附加应力扩散项的流体模型相图分析

第46卷第4期2008年7月吉林大学学报(理学版)JOURNALOFJILINUNIVERSITY(SCIENCEEDITION)Vo1．46No．4July2008附加应力扩散项的Johnson—Segalman流体模型相图 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 李松涛，张旭利，匿(吉林大学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 学院，长春130012)摘要：研究一类带附加应力扩散项的Johnson-Segalman模型，通过不变流形分析 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 以及同宿轨与异宿轨的研究，刻画了该模型的相空间结构，并证明了一类具有三井位势的Hamilton系统同宿轨和异宿轨的存在性．关键词：三井位势；同宿与异宿轨道；Johnson．Segalman流体模型中图分类号：0241．7文献标识码：A文章编号：1671．5489(2008)04-0613-05Phase--planeAnalysisofJohnson--SegalmanFluidModelwithReactionDiffusionLISong-lao，ZHANGXu．1i，匝面(CollegeofMathematics，JilinUniversity，Changchun130012，China)Abstract：Inthispaper，weconsideredaclassofJohnson-Segalman(JS)modelsinvolvingreactiondiffusion．Themodelisprsentedasnonlinearreactiondiffusionequations．Byvirtueofinvariantmanifoldsandstudyofhomoclinicandheteroclinicorbits，wedescribedthestructureofphaseplaneofJSmodelandgaveenlightenglobalresultsonhomoclinicandheteroclinicbifurcationinaHamihoniansystemwith3-wellspotentia1．Keywords：3-wellspotential；homoclinicandheteroclinicorbit；Johnson—Segalmanfluidmodel1引言考虑带附加应力扩散项的Johnson．Segalman模型(JS模型)¨，增加扩散项能够抑制稳态流的退化性质，该扩散项可从聚合物链在不均匀应力场的Brown运动中得到，也可由Fokker-Planck方程导m，文献[2，3]介绍了不同本构方程附加应力扩散项后所发生的现象．虽然扩散项在均匀流动中并不重要，但在非均匀区域扩散项的作用较大．近年，关于聚合物流体稳定性的研究已引起人们广泛兴趣]，由于进行稳定性分析可以了解聚合物流体的更多本构特征，因此，许多研究者对不同聚合物流体的稳定性进行了分析，如文献[10]在关于粘弹性剪切流体流动模型的研究中，对JS模型的本构方程进行了修正，即附加应力扩散项．扩散项既代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 聚合物在非均匀应力场中的Brown运动，又可以消除稳态流动的退化性．附加应力扩散项平行板问剪切流的JS模型为avt一。x=￡xj，{or一lor=(Z+1)一，(1·1)【z+：z一z，收稿日期：2007-08-28．作者简介：李松涛(1967～)，女，汉族，博士，教授，从事微分方程数值计算的研究，E—mail：stli@jlu．edu．an基金项目：国家863高技术研究发展计划项目基金(批准号：2007AA03Z218)．维普资讯http://www.cqvip.com614吉林大学学报(理学版)第46卷其中，。，>t0为扩散系数，如此修正的Js模型是一个以(，，Z)为未知函数的非线性反应扩散方程组．假设=常数)．本文假设。>0，：0，即仅考虑在应力分量方程中附加扩散项的情形，此时，式(1．1)变为[O,Vt一。：sxj，{一=(Z+1)一，(1．2)【z+：一z，其中，一1／2<戈≤0，>0，=。>0．而相应的定常问题为f+一fx，{一(Z+1)Vx=／．to-一，(1．3)【：一z．令T=+，将：(T一)／代入式(1．3)的后两式，可得似=一(Z+1)(T一~r)／e，Iz：一(一)／，其中，T=一fx，一1／2≤≤0可视为 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 ．将上述方程组的变量消去z并令：，则得如下二阶非线性常微分方程：拦=[一2+(+8+T)～]，它等价于下述一阶常微分方程组：’、一。。<<+。。，(1．4Ivf：；T，)，。、其中，or；，)=[一2To"+(++T)一]，(1．5)>0，T∈[0，f／2]视为参数．系统(1．4)是一个含有三井位势的非线性Hamilton系统．2含参数的Hamilton系统相图分析把系统(1．4)作为如下形式三次保守系统的特例进行研究：．dI{(2·)【“一P“+g，其中，P，g∈R为参数，“)=“一pu+g．由于方程“)=0有3个互异实根当且仅当lgl<~／4p／27，P>0．(2．2)因此，设p，g∈R是满足条件(2．2)的一对参数值，并将方程(u)=“一pu+g=0的实根记为一<。<瓦，此时系统(2．1)具有平衡点：(一，0)，(。，0)，(，0)．注意到()>0，f(go)<0，根据式(2．1)右端Jacobi矩阵的特征结构(于平衡点位置)容易判定：(瓦，0)属于鞍点，而(，0)属于中心点．定理2．1设p>0，q=0，f()=(-p)，则系统(2．1)存在一对异宿轨，它连接平衡点(一，0)和(，0)．证明：因为“)=“(“+)(“一)，故此时系统(2．1)的平衡点为：(一，0)，(0，0)，(，0)．将系统(2．1)改写为维普资讯http://www.cqvip.com第4期李松涛，等：附加应力扩散项的Johnson—Segalman流体模型相图分析615{ddu：=vd(t,一p)d，有vdv=“(“一P)du，积分后可得1=“(等一P)+c．(2．3)“I一L·3令c=p,／4，则方程(2．3)在(“，)平面上的图形为通过(一，0)和(，0)的一对抛物曲线，记为厂．厂与厂关于=0对称，显然厂为系统(2．1)的不变流形，即从其上任意点始发的积分轨道永远不离开该曲线．如果用代表厂位于(一，0)和(，0)之间的曲线段，则即为系统(2．1)的一对连接平衡点(一，0)和(，0)的异宿轨．推论2．1设“)=(“-p)(“一q)(“一r)，并且q=(P+r)／2，则相应的系统d“⋯，“存在一对连接平衡点(P，0)和(r,O)的异宿轨．事实上，只需经过“的平移变换，即可将“)=(“一P)(“一q)(“一r)转化为定理2．1所讨论的情形，故推论2．1成立．定理2．2假设0≠1q1<／^／4p。／27，P>0，则系统(2．1)存在一条惟一的同宿轨厂。，它以(瓦一，0)或(瓦，0)为极限点，并且在厂。内存在以(啊U，0)为中心的闭轨(周期解)．证明：在假设条件下，由前面所述知，系统(2．1)有3个互异的平衡点：(瓦一，0)，(瓦。，0)和(瓦，0)，一<啊U<瓦，并且(，0)是中心点，(，0)为鞍点．由文献[12]知，在(“，／3)平面上系统具有一族以(啊U，0)为中心的闭合轨道．此外，在每个鞍点(即(瓦一，0)或(瓦，0))处都有稳定和不稳定的流形(1维)各一条，记为：(1)，：(瓦，0)点的稳定与不稳定流形；(2)，：(瓦一，0)点的稳定与不稳定流形．下面先证明以(，0)为中心的所有闭合轨道均可以包围在(“，／3)平面的某个有界闭区域内；再证明上述闭合轨道族的极限是一条以(瓦一，0)或(瓦，0)为极限点的同宿轨．首先，给出两个推断依据：(1)系统的任意两条轨道(包括不变流形在内)，除了平衡点之外不能有交点(或切点)，这是由解的惟一性所确定的；(2)系统(2．1)的不变流形(包括，)是关于“轴对称分布的，如与以及，都是关于“轴对称的．根据(1)和(2)可以断定：任意一条以(，0)为中心的闭合轨道一定位于直线“=瓦一和“=之间．由于每条闭合轨道均与“轴上从瓦一到的线段相交于某一点，因此可以进一步断定：任何一条闭合轨道上方不能穿越，下方不能穿越．此外，由系统(2．1)右端向量场(13，“。一pu+q)如图1所示的特点，和在区间瓦一≤“≤上必为上、下方有界．综上可以断定：任意一条以(，0)为中心的闭合轨道一定包含在由平行直线“=瓦一和“=以及流形和所围成的有界闭区域内．下面讨论以(，0)为中心闭合轨道族的极限，一一l陋，O)＼＼：、、、—～—————_—————一—二二图1系统(2．1)的向量场Fig．1Vectorfieldofsystem(2．1)维普资讯http://www.cqvip.com616吉林大学学报(理学版)第46卷记作显然是一条闭合曲线并在前面所述的有界闭区域内，并且也是系统(2．1)的一个不变流形．这里，存在以下两种可能性：或者既通过平衡点(瓦一，0)并且也通过平衡点(瓦，0)；或者厂仅仅通过平衡点(瓦，0)中之一．对于前种情况，为一对异宿轨，而后种情况，是一条同宿轨．因此，只需排除厂属于前种情况即可．已知式(2．1)为一个Hamilton系统，其Hamilton函数为H(／Z，)=V2／2一F(“)，其中F(“)=[／4／4一pu／2+qu(f(“)的原函数)．沿式(2．1)的任意积分曲线(“(t)，(t))，成立：H((t)，(t))=常数，Vt(能量守恒)．因此，式(2．1)的任意不变流形均属于函数H(“，)的某一等值线．特别地，u属于H(“，)的等值线H(“，)=H(瓦一，0)．为了排除为异宿轨(连接(瓦，0))，只需证明H(，0)≠(一，0)，即F()≠，(瓦一)．对于系统(2．1)，F(“)=[／4／2一pu／2+qu，其中P>0．不难验证：当且仅当q=0时，F(一)=F(瓦)．由0≠g<,／4p／27知，不是异宿轨而是一条同宿轨，其极限点为平衡点(瓦一，0)和(，0)中之一，这取决于(-U，0)，(瓦一，0)和(，0)之间的相对位置．证毕．3应用讨论常微分系统(1．4)．由文献[13]可知，对于0<s<1／8，当T∈[3一(s)，3(s)]时，系统(1．4)有3个平衡点，记为(一，0)，(，0)，(，0)，并设一<<．当T>3(s)或T<3一(s)时，系统(1．4)只有一个平衡点，其中(8)=[1+20e一8e±~／1—24e+192e一512e]．下面研究第一种情形，即参数s，T满足条件：0<s<1／8，3一(s)<T<3(s)．此时，；T，s)=0有3个互异的实根．首先，易见函数_厂(；T，s)的拐点为=2r／3，只依赖于参数另外，当T=T(s)=38(1／2一s)时，=2T／3=，此时_厂(；T，s)=0的实根为。(s)=2√s(1一s)，(s)=2√s(1一s)±，显然，满足条件。(s)=(一(s)+(s))／2．于是，由推论2．1可以断定：当0<s<1／8，T=3~／s(1／2一s)时，系统(1．4)存在一对连接平衡点(一，0)和(，0)的异宿轨．对于另一情形：0<s<1／8，T∈[3一(s)，3(s)]但≠3s(1／2一s)，根据定理2．2可以断定：系统(1．4)存在惟一的一条以(。，0)或(，0)为极限点的同宿轨，综上，可证得如下定理：定理3．1设0<s<1／8，则(1)当T=3。(s)时，系统(1．4)有一对连接平衡点(，0)的异宿轨；(2)当T∈[3~／一(s)，3(s)]但T≠3。(s)时，系统(1，4)有惟一的一条同宿轨，它以(一，0)或(，0)为极限点，在其内部有一族以(，0)为中心的闭轨，其中。(s)=s(1／2一s)，满足一(s)<。(s)<(s)．下面给出具体算例．记Tm(s)=3一(s)，(s)=3(s)，T(s)=3。(s)．图2为在(s，T)参数平面上曲线T(s)，(s)和T(s)的位置，其中曲线T(s)代表同宿轨破裂转向异宿轨图2系统(1．4)的3条参数曲线(￡)，(￡)和(￡)Fig．2Curvesofthreeoar~eters(￡)，(￡)andT(￡)ofsystem(1．4)维普资讯http://www.cqvip.com第4期李松涛，等：附加应力扩散项的Johnson—Segalman流体模型相图分析617的分歧曲线．图3为当=0．05，T=T()=0．45时数值计算所得系统(1．4)的两条异宿轨．图4为当=0．05，T=0．5时计算所得系统(1．4)的同宿轨．图2～4的数值结果验证了定理3．1的结论．图3当s=0．05，T=0．45时系统(1．4)的异宿轨Fig．3Heteroclinicorbi~ofsystem(1．4)fors=0．05．T=0．45642卺0P一2—4-6O．1O2O30405图4当s=0．05，T=0．5时系统(1．4)的同宿轨Fig．4Homoclinicorbitsofsystem(1．4)fors=0．05．T=0．5参考文献[1]E1．KarehAW，LealLG．ExistenceofSolutionsforAllDeborahNumbersforaNon．NewtonianModelModifiedtoIncludeDiffusion[J]．JNon·NewtFluidMech，1989，33：257-287．[2][3][4][5][6][7][8][9][1O][11][12][13]Brunovsk~P，~evrovi6D．ExplanationofSpurtforaNon．NewtonianFluidbyaDiffusionTerm[J]．QuartJApplMath，1994(3)：401-426．SpenleyNA，YuanXF，CatesME．NonmonotonicConstitutiveLawsandtheFormationofShear·bandedFlows[J]．JPhysIIFrance，1996，6：551-571．PearsonJRA．Fl0WCurveswithaMaximum[J]．JRheol，1994，38(2)：309·331．OlmstedPD，GoldbartPM．Isotropic．nematicTransitioninShearFlow：StateSelection，Coexistence，PhaseTransi—tions，andCriticalBehavior[J]．PhysRevA，1992，46(8)：4966-4993．OlmstedPD，LuCYD．CoexistenceandPhaseSeparationinShearedComplexFluids[J]．PhysRevE，1997，56(1)：55-58．VinogradovGV，MalkinAY，YanovskiiY，eta1．ViscoelasticPropertiesandFlowofNarrowDistributionPolybutadi·enesandPolyisoprenes[J]．JPolymSciPartA，1972，10(6)：1061—1084．YerushalmiJ，KatzS，ShinnarR．TheStabilityofSomeSteadyShearFlowsofSomeViscoelasticFluids[J]．ChemEngSci，1970，25(12)：1891·1902．GeorgiOUGC．OntheStabilityoftheShearFlowofaViscoelasticFluidwithSlipalongtheFixedWall[J]．RheolActa，1996，35(1)：39-47．McLeishTCB．StabilityoftheInterfacebetween2DynamicPhasesinCapillaryFlowofLinearPolymerMelts[J]．JPolySciB：PolyPhys，1987，25(11)：2253-2264．王湘浩，谢邦杰．高等代数[M]．1964年修订版．北京：人民教育出版社，1987．王高雄，周之明，朱思铭，等．常微分方程[M]．2版．北京：高等教育出版社，1983：255—257．LISong·tao，HUANGMing·you，ANLi-jia．Phase·planeAnalysisandNumericalSchemeofShearFlowofJohnson—SegalmanFluid[J]．JournalofJilinUniversity：ScienceEdition，2002，40(4)：345-349．(李松涛，黄明游，安立佳．Johnson．Segalman流体剪切流动的相平面分析与数值模拟[J]．吉林大学学报：理学版，2002，40(4)：345．349．)维普资讯http://www.cqvip.com