)(40LxxL（2）如图7－2图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y204rdxdE，cos420rdxdEysin420rdxdEx因，cos,cos,2yrdydxytgx代入上式，则＝，)cos1(400y)11(4220Lyy方向沿x轴负向。q2q-4q2q习题7－1图0dqd,P习题7－2图axdydEExx000sin40dqxdx,P习题7－2图bydEyQ00dydEEyy000cos4＝00sin4y2204LyyL7－3一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心O处的场强。解：如图，在半环上任取dl=Rd的线元，其上所带的电荷为dq=Rd。对称分析Ey=0。sin420RRddEx00sin4RdEExR02，如图，方向沿x轴正向。2022Rq7－4如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。解：在λ2的带电线上任取一dq，λ1的带电线是无限长，它在dq处产生的电场强度由高斯定理容易得到为，xE012两线间的相互作用力为xdxdFF0212laxdx0212如图，方向沿x轴正向。,ln2021ala7－5两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？解：设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为Q－q，若它们间的距离为r，它们间的相互作用力为204)(rqQqF相互作用力最大的条件为04220rqQdqdFddExy习题7－3图Raλ1λ2习题7－4图0xdq由上式可得：Q=2q，q=Q/27－6一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为dRrRddqsin222dq在o点产生的电场据（7－10）式为，304RydqdEcosRydRRdEEcos4sin200303。如图，方向沿y轴负向。200sin(sin)2d20202sin2047－7设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。解：如图，设作一圆平面S1盖住半球面S2，成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0，即021SSSSdESdESdE2211RESdESdESSS7－8求半径为R，带电量为q的空心球面的电场强度分布。解：由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与S2。对S1与S2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为04d21rESSE得（r<R）0内E024d2qrESSE(r>R)rrˆ204q外Eyr习题7－6图oS1S2E习题7－7图r0R习题7－18图7－9如图所示，厚度为d的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为ρ，求板内外的电场分布。解:带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分街面上电场强度为零，取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。对底面积为A，高度分别为x<d/2和x>d/2的高斯曲面应用高斯定理，有01dAxEASSE得)2(01dxixE02d2dAEASSE)2(202dxidE外7－10一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为，ρ0为常数。)(0Rrr求场强分布。解：据高斯定理有VSdVrlESdE012时：RrrrldrrkrlE0022rrdrlk0202rlE23230rlknekrE023时：RrRrldrrkrlE0022Rrdrlk0202rlE23230RlknerkRE0337－11带电为q、半径为R1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内、外半径为R2、R3。（1）球壳的电荷及电势分布；（2）把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布；（3）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。解：（1）静电平衡，球壳内表面带－q，外表面带q电荷。据（7－23）式的结论得：),)(111(4132101RrRRRqVd习题7－9图0xE习题7－10图ro);)(111(4213202RrRRRrqV),(432303RrRRqV).(4304RrrqV（2）),)(11(412101RrRRqU);)(11(421202RrRRrqV),(0323RrRV).(034RrV（3）再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q/，球壳内表面带－q/，外表面带q/－q。),)((41132101RrRqqRqRqV得：21313221RRRRRRqRRq3034RqqV)(4)(213132021RRRRRRqRR)(32RrR7－12一均匀、半径为R的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r(2r<R)，试 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 球形空腔中任意点的电场强度为匀强电场，其方向沿带电球体球心O指向球形空腔球心O/。证明：利用补缺法，此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为R的大球和一个半径为r与大球电荷密度异号完整的小球组成，两球在腔内任意点P产生的电场分别据〔例7－7〕结果为,0311rE0322rEE=E1+E2=031r032roo03上式是恒矢量，得证。oR1R2R3q-qq习题7－11图oo/pr2r1习题7－12图7－13一均匀带电的平面圆环，内、外半径分别为R1、R2，且电荷面密度为σ。一质子被加速器加速后，自圆环轴线上的P点沿轴线射向圆心O。若质子到达O点时的速度恰好为零，试求质子位于P点时的动能EK。（已知质子的带电量为e，忽略重力的影响，OP=L）解：圆环中心的电势为210042RRrrdrV)(2120RR圆环轴线上p点的电势为2122042RRPLrrdrV)(22221222022021LRLRLrRR质子到达O点时的速度恰好为零有kPEEE0pkEEE0=pkeVeVE0210()2eRR2222210()2eRLRL222221210()2eRRRLRL7－14有一半径为R的带电球面，带电量为Q，球面外沿直径方向上放置一均匀带电细线，线电荷密度为λ，长度为L（L>R），细线近端离球心的距离为L。设球和细线上的电荷分布固定，试求细线在电场中的电势能。解：在带电细线中任取一长度为dr的线元，其上所带的电荷元为dq=dr，据（7－23）式带电球面在电荷元处产生的电势为rQV04电荷元的电势能为:rdrQdW04细线在带电球面的电场中的电势能为：LLrdrQdWW2042ln40Q*7－15半径为R的均匀带电圆盘，带电量为Q。过盘心垂直于盘面的轴线上一点P到盘心的距离为L。试求P点的电势并利用电场强度与电势的梯度关系求电场强度。解：P到盘心的距离为L，p点的电势为RPLrrdrV022042R2oR1xp习题7－13图orQdr习题7－14图)(2222200220LLRLrR圆盘轴线上任意点的电势为RxrrdrxV022042)()(22222200220xxRRQxrR利用电场强度与电势的梯度关系得：ixRxRQidxdVxE)1(2)(22220P到盘心的距离为L，p点的电场强度为：iLRLRQLE)1(2)(222207－16两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）各区城电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？解：（1）据（7－23）式的结论得各区城电势分布为),()(411221101RrRQRQV);()1(41212102RrRRrQV).(420213RrrQQV（2）两球面间的电势差为drrQVRR21201124)11(42101RRQ7－17一半径为R的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为ρ，若取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。解：据高斯定理有时：Rr022lrrlESdESnerE02时，V=0，则Rr时：RrRrrdrV02)(4220rRp习题7－15图xooQ1Q2R1R2习题7－16图习题7－10图ro时：Rr022lRrlESdESnerRE022RrrdrRV022rRRln202空间电势分布并画出电势分布曲线大致如图。7－18两根很长的同轴圆柱面半径分别为R1、R2，带有等量异号的电荷，两者的电势差为U，求：（1）圆柱面单位长度带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度。解：设圆柱面单位长度带电量为，则两圆柱面之间的电场强度大小为rE02两圆柱面之间的电势差为rdrU022102RRrdr120ln2RR由上式可得：120ln2RRU所以nerE02)(ln2112RrRerRRUn7－19在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为30库仑，如果释放出来的能量都用来使00C的冰熔化成00C的水，则可融化多少冰?（冰的熔解热为3.34×105J﹒kg-1)解：两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为30库仑，其电势能为JWp91030上式释放出来的能量可融化冰的质量为：8.98×104kg591034.31030m7－20在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动。（1）若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?（2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为多少？解：电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动，其电势能为aeeWp04（1）把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功为：aeWWp024外RroV习题7－18图ro（2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为：kpEWW221mvWpavmae22024外2mvae024221mvEkae028电子的总能量为：221mvWWpae024ae028ae028第八章静电场中的导体与电介质8－1点电荷+q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为Rl和R2，试求，电场强度和电势的分布。解：静电平衡时，球壳的内球面带－q、外球壳带q电荷在r<R1的区域内，rrqˆ4E201)111(42101RRrqU在R1<r<R2的区域内,02E.,4202RqU在r>R2的区域内:.ˆ4E203rrπεq.403rqU8－2把一厚度为d的无限大金属板置于电场强度为E0的匀强电场中，E0与板面垂直，试求金属板两表面的电荷面密度。解：静电平衡时，金属板内的电场为0，金属板表面上电荷面密度与紧邻处的电场成正比所以有,001E.002E8－3一无限长圆柱形导体，半径为a，单位长度带有电荷量1，其外有一共轴的无限长导体圆简，内外半径分别为b和c，单位长度带有电荷量2，求（1）圆筒内外表面上每单位长度的电荷量；（2）求电场强度的分布。解：（1）由静电平衡条件，圆筒内外表面上每单位长度的电荷量为;,21（2）在r<a的区域内:E=0习题8－3图R2R1习题8－1图q-qqE0E0习题8－2图12在a<rb的区域内:Eenr012在r>b的区域内:Eenr02128－4三个平行金属板A、B和C，面积都是200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地，如图所示。如果A板带正电3.0×10－7C，略去边缘效应（1）求B板和C板上感应电荷各为多少?（2）以地为电势零点，求A板的电势。解：（1）设A板两侧的电荷为q1、q2，由电荷守恒原理和静电平衡条件，有（1）Aqqq21，（2）1qqB2qqC依题意VAB=VAC,即＝代入（1）101dSq202dSq112122qqddq（2）式得q1＝1.0×10-7C，q2＝2.0×10-7C，qB＝－1.0×10-7C，qC=-q2＝－2.0×10-7C，（2）＝=2.3×103V101dSqUA202dSq312471021085810200102.8－5半径为R1=l.0cm的导体球带电量为q=1.0×10－10C，球外有一个内外半径分别为R2=3.0cm和R3=4.0cm的同心导体球壳，壳带有电量Q=11×10－10C，如图所示，求（1）两球的电势；（2）用导线将两球连接起来时两球的电势；（3）外球接地时，两球电势各为多少？（以地为电势零点）解：静电平衡时，球壳的内球面带－q、外球壳带q+Q电荷（1）代入数据)(4132101RQqRqRqU)41113111(101085.814.34100.1212101U＝3.3×102V2024RQqU4)111(101085.814.34100.121210=2.7×102V（2）用导线将两球连接起来时两球的电势为=2.7×102V2024RQqU4)111(101085.814.34100.121210（3）外球接地时，两球电势各为ABC习题8－4图d1d2习题8－5图q-qq+Q＝60V)(412101RqRqU)3111(101085.814.34100.1212101U02U8－6证明:两平行放置的无限大带电的平行平面金属板A和B相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同。如果两金属板的面积同为100cm2，带电量分别为QA=6×10－8C和QB=4×10－8C，略去边缘效应，求两个板的四个表面上的电面密度。证：设A板带电量为QA、两侧的电荷为q1、q2，B板板带电量为QB、两侧的电荷为q3、q4。由电荷守恒有（1）AQqq21（2）BQqq43在A板与B板内部取两场点，金属板内部的电场为零有，得（3）020122SqSq0220403SqSq04321qqqq，得（4）020122SqSq0220403SqSq04321qqqq联立上面4个方程得：,241BAQQqq232BAQQqq即相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同，本题得证。如果两金属板的面积同为100cm2，带电量分别为QA=6×10－8C和QB=4×10－8C，则5.0×10－6C/m2,844110101002)46(1.0×10-6C/m2843210101002)46(8－7半径为R的金属球离地面很远，并用细导线与地相联，在与球心相距离为D=3R处有一点电荷+q，试求金属球上的感应电荷。解：设金属球上的感应电荷为Q，金属球接地电势为零，即04400DQRq3RqqQD8－8一平行板电容器，两极板为相同的矩形，宽为a，长为b，间距为d，今将一厚度为t、宽度为a的金属板平行地向电容器内插入，略去边缘效应，求插入金属板后的电容量与金属板插入深度x的关系。解：设如图左边电容为C1，右边电容为C2tdbx习题8－8图q2AB习题8－6图q1q3q4qQD=3RR习题8－7图dxbaC)(01tdaxC02左右电容并联，总电容即金属板后的电容量与金属板插入深度x的关系，为dxbaCCC)(021tdax0=)(0tdtxbda8－9收音机里的可变电容器如图（a）所示，其中共有n块金属片，相邻两片的距离均为d，奇数片联在一起固定不动（叫定片）偶数片联在起而可一同转动（叫动片）每片的形状如图（b）所示。求当动片转到使两组片重叠部分的角度为时，电容器的电容。解：当动片转到使两组片重叠部分的角度为时，电容器的电容的有效面积为1802)(2122rrS360)(2122rr此结构相当有n-1的电容并联，总电容为＝dSnC0)1(drrn360)()1(212208－10半径都为a的两根平行长直导线相距为d（d>>a），（1）设两直导线每单位长度上分别带电十和一求两直导线的电势差；（2）求此导线组每单位长度的电容。解：（1）两直导线的电电场强度大小为rE022两直导线之间的电势差为rdrV0adardr0aadln0（2）求此导线组每单位长度的电容为=VCaadln08－11如图，C1=10F，C2=5F，C3=5F，求（1）AB间的电容；（2）在AB间加上100V电压时，求每个电容器上的电荷量和电压；（3）如果C1被击穿，问C3上的电荷量和电压各是多少？解：（1）AB间的电容为=3.75F；20155)(321213CCCCCCC（2）在AB间加上100V电压时，电路中的总电量就是C3电容器上的电荷量，为(a)(b)习题8－9图or习题8－10图CCVqq4631075.31001075.3VCCqVV2510151073.3642121VV75251003CVCq46111105.2251010CVCq462221025.125105（3）如果C1被击穿，C2短路，AB间的100V电压全加在C3上，即V3=100V，C3上的电荷量为CVCq46333100.51001058－12平行板电容器，两极间距离为l.5cm，外加电压39kV，若空气的击穿场强为30kV/cm，问此时电容器是否会被击穿？现将一厚度为0.3cm的玻璃插入电容器中与两板平行，若玻璃的相对介电常数为7，击穿场强为100kV/cm，问此时电容器是否会被击穿？结果与玻璃片的位置有无关系?解：（1）未加玻璃前，两极间的电场为cmkVcmkVE/30/265.139不会击穿（2）加玻璃后，两极间的电压为3973.02.1EEcmkVcmkVE/30/31空气部分会击穿，此后，玻璃中的电场为，玻璃部分也被击穿。结果与玻璃片的位置无关。cmkVcmkVE/100/1303.0398－13一平行板电容器极板面积为S，两板间距离为d,其间充以相对介电常数分别为r1、r2，的两种均匀电介质，每种介质各占一半体积，如图所示。若忽略边缘效应，求此电容器的电容。解：设如图左边电容为C1，右边电容为C2dSCr2/101dSCr2/202左右电容并联，总电容为21CCCdSr2/10dSr2/20)2(210rrdS8－14平行板电容器两极间充满某种介质，板间距d为2mm，电压600V，如果断开电源后抽出介质，则电压升高到1800V。求（1）电介质相对介电常数；（2）电介质上极化ABC1C3C2习题8－11图V习题8－12图r1r2习题8－13图电荷面密度；（3）极化电荷产生的场强。解：设电介质抽出前后电容分别为C与C/0022002253620050035550(1),1800,3600600(2)310/210(1)5.3110/1800(3),910/210910/310/610/rrrrSSCCQCUCUddSSUVUUddUVUVEVmdmDEECmUVEEEEVmdmEEEVmVmVm0022002253620050035550(1),1800,3600600(2)310/210(1)5.3110/1800(3),910/210910/310/610/rrrrSSCCQCUCUddSSUVUUddUVUVEVmdmDEECmUVEEEEVmdmEEEVmVmVm8－15圆柱形电容器是由半径为R1的导体圆柱和与它共轴的导体圆筒组成。圆筒的半径为R2，电容器的长度为L，其间充满相对介电常数为r的电介质，设沿轴线方向单位长度上圆柱的带电量为+，圆筒单位长度带电量为-，忽略边缘效应。求（1）电介质中的电位移和电场强度；（2）电介质极化电荷面密度。解：0110220122,22(1)(1),22rrrrrdsDrllDErrPDEPDERR取同轴圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得D8－16半径为R的金属球被一层外半径为R/的均匀电介质包裹着，设电介质的相对介电常数为r，金属球带电量为Q,求（1）介质层内外的电场强度；（2）介质层内外的电势；（3）金属球的电势。解：R1R/习题8－16图U1U2U0E1E212122121222000012100220021(1)4,44411(2)()444(3)rrRRrrRRQDdsDrQDDrDDQQEErrQQUEdlEdlrRRQUEdlrUEdlE取同心高斯球面，由介质的高斯定理得介质层内的电势介质层外的电势＝金属球的电势101011()44RRrQQdlRRR8－17球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳组成，球壳内半径为R2，其间有两层均匀电介质，分界面半径为r，电介质相对介电常数分别为r1、r2，如图所示。求（1）电容器的电容；（2）当内球带电量为+Q时各介质表面上的束缚电荷面密度。解：1221221212220102010221022011021211221221(1)4,4,441111()()444()(rrrrrRRrrrrrrrrQDdsDrQDDrDDQQEErrQQUEdlEdlrRRrRRrQCURRrRR取同心高斯球面，由介质的高斯定理得1110112211112342221222)11(1)(1),(1)44111(1),(1),(1)444rrrrrrQQDERRQQQrrR8－18一平行板电容器有两层介质（如图），r1＝4，r2＝2，厚度为d1=2.0mm，d2=3.0mm，极板面积S=40cm2，两极板间电压为200V。（1）求每层电介质中的能量密度；（2）计算电容器的总能量；（3）计算电容器的总电容。解：R1R2r习题8－17图习题8－18图02112210122121122223110101122232202022020112210102121/221(1)/43350,15011()1.110/,2211()2.210/22(2)rrrrerrerrrrrrSUQCddSUQCddUVUVUEJmdUEJmdSSCCddCSSCCd227002020111122100102121211222003.51022(3)21.7910rrrrWCUdSSCCddCFSSCCdd8－19平板电容器的极板面积S=300cm2两极板相距d1=3mm，在两极板间有一个与地绝缘的平行金属板，其面积与极板的相同，厚度d1=1mm。当电容器被充电到600V后，拆去电源，然后抽出金属板，问（1）电容器间电场强度是否变化；（2）抽出此板需作多少功?解：11531115322(1),6003.010/(31)103,21.56003.010/3102,22SSQCUUddddUVEVmddmSUSddQdUUUSddddUVEVmEdmQQWWCC00000未拆电源前，C=拆去电源并抽出金属板后，C=＝C所以电场强度没有发生变化。（）抽出前抽出金属板后所以抽出此板需要做22511()1111()1.21022SUddQWJSSCCddd000的功为＝（－）=8－20半径为R1=2.0cm的导体球，外套有一同心的导体球壳，球壳内外半径分别为R2=4.0cm、R3=5.0cm。球与壳之间是空气，壳外也是空气，当内球带电荷为Q=3.0×10-8C时，求（1）整个电场贮存的能量；（2）如果将导体球壳接地，计算贮存的能量，并由此求其电容。解：00222020224222500420(2)(24)40(45)(5)44,128881.821028eeeerQrrErQrrrdrdvrdrQdrdWdvEdvrQdrQdrWrrJQdrW（1）由高斯定理可得，＝取半径为，厚度为的球壳，其体积元为所以在此体积元内电场的能量为电场的总能量为＝＝（）如果导体壳接地则＝44220124201.01104.5104JrQQCFQdrUr＝＝