基本不等式：ab≤ab

工具第三章不等式基本不等式：ab≤ab工具第三章不等式工具第三章不等式1．探索并了解基本不等式的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程．2．能利用基本不等式证明简单不等式．3．熟练掌握基本不等式及变形应用．4．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ．工具第三章不等式1．本课难点是利用基本不等式证明不等式．2．利用基本不等式求最值是本课热点．3．多以选择题、填空题形式考查，偶以解答题形式考查．工具第三章不等式工具第三章不等式1．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－b)2 0，因此a2＋b2 2ab.什么时候等号能成立呢？当且仅当 时，取等号．2．把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么a并非物体的实际质量．不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b.那么如何合理地 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示物体的质量呢？≥≥a＝b工具第三章不等式简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以A＝eq\f(a＋b,2)表示物体的质量．这样的做法合理吗？工具第三章不等式1．基本不等式(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2 2ab，当且仅当 时，等号成立．(2)基本不等式①形式： ②成立的前提条件： ；③等号成立的条件：当且仅当 时取等号．≥a＝ba>0，b>0a＝beq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；工具第三章不等式 2．应用基本不等式求最值 如果x，y都是正数，那么 (1)若积xy是定值P，那么当 时，和x＋y有 (2)若和x＋y是定值S，那么当 时，积xy有 算术平均数几何平均数．x＝y最小值．x＝y最大值．④对任意两个正实数a、b，eq\f(a＋b,2)叫做a，b的，eq\r(ab)叫做a，b的工具第三章不等式1．不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是(　　)A．m＝1　　　　　　　　　B．m＝±1C．m＝－1D．m＝0解析：　m2＋1＝2m时，m＝1.故选A. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：　A工具第三章不等式答案：　B2．若x＞0，y＞0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　)A.eq\f(1,x＋y)≤eq\f(1,4)B.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥1C.eq\r(xy)≥2D.eq\f(1,xy)≥1解析：　若x＞0，y＞0，由x＋y＝4，得eq\f(x＋y,4)＝1，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,4)(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(y,x)＋\f(x,y)))≥eq\f(1,4)(2＋2)＝1.工具第三章不等式3．设a，b∈R，a＝3－b，则2a＋2b的最小值是________．解析：　2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2·eq\r(23)＝4eq\r(2)答案：　4eq\r(2)工具第三章不等式4．求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2).证明：　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(a2＋b2＋2ab,4)≤eq\f(a2＋b2＋a2＋b2,4)＝eq\f(a2＋b2,2)(当且仅当a＝b时“＝”成立)．工具第三章不等式工具第三章不等式利用基本不等式证明简单不等式已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8.工具第三章不等式不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又eq\f(1,a)－1＝eq\f(1－a,a)＝eq\f(b＋c,a)≥eq\f(2\r(bc),a)，可由此变形入手．工具第三章不等式[解题过程]　证明：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)－1＝eq\f(1－a,a)＝eq\f(b＋c,a)≥eq\f(2\r(bc),a)，同理eq\f(1,b)－1≥eq\f(2\r(ac),b)，eq\f(1,c)－1≥eq\f(2\r(ab),c).由上述三个不等式两边均为正，分别相乘eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥eq\f(2\r(bc),a)·eq\f(2\r(ac),b)·eq\f(2\r(ab),c)＝8.当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，等号成立．工具第三章不等式[题后感悟]　(1)多次使用a＋b≥2eq\r(ab)时，要注意等号能否成立．累加法是不等式性质的应用，也是证明不等式的一种常用方法．(2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运用基本不等式的条件．若条件中有一个多项式的和为1，要注意“1”代换．工具第三章不等式1．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：(1)a＋b＋c＞eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ac)；(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.证明：　(1)∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2eq\r(ab)＞0，b＋c≥2eq\r(bc)＞0，c＋a≥2eq\r(ca)＞0.∴2(a＋b＋c)≥2(eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca))，工具第三章不等式 (2)∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.即a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c＞eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).工具第三章不等式利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等”的原则创造条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式解之．(1)若x>0，求f(x)＝eq\f(12,x)＋3x的最小值．(2)已知x>2，求f(x)＝x＋eq\f(4,x－2)的最小值；(3)求函数y＝eq\f(x2＋8,x－1)(x>1)的最小值．工具第三章不等式[解题过程]　(1)因为x>0，由基本不等式，得f(x)＝eq\f(12,x)＋3x≥2eq\r(\f(12,x)·3x)＝2eq\r(36)＝12，当且仅当eq\f(12,x)＝3x，即x＝2时，f(x)取得最小值12.(2)∵x>2，∴x－2>0，∴f(x)＝x＋eq\f(4,x－2)＝x－2＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，工具第三章不等式当且仅当x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立．所以x＋eq\f(4,x－2)的最小值为6.(3)∵x>1，∴x－1>0.∴y＝eq\f(x2＋8,x－1)＝eq\f(x－12＋2x＋7,x－1)＝eq\f(x－12＋2x－1＋9,x－1)＝(x－1)＋eq\f(9,x－1)＋2工具第三章不等式≥2eq\r(x－1×\f(9,x－1))＋2＝8.当且仅当x－1＝eq\f(9,x－1)，即x＝4时取“＝”号．∴当x＝4时，y取得最小值8.工具第三章不等式[题后感悟]　(1)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判别式法等．工具第三章不等式2．(1)本例(1)中的条件“x＞0”改为“x＜0”，求f(x)＝eq\f(12,x)＋3x的最大值．(2)本例(2)中的条件“x＞2”改为“x＜2”，求f(x)＝x＋eq\f(4,x－2)的最大值．(3)求f(x)＝eq\f(x－1,x2＋8)(x＞1)的最大值．工具第三章不等式解析：　(1)因为x<0，所以－x>0，则f(－x)＝－f(x)＝eq\f(12,－x)＋(－3x)≥2eq\r(\f(12,－x)·－3x)＝2eq\r(36)＝12，即f(x)≤－12，当且仅当eq\f(12,－x)＝－3x，即x＝－2时，f(x)取得最大值－12.(2)∵x<2，∴2－x>0∴f(x)＝x＋eq\f(4,x－2)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－x＋\f(4,2－x)))＋2≤－2eq\r(2－x·\f(4,2－x))＋2＝－2.工具第三章不等式当且仅当2－x＝eq\f(4,2－x)，即x＝0时，x＋eq\f(4,x－2)取得最大值－2.(3)∵x>1，∴x－1>0∴f(x)＝eq\f(x－1,x2＋8)＝eq\f(1,\f(x2＋8,x－1))＝eq\f(1,x－1＋\f(9,x－1)＋2)∵(x－1)＋eq\f(9,x－1)＋2≥2eq\r(x－1·\f(9,x－1))＋2＝8当且仅当x－1＝eq\f(9,x－1)，即x＝4时，取“＝”号．∴eq\f(1,x－1＋\f(9,x－1)＋2)≤eq\f(1,8).当x＝4时，eq\f(x－1,x2＋8)取得最大值eq\f(1,8).工具第三章不等式已知正数x，y满足eq\f(8,x)＋eq\f(1,y)＝1，求x＋2y的最小值．由题目可获取以下主要信息：①x>0，y>0；②eq\f(8,x)＋eq\f(1,y)＝1；③求和的最小值．解答本题可构建某个积为定值，这需要对条件进行变形，然后利用基本不等式求解．工具第三章不等式[解题过程]　方法一：∵x>0，y>0，eq\f(8,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＋2y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝10＋eq\f(x,y)＋eq\f(16y,x)≥10＋2eq\r(\f(x,y)·\f(16y,x))＝18，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(1,y)＝1\f(x,y)＝\f(16y,x)))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝12y＝3))时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.工具第三章不等式方法二：∵x>0，y>0且eq\f(8,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴y＝eq\f(x,x－8)，∴由y>0，∴eq\f(x,x－8)>0，又x>0，∴x>8，则x＋2y＝x＋eq\f(2x,x－8)＝x＋eq\f(2x－8＋16,x－8)＝x＋2＋eq\f(16,x－8)＝(x－8)＋eq\f(16,x－8)＋10≥2eq\r(x－8·\f(16,x－8))＋10＝18，工具第三章不等式当且仅当x－8＝eq\f(16,x－8)，即x＝12(此时y＝3)时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.方法三：由eq\f(8,x)＋eq\f(1,y)＝1得(x－8)(y－1)＝8.∴x>8，y>1.而x＋2y＝x－8＋2(y－1)＋10≥2eq\r(x－8·2y－1)＋10＝2eq\r(16)＋10＝18.工具第三章不等式当且仅当x－8＝2(y－1)时，即x＝12，y＝3时上式取等号，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.[题后感悟]　在利用基本不等式求最值时，除注意“一正、二定、三相等”的条件外，最重要的是构建“定值”，恰当变形、合理拆分项或配凑项是常用的解题技巧．工具第三章不等式 3．设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．解析：　方法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝eq\f(2x,x－8)，∴x＋y＝x＋eq\f(2x,x－8)＝x＋eq\f(2x－16＋16,x－8)＝(x－8)＋eq\f(16,x－8)＋10≥2eq\r(x－8×\f(16,x－8))＋10＝18.工具第三章不等式当且仅当x－8＝eq\f(16,x－8)，即x＝12时，等号成立．∴x＋y的最小值是18.方法二：由2x＋8y－xy＝0及x＞0，y＞0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1.∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))＝eq\f(8y,x)＋eq\f(2x,y)＋10≥2eq\r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10＝18.当且仅当eq\f(8y,x)＝eq\f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立．∴x＋y的最小值是18.工具第三章不等式某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销售完．工具第三章不等式(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)工具第三章不等式[ 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 作答]　(1)由题意可设3－x＝eq\f(k,t＋1)，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－eq\f(2,t＋1).2分当年生产x万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x＋3＝32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,t＋1)))＋3.3分当销售x(万件)时，年销售收入为工具第三章不等式150%×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(32×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,t＋1)))＋3))＋eq\f(1,2)t4分由题意，生产x万件化妆品正好销售完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－年促销费，得年利润y＝eq\f(－t2＋98t＋35,2t＋1)(t≥0)6分(2)y＝eq\f(－t2＋98t＋35,2t＋1)＝50－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t＋1,2)＋\f(32,t＋1)))≤50－2eq\r(\f(t＋1,2)×\f(32,t＋1))＝50－2eq\r(16)＝42(万件)，10分当且仅当eq\f(t＋1,2)＝eq\f(32,t＋1)，即t＝7时，ymax＝42，11分∴当年促销费定在7万元时，年利润最大.12分工具第三章不等式[题后感悟]　不等式应用的特点是：(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收”等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．工具第三章不等式(2)在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：①先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；②建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④正确写出答案．工具第三章不等式(3)对于函数y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)，可以证明在x∈(0，eq\r(k)]及[－eq\r(k)，0)上均为减函数，在[eq\r(k)，＋∞)及(－∞，－eq\r(k)]上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±eq\r(k)可用基本不等式，不包含±eq\r(k)就用函数的单调性．工具第三章不等式 4．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解析：　设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨． 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1] ＝9x(x＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y1元，工具第三章不等式则y1＝eq\f(1,x)[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝9x＋eq\f(900,x)＋10809≥2eq\r(9x·\f(900,x))＋10809＝10989，当且仅当9x＝eq\f(900,x)，即x＝10时，等号成立．∴该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．工具第三章不等式 1．利用基本不等式求最值时，应注意的问题 (1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断． (2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值． (3)确保等号成立． 以上三个条件缺一不可．可概括为“一正、二定、三相等”． [特别提醒]　连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致．若不能同时取等号，则不能求出最值．工具第三章不等式2．应用基本不等式的常用技巧获得定值条件是应用基本不等式的难点和关键．常用的方法有：(1)拆项、添项、配凑此法常用在求分式型函数的最值中．如f(x)＝eq\f(x＋5x＋2,x＋1)＝eq\f(x2＋7x＋10,x＋1)＝eq\f(x＋12＋5x＋1＋4,x＋1)可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑．工具第三章不等式(2)常值代换这种方法常用于①“已知ax＋by＝m(a、b、x、y均为正数)，求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值．”②“已知eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1(a、b、x、y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．工具第三章不等式(3)构造不等式当和与积同时出现在同一个等式中时，可“利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围”．如“已知a，b为正数，a＋b＝ab－3，求ab的取值范围”．可构造出不等式2eq\r(ab)≤a＋b＝ab－3，即(eq\r(ab))2－2eq\r(ab)－3≥0.工具第三章不等式3．解不等式实际应用问题的思想方法工具第三章不等式◎已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值．【错解一】　∵x＋2y＝1，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))－1＝x＋2y＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2y＋\f(1,y)))－1≥2eq\r(x·\f(1,x))＋2eq\r(2y·\f(1,y))－1＝2＋2eq\r(2)－1＝1＋2eq\r(2).∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为1＋2eq\r(2).工具第三章不等式【错解二】　∵x＋2y＝1，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))×1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)≥2eq\r(2xy)·2eq\r(\f(1,xy))＝4eq\r(2)，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为4eq\r(2).【错因】　错解一：在求解过程中两次使用基本不等式，第一次是x＋eq\f(1,x)≥2，第二次是2y＋eq\f(1,y)≥2eq\r(2)，这两次中取“＝”号的条工具第三章不等式件不一样．第一次中取“＝”号的条件为x＝1，而第二次中取“＝”号的条件为y＝eq\f(\r(2),2)，此时x＋2y＝1＋eq\r(2)≠1，不符合已知条件，所以这两次使用基本不等式的结果相加后的“＝”号取不到．错解二：在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥2eq\r(2xy)，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(\f(1,xy))，同样这两次中取“＝”号的解分别为x＝2y与x＝y，这自相矛盾，所以两式相乘后“＝”号取不到．工具第三章不等式【正解】　∵x＋2y＝1，且x>0，y>0，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝1＋2＋eq\f(x,y)＋eq\f(2y,x)≥3＋2eq\r(2)，当且仅当eq\f(x,y)＝eq\f(2y,x)，即x2＝2y2时取“＝”号．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝1，,x2＝2y2，,x>0，y>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)－1，,y＝1－\f(\r(2),2).))即x＝eq\r(2)－1，y＝1－eq\f(\r(2),2)时，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)取最小值为3＋2eq\r(2).