诊断·基础知识突破·高频考点培养·解
题
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能力 第1讲 函数的概念及其
表
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示诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 [最新考纲] 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 知识梳理 1．函数的基本概念 (1)函数的定义 一般地，设A，B是两个数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.非空任意唯一诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的． (3)函数的三要素是：、和对应关系． (4)表示函数的常用方法有：、和图象法．定义域值域定义域值域解析法列表法诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 (5)分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．对应关系并集并集诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 2．函数定义域的求法f(x)≠0f(x)＞0诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 3．函数值域的求法(0，＋∞)[2，＋∞)(－∞，1)∪(1，＋∞)诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 辨析感悟 1．对函数概念的理解． (1)(教材习题改编)如图： 以x为自变量的函数的图象为②④. (√) (2)函数y＝1与y＝x0是同一函数． (×)诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 [感悟·提升] 1．一个方法 判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)． 2．三个防范 一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)； 二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)； 三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8).诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 考点一 求函数的定义域与值域诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力
答案
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(1)A (2){y|y≠1}诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 规律方法(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． (2)求函数的值域：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 答案 (1)(0,1] (2)(－∞，2)诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 考点二 分段函数及其应用诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 解析 (1)依题意，3＞0，得f(3)＝f(3－1)－f(3－2)＝f(2)－f(1)，又2＞0，所以f(2)＝f(2－1)－f(2－2)＝f(1)－f(0)；所以f(3)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)，又f(0)＝log2(4－0)＝2，所以f(3)＝－f(0)＝－2. (2)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1. 此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a， f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 规律方法(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力答案 D诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 考点三 求函数的解析式诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 规律方法求函数解析式常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 【训练3】(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，则f(x)＝________. (2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识． 2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域．诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 教你审题1——分段函数中求参数范围问题诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力(1)(2)诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 三审图形：观察y＝ax的图象总在y＝|f(x)|的下方，则当a＞0时，不合题意；当a＝0时，符合题意；当a＜0时，若x≤0，f(x)＝－x2＋2x≤0， 所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax， 即x2≥(a＋2)x，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2. 综上－2≤a≤0. 答案 D [反思感悟](1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力诊断·基础知识突破·高频考点培养·解题能力 解析 因为f(1)＝lg1＝0，所以由f(a)＋f(1)＝0得f(a)＝0.当a＞0时，f(a)＝lga＝0，所以a＝1. 当a≤0时，f(a)＝a＋3＝0，解得a＝－3.所以实数a的值为a＝1或a＝－3，选D. 答案 D
![[高三数学第一轮复习课件]函数的概念及其表示](https://swf.iask.com/he8EJrYDvX.jpg?ssig=g52Je3Lmh4&Expires=1720900515&KID=sina,ishare&range=0-171632)
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