《高数Ⅱ》教案

高等数学Ⅱ课程 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 （1） 课题 第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 使学生对（自由）向量有初步了解，掌握向量的线性运算、掌握向量的坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示式、掌握用坐标作向量的线性运算，理解方向余弦的概念，为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点 1.向量的概念2.向量的线性运算3.空间直角坐标系的概念4.利用坐标作向量的线性运算5.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学难点 向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学方式 研讨式 教学内容（板 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ） 演示与推导 时间 导入 1．回顾中学所学的向量概念及平面解析几何中数形结合的思想。2．本章内容的性质与目的 口述中学所述的向量概念，平面解析几何中数形结合的思想。口述。口述。 约6分钟 讲授新课讲授新课 一、向量的概念1．向量、自由向量。2．向量的表示方法有:、、、等等。3．向量相等：4．向量的模：5．向量的夹角：6．向量平行：或。向量垂直：。零向量与如何向量都平行或垂直7.向量共线与共面：终点与公共起点在一条线上或在一个平面上。二、向量的线性运算1.向量的加减法加法运算规定如下：（1）三角形法则：首尾相接。(2)平行四边形法则注：向量和b不平行时（3）向量的加法符合交换律和结合律（4）负向量：由此规定向量的减法：即把向理量和b移到同一起点，则从b的终点向的终点所引向量便是C3．向量与数的乘法：（1）定义（2）运算的性质（3）单位向量的表示（4）定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b＝（5）例1：三、空间直角坐标系通过坐标把空间的点、向量与一个有序数组一一对应起来。（向量的坐标分解式：，）四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影1．向量的模与两点间距离公式2.方向角与方向余弦3.向量在轴上的投影 由物理中的一些量引入向量及自由向量的概念围绕向量的两要素讲解与讨论结合推出向量相关概念及性质讨论物理上力的合成，推出两个加法法则。启发学生讨论向量加法的性质诱导学生得出负向量的概念，从而得到将减法变为加法来运算（这一事实可联想到计算机的运算），并推导出减法运算的几何表示。叙述数乘的概念，启发学生得到性质及单位向量的表示式。简要叙述定理的证明与学生讨论例题讲解，注意向量由 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 的平面上发展到空间中。简要叙述公式，启发式讲解例子启发并推导出向量的模与两点间距离公式的联系，方向角、方向余弦的定义及计算公式，叙术投影的概念，讲解例子 大约13分钟大约15分钟大约16分钟大约10分钟大约35分钟 小结 1.向量的概念2.向量的线性运算3.空间直角坐标系的概念4.利用坐标作向量的线性运算5.向量的模与方向余弦的坐标表示式 简要叙述 约5分钟 作业 教材P12习题8-1：4、14、15高等数学Ⅱ课程教案（2） 课题 第八章空间解析几何与向量代数第二节数量积向量积*混合积 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点 1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式2.向量平行、垂直的应用 教学难点 1.活学活用数量积、向量积的各种形式2.向量平行与垂直的相应结论 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 1．复习上节课内容；2．实例引入数量积概念引例：物理上：物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为其中为F与s的夹角。 1.复习回顾：向量的概念、向量的线性运算、空间直角坐标系的概念、利用坐标作向量的线性运算、向量的模与方向余弦的坐标表示式2.作图，讲解，归纳总结得出数量积的概念 约10分钟 讲授新课讲授新课 一、数量积：1.定义：，式中为向量a与b的夹角。2.投影表示式：当时，；当时，3.性质：Ⅰ.Ⅱ.两个非零向量a与b垂直的充分必要条件为：Ⅲ.交换律：Ⅳ.分配律：Ⅴ.结合律：EMBEDEquation.3为数4.坐标表示式：设，则两向量夹角可以由式求解5.两个例子二、向量积：1.实例：2.概念：3.性质：Ⅰ.Ⅱ.两个非零向量a与b平行a∥b的充分必要条件为：Ⅲ.Ⅳ.Ⅴ.为数4.几个等价公式：Ⅰ坐标表示式：设，则Ⅱ.行列式表示式：补充：表示以和为邻边的平行四边形的面积5.三个例子 叙述启发推导演绎推导启发式讲解例子作图讲解实例，导出向量积概念。启发，讨论，演绎推导出性质、公式启发，讲解例子 约40分钟约40分钟 小结 向量的数量积（结果是一个数量），向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、共面的条件）收敛数列的有界性； 简要叙述留时间让学生提问 约10分钟 作业 P22习题8-2：1、3、9高等数学Ⅱ课程教案（3） 课题 第八章空间解析几何与向量代数第三节曲面及其方程 教学准备 熟悉教案及讲稿，制作二次曲面的截痕法演示 ppt 关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt 教学目标 介绍各种常用的曲面及描绘二次曲面的截痕法，为学习重积分、线面积分打下基础。学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。 教学重点 1.曲面方程的概念2.球面方程3.旋转曲面的方程和柱面方程 教学难点 旋转曲面和二次曲面的截痕法 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 由日常生活中所见的各种曲面引入 口述 约10分钟 讲授新课讲授新课 一、曲面方程的概念1.实例：2.曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程（1）有下述关系：1）曲面上任一点的坐标都满足方程（1）2）不在曲面上的点的坐标都不满足方程（1）那么，方程（1）就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程（1）的图形。3．几种常见曲面的方程（1）球面例1-例2：（2）线段的垂直平分面（平面方程）例3-例4由上述例子，可知研究空间曲面有两个基本问题：（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。（讨论旋转曲面）（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状。（讨论柱面、二次曲面）二、旋转曲面1.定义：2.旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。例5-例6（1）双曲线分别绕轴和轴；绕轴旋转：绕轴旋转：（2）椭圆绕轴和轴；绕轴旋转：绕轴旋转：（3）抛物线绕轴；旋转抛物面三、柱面1．定义：2．特征：x，y，z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线平行于y轴的柱面，其准线为平面上的曲线。3.几个常用的柱面：a)圆柱面：（母线平行于z轴）b)抛物柱面：（母线平行于z轴）c)椭圆柱面：（母线平行于轴）d)双曲柱面：（母线平行于z轴）四、二次曲面1.定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应地平面被称为一次曲面．2.截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．（一）椭球面（二）抛物面1.椭圆抛物面：，（与同号）2.双曲抛物面（马鞍面）：，（与同号）（三）双曲面1.单叶双曲面2.双叶双曲面方程为 叙述与高中平面解析几何中的平面方程对应起来讲解曲面方程的定义通过例子说明几种常见曲面的方程启发总结得出结论一边演示一边叙述定义启发并推导出旋转曲面方程的求法，并举例说明推导几种常见的旋转曲面的方程叙述柱面定义，由定义启发学生导出特征介绍几个常用的柱面叙述定义叙述截痕法：用多媒体进行演示，并讲解，并总结各种图形规律特点，可以写出其它的方程表达式。 大约25分钟大约25分钟大约20分钟大约25分钟 小结 曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)，椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.（熟知这几个常见曲面的特性） 总结性简介 约5分钟 作业 P31习题8-3：2、5高等数学Ⅱ课程教案（4） 课题 第八章空间解析几何与向量代数第四节空间曲线及其方程 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 介绍空间曲线的各种表示形式，为重积分、曲面积分作准备的．让学生掌握各种常用立体的解析表达式，并会简单描图；让学生学会计算空间曲线在坐标面上的投影． 教学重点 1．空间曲线的一般表示形式2．空间曲线的参数方程3．空间曲线在坐标面上的投影 教学难点 空间曲线参数方程的建立 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 复习曲面及其方程 叙述曲面方程的概念，启发学生联想曲线与曲面的关系 约3分钟 讲授新课讲授新课 一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线．特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程．例1-例2二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数：当给定时，就得到曲线上的一个点，随着参数的变化可得到曲线上的全部点．例3三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的一般方程为（3）消去其中一个变量（例如z）得到方程（4）曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上．此柱面（垂直于平面）称为投影柱面，投影柱面与平面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为同理可以求出空间曲线在其它坐标面上的投影曲线．面上的投影曲线；面上的投影曲线在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线．例4、例5、例6： 启发学生，导出空间曲线的一般方程用例题作示范，让学生学会分析曲线的方程，导出曲线的图形叙述举例说明，曲线参数方程的导出，进一步阐述螺旋线的性质叙述启发学生同理推导通过例子示范，让学生掌握空间曲线在坐标面上的投影的求法 大约32分钟大约25分钟大约35分钟大约20分钟 小结 1．空间曲线的一般方程、参数方程：2．空间曲线在坐标面上的投影 简要回顾主要内容 约5分钟 作业 教材PP37习题8-4：3、6高等数学Ⅱ课程教案（5） 课题 第八章空间解析几何与向量代数第五节平面及其方程 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 让学生了解平面的各种表示方法，领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系． 教学重点 1．平面方程的求法2．两平面的夹角 教学难点 平面的几种表示及其应用 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 空间曲面方程的概念 与学生一起复习回顾空间曲面方程的概念 约3分钟 讲授新课讲授新课 一、平面的点法式方程1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量．平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直．2．平面的点法式方程此即平面的点法式方程．平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．例1－例2二、平面的一般方程由平面的点法式方程：，令得到任一平面都可以用三元一次方程来表示．平面的一般方程为：几个平面图形特点：1）D＝0：通过原点的平面．2）A＝0：法线向量垂直于轴，表示一个平行于轴的平面．同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于轴或轴的平面．3）A＝B＝0：方程为，法线向量，方程表示一个平行于面的平面．同理：和分别表示平行于面和面的平面．4）反之：任何的三元一次方程，都表示一个平面例３、例4、例5三．两平面的夹角定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角．设平面，，按照两向量夹角余弦公式有：几个常用的结论1)两平面垂直：（法向量垂直）2)两平面平行：（法向量平行）3)平面外一点到平面的距离公式：例3例7： 叙述概念启发并导出平面的点法式方程通过例题示范，怎样求平面的点法式方程启发诱导学生，由平面的点法式方程推导出平面的一般方程与平面解析几何中直线的点斜式方程对照由方程分析几个特殊的平面通过例题示范，怎样求平面的一般方程叙述定义启发推导两向量夹角余弦公式启发分析得到结论示范用公式求两平面的位置关系证明平面外一点到平面的距离公式 大约30分钟大约30分钟大约30分钟 小结 1.平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程．2.两平面的夹角以及点到平面的距离公式． 简要叙述 约7分钟 作业 教材P72P42习题8-5：3、6高等数学Ⅱ课程教案（6） 课题 第八章空间解析几何与向量代数第六节空间直线及其方程 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 让学生掌握直线方程的求法，及直线与直线、直线与平面的夹角的计算 教学重点 1．直线方程2．直线与平面的综合题 教学难点 直线与平面的综合题 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 1、复习空间曲线的一般方程2、复习平面的一般方程 口述 约5分钟 讲授新课讲授新课 一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线．故其一般方程为：二、空间直线的对称式方程与参数方程1、方向向量．2、对称式方程（或称为点向式方程）．3、参数方程三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程．例1－例2三、两直线的夹角1、两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角．2、两直线的夹角的计算公式两直线和垂直：两直线和平行：）例3—例4四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为．设直线的方向向量为，平面的法线向量为，直线与平面的夹角为，那么直线与平面垂直：s//n相当于直线与平面平行：sn相当于平面束方程：过平面直线的平面束方程为例5 由空间曲线的一般方程启发导出空间直线的一般方程由平面的点法式方程，启发学生仿此导出空间直线的对称式方程口述用例题说明直线方程的求法及三种形式的互换与空间两平面的夹角对照，启发学生仿此导出讲解、分析例子口述，直观画图，启发学生导出公式通过例子讲解公式的运用 约3分钟约42分钟约25分钟大约20分钟 小结 空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）． 约5分钟 作业 教材P49习题8-61、4高等数学Ⅱ课程教案（7） 课题 第八章空间解析几何与向量代数第八章小结与习题课 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 复习本章内容，讲解典型例题，让学生进一步掌握本章重要知识 教学重点 1．向量代数及空间解析几何的基本概念2．典型的综合题 教学难点 直线与平面的综合题 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 讲授新课讲授新课 一、向量的代数（一）向量的概念向量、向量的表示方法、向量相等、向量的模、向量的夹角、向量平行、向量垂直、向量共线与共面．（二）向量的线性运算1.向量的加减法2．向量与数的乘法：3、向量的坐标表示法4、利用坐标作向量的线性运算5、向量模长的坐标表示式6、向量方向余弦的坐标表示式（二）数量积：（三）向量积：二、空间解析几何（二）曲面方程的概念1.曲面方程的定义．2.研究空间曲面的两个基本问题：（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．3.旋转曲面4、柱面5.二次曲面（三）空间曲线（四）平面1.平面的点法式方程2.平面的一般方程3.几个平面图形特点：4平面的截距式方程5．两平面的夹角6.几个常用的结论1)两平面垂直2)两平面平行3)平面外一点到平面的距离公式（五）空间直线1.空间直线的一般方程2.空间直线的对称式方程参数方程3.两直线的夹角4.直线与平面的夹角二、典型例题例1试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边。（P50第5题）证明：略例2设，，，求。（P50第6题）解：略，。例3求通过点A（3，0，0）和B（0，0，1）且与面成角的平面方程。（P51第15题）解：略例4已知点A（1，0，0）及点B（0，2，1），试在轴上求一点C，使的面积最小。解：略，。（P51第18题） 提问式复习提问式复习分析、启发、讲解分析：由已知条件建立关于的方程，从而求之。分析：由A、B二点坐标的特点，设所求平面的方程为截距式方程分析：先设点C（0，0，），可用向量的向量积确定的面积，从而可得关于的函数，再用导数知识确定使的面积最小的。 大约30分钟大约30分钟约30分钟 小结 作业 课后自已将本章知识梳理一下。高等数学Ⅱ课程教案（8） 课题 第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 掌握平面点集的一系列概念，理解多元函数极限，了解连续的概念以及闭区域上连续函数的性质等。 教学重点 邻域、多元函数极限、连续等概念。 教学难点 多元函数极限的概念 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 回顾一元函数概念及所学过的一些函数性质；一元函数极限与连续的概念及性质。 很多实际问题有多个变量与一个变量的依赖关系，即多元函数。 约10分钟 讲授新课讲授新课 一、区域1、邻域EMBEDEquation.32、区域相关概念：内点、边界、有界点集、无界点集、连通性。连通的的开集称为区域或开区域．开区域连同它的边界一起称为闭区域．3、n维空间设为取定的一个自然数，称元数组的全体为维空间，记为。二、多元函数概念定义1（或）.例1：求的定义域．二元函数的图形点集。三、多元函数的极限定义2（或）例2（P58例4）例3（P59例5）四、多元函数的连续性定义3例4讨论函数在(0,0)处的连续性．五、闭区域上连续函数的性质1．最值性2．介值性3．一致连续性六、多元初等函数连续性1、多元初等函数由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数．2．多元初等函数连续性一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．例5（P62例8） 1、可简记为2。、点的去心邻域记为，例如为开无界区域。为有界闭区域。前述的邻域、区域等相关概念可推广到n维空间。由定义1类似地可定义三元及三元以上函数；当时，元函数统称为多元函数；多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念．如：线性函数的图形为一平面。注意定义中的方式是任意的；定义中的极限也叫二重极限；二元函数的极限运算法则与一元函数类似．。若二元函数在区域D内的每一点连续，则称函数在区域D内连续；如果在点处不连续，则称是函数的间断点.求一般地，求时，如果是初等函数，且是定义域的内点，则在点处连续，于是定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 大约20分钟大约20分钟大约20分钟大约20分钟 小结 多元函数的定义；多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）；多元函数连续的概念；闭区域上连续函数的性质． 约10分钟 作业 教材P62习题9-1：2，5(1)（2）(5)高等数学Ⅱ课程教案（9） 课题 第九章多元函数微分法及其应用第二节偏导数 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 掌握偏导数的定义、偏导数存在与连续的关系、偏导数的几何意义以及高阶偏导数及其计算方法等。 教学重点 偏导数的定义及其计算方法 教学难点 高阶偏导数的计算 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 一元函数的微分法及其计算。 回顾一元函数的微分法及其计算。 约10分钟 讲授新课讲授新课 一、偏导数的定义及其计算方法1、定义==例1（P65）例2（P65）例3（P65）例4（P65）4、偏导数的几何意义（图见P66）.3、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导，函数在该点一定连续，但多元函数中在某点偏导数存在，函数未必连续．例如（P67例）二、高阶偏导数偏导函数，的偏导数是的二阶偏导数．定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例5（P67）问题：混合偏导数都相等吗？问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？定理如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续，则在区域D内有=．例6（P67）验证函数满足拉普拉斯方程例7（P68）证明函数满足方程，其中。 强调偏导数的各种记号的书写偏导数的概念可以推广到二元以上函数．偏导数是一个整体记号，不能拆分．二阶偏导数有下面四个：纯偏导混合偏导。设由定义可计算0==1例6、例7中的两个方程都叫做拉普拉斯方程，它们是数学物理方程中一种重要的方程。 大约25分钟大约15分钟大约20分钟大约20分钟 小结 偏导数的定义（偏增量比的极限）；偏导数的计算、偏导数的几何意义；高阶偏导数：纯偏导，混合偏导及其混合偏导相等的条件． 约10分钟 作业 教材P69习题9-2：1(1)(3)(7)，3，8．高等数学Ⅱ课程教案（10） 课题 第九章多元函数微分法及其应用第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 通过教学使学生理解全微分的概念；掌握全微分应用；掌握多元复合函数的求导法则及其应用。 教学重点 全微分的概念及多元复合函数的求导法则的应用 教学难点 多元复合函数的求导法则的应用 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 回顾一元函数微分的概念及表示法。 约10分钟 讲授新课讲授新课 第三节全微分及其应用一、全微分的定义定义1（P70全增量的概念）定义2（P70全微分的概念）定义3连续与可微的关系二、可微的条件定理1（必要条件）　定理2（充分条件）习惯上，记全微分为例1（P25）例2（P25）例3（P25）多元函数连续、偏导数存在、可微的关系偏导数连续的函数一定可微；可微一定存在偏导数；可微一定连续；其它则未必．第四节多元复合函数的求导法则一、求导法则定理1：．定理2：，.特殊地:，其中,即则例1（P79）例2（P79例3）例3设，具有二阶连续偏导数，求和.二、全微分形式不变性设函数具有连续偏导数，则有全微分;当、时，有.全微分形式不变形的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.例4已知，求和. 函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.如果函数在点可微分,则函数在该点连续.（P71）由此定理1及P71例可知，偏导数存在是可微的必要条件，而不是充分条件．即：可微则偏导数存在，但偏导数存在未必可微．虽然偏导数存在并不能保证全微分存在，但偏导数存在且连续由一定能保证全微分存在。习惯上，记全微分为．通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况。说明：1)上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.2)以上公式中的导数称为全导数.3)上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况。注意：把复合函数中的看作不变而对的偏导数；而把中的及看作不变而对的偏导数；和的区别与上面相同． 大约20分钟大约20分钟大约20分钟大约10分钟大约10分钟 小结 1．多元函数全微分的概念；2．多元函数全微分的求法；3．多元函数连续、偏导数存在、可微的关系；4．全微分形式不变性。 约10分钟 作业 教材P75习题9-3：1（1）（2），2，4；教材P82习题9-4：2，5，11。高等数学Ⅱ课程教案（11） 课题 第九章多元函数微分法及其应用第五节隐函数的求导公式 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 了解隐函数求导公式的推导；掌握隐函数求导公式的应用 教学重点 隐函数求导公式的应用 教学难点 隐函数求导公式的应用 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 约10分钟 讲授新课讲授新课 一、一个方程的情形隐函数存在定理1.例1：（P84）例2：已知，求.隐函数存在定理2，.例3（P85例2）例4设，求，，.二、方程组的情形隐函数存在定理3例5：设，，求，，和.解1：直接代入公式；解2：运用公式推导的方法。例6（P88例4） 若的二阶偏导数存在且连续，则可得二阶导数。二法求解。思路：把看成的函数对求偏导数得，把看成的函数对求偏导数得，把看成的函数对求偏导数得.提醒学生注意各函数得列式的特点。 大约15分钟大约30分钟大约20分钟大约15分钟 小结 隐函数的求导法则（分以下几种情况）：；；3．． 约10分钟 作业 教材P89习题9-5：2，4，10（2）。高等数学Ⅱ课程教案（12） 课题 第九章多元函数微分法及其应用第六节多元函数微分学的几何上应用 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 掌握微分法在几何上的应用 教学重点 微分法在几何上的应用 教学难点 微分法在几何上的应用 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 口述：一元函数的导数在几何上有应用，同样多元函数微分学在几何上也有应用。 约10分钟 讲授新课讲授新课 一、一元向量值函数及其导数定义1（一元向量值函数）（P90）定义2（一元向量值函数的极限）（P91）定义3（一元向量值函数的连续）（P91）定义4（一元向量值函数的导数）（P91）向量值函数的求导法则（P92）（1）——（7）例1（P93例3）二、空间曲线的切线与法平面空间曲线的方程则切线方程：法平面方程：．例2（P94例4）例3（P96例5）解1：直接利用公式；解2：方程两边对求导三、曲面的切平面与法线设曲面方程为，则过点的切平面方程为：+过点的法线方程为特殊地：曲面的方程为，则曲面在Ｍ处的切平面方程为：曲面在M处的法线方程为．全微分的几何意义：（P99）法向量的方向余弦：若用、、表曲面的法向量的方向角，并假设法向量的方向是向上的，即它与轴的正向所成的角是一锐角，则法向量的的方向余弦为，，例4（P99）例5（P99） 由定义1、定义2、定义3可知，一元向量值函数、极限、连续性和可导性是普通一元函数、极限、连续性和可导性的推广。特殊地：（1）空间曲线方程为　则切线方程为：，法平面方程为：（2）空间曲线方程为则切线方程为：法平面方程为：+ 大约20分钟大约20分钟大约20分钟大约20分钟 小结 1．一元向量值函数、连续性以及导数的概念；2．空间曲线的切线与法平面；3．曲面的切平面与法线。 约10分钟 作业 教材P100习题9-6：3，4，6。高等数学Ⅱ课程教案（13） 课题 第九章多元函数微分法及其应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 掌握方向导数与梯度的概念及其计算，了解多元函数的极值的概念，掌握多元函数的极值的求法。 教学重点 多元函数的极值的概念及其求法 教学难点 多元函数的极值的求法 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 口述：我们知道，偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，但有时我们还需讨论函数沿任一指定的变化率。 约10分钟 讲授新课讲授新课 第七节方向导数与梯度一、方向导数定义：定理（方向导数与偏导数的关系）（P102）例1（P102）例2（P103）二、梯度与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度．定义：EMBEDEquation.3.结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．等高线．梯度与等高线的关系例3（P106）例4（P107例5）第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值和最值1．二元函数极值的定义例1（P109）例2（P109）2．多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意：极值点为驻点；驻点不一定是极值点．定理2（充分条件）例3（P111例4）3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法：将函数在Ｄ内的所有驻点处的函数值及在Ｄ的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.例4（P112例5）二、条件极值、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（P115）要找函数在附加条件下的可能极值点．例5将正数12分成三个正数之和使得为最大.例6在第一卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标. 函数在一点P沿某一方向的变化率问题．方向导数可推广到三元函数上。问题：函数在点沿哪一方向增加的速度最快？推广该定理可推广。问题：如何判定一个驻点是否为极值点？由此定理归纳出求函数极值的一般步骤（三步）无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.条件极值：对自变量有附加条件的极值．拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 大约20分钟大约20分钟大约20分钟大约20分钟 小结 方向导数的概念、梯度的概念，方向导数与梯度的关系梯度的方向就是函数在这点增长最快的方向。多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）；多元函数的最值；拉格朗日乘数法。 约10分钟 作业 教材P108习题9-7：1，5，8；教材P118习题9-8：2，6。高等数学Ⅱ课程教案（14） 课题 第十章重积分第一节二重积分的概念与性质 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 理解二重积分的概念，了解二重积分的性质 教学重点 二重积分的概念及性质 教学难点 二重积分的概念 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 回顾定积分的概念及性质 口述定积分的定义，口述定积分的四类性质。 约10分钟 讲授新课讲授新课 一、二重积分的概念1．实例（1）曲顶柱体的体积（四个步骤）（2）平面薄片的质量（四个步骤）2．二重积分的定义（四个步骤）=二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质1．线性性＝＋其中:是常数．2．积分区域的可加性若区域分为两个部分区域与,则＝＋。3．＝,为区域的面积。4．单调性若在上，,则有不等式：特别地，由于，有：．5．估值不等式设与分别是在闭区域上最大值和最小值，是的面积，则．6．二重积分的中值定理设函数在闭区域上连续，是的面积,则在上至少存在一点，使得例1估计二重积分的值,是圆域．例2比较积分与的大小．其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0)． 两种实际意义完全不同的问题，最终都归结同一形式的极限问题．二重积分的几何意义结论：若在闭区域上连续，则在上的二重积分存在．几何意义：高为的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积．说明等式两边的与、的关系。以后可作为公式用。利用二重积分的性质解决利用二重积分的性质解决 大约30分钟大约30分钟大约10分钟 小结 二重积分的定义可按四步进行，二重积分的性质也可主要分为四类。 约10分钟 作业 教材P136习题10-1：4（1）（3），5（1）。高等数学Ⅱ课程教案（15） 课题 第十章重积分第二节二重积分的计算法 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 掌握二重积分在直角坐标系下计算方法 教学重点 二重积分在直角坐标系下计算方法 教学难点 将二重积分化为二次积分 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 复习回顾二重积分的定义与性质 二重积分的计算如按定义计算其计算量是相当大，是不可取的，那么二重积分的计算该如何进行？ 约10分钟 讲授新课讲授新课 一、利用直角坐标计算二重积分1．如果积分区域D为：，时，则；例1计算，其中。2．若积分区域D为X－型：，，其中函数、在上连续．则　　．3．若积分区域D为Y－型：，，其中函数、其中函数在上连续．则．例2计算，其中D是由直线、及所围成的闭区域。例3计算，其中D是由直线、及所围成的闭区域。例4计算，其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域。例4求两个半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法X－型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点．Y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点．如果积分区域既不是X型区域，又不是Y型区域，则可把D分成几部分，使每个部分是X型区域或是Y型区域，每部分上的二重积分求得后，根据二重积分对于积分区域具有可加性，它们的和就是在D上的二重积分．注意：在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序．这时，即要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性．先用两种积分次序进行计算，归纳总结：在计算时，应先画出区域的图形，再根据区域的形状选择恰当的二次积分的次序，可简化计算量。先让学生在纸上准确地画出区域的图形，根据区域的形状选择恰当的二次积分的次序。师生共同完成。引导学生应注意，这是一个文字题，应首先建立二圆柱面的方程，再求之。 大约15分钟大约25分钟大约40分钟 小结 二重积分在直角坐标系下的计算，计算时一定要正确地化为二次积分。 约10分钟 作业 教材P153习题9-21，2（2）(4)，4。高等数学Ⅱ课程教案（16） 课题 第十章重积分第二节二重积分的计算法（续） 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 掌握二重积分在极坐标系下的计算方法 教学重点 二重积分在极坐标系下的计算方法 教学难点 将二重积分化为二次积分 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 复习回顾二重积分在直角坐标系下的计算方法，定积分有换元法，二重积分又如何？ 约10分钟 讲授新课讲授新课 二、利用极坐标计算二重积分在直角坐标系中引入极坐标系，使极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，则同一点P，直角坐标为P(x,y)，极坐标为P(r,)，其关系为：　　(作图说明)这就是极坐标替换公式．将直角坐标系中的二重积分，化为极坐标系的二重积分，其中区域D如图．首先作极坐标替换：．积分区域D在极坐标系中是区域D/：．被积函数在极坐标系中是．面积微元在极坐标系中是（简要说明）．从而得二重积分极坐标替换公式：极坐标系下的二重积分的计算也是化为累次积分，如何将极坐标系下的二重积分化为累次积分，现分别讨论之：1)若极点Ｏ不在积分区域D的内部，则．2)若极点O在积分区域D的内部，如图（P108）设D的边界曲线在极坐标下的方程是：．则．例5计算，其中D是由中心在原点、半径为R的圆周所围成的闭区域。例6求球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。例7把化为极坐标形式，再计算。 复习直角坐标与极坐标的关系。求二重积分与定积分类似，二重积分经过一个适当的换元也能简化计算．在极坐标系中当r＝常数(r0)时，是以原点为心的圆；当＝常数()时，是从原点出发的射线．有些区域在直角坐标系中用x,y的二元不等式来表示很繁，而用极坐标系的不等式表示却很简单．如（1）以原点为心以Ｒ为半径的圆域在直角坐标系中，在极坐标系中；（2）以原点为心分别以a与b(0<a<b)为半径的环域在直角坐标系中，在极坐标系中；（3）以为心以为半径的圆域在直角坐标系中，在极坐标系中；（4）以为心以为半径的圆域在直角坐标系中，在极坐标系中。一般来说，计算时，当被积函数含有“”或围成积分区域的边界曲线方程含有“”时，可考虑使用极坐标替换．此题为被积函数与围成积分区域的边界曲线方程都含有“”，故考虑用极坐标替换．引导学生思考。先由二次积分所表示的二重积分的积分区域正确的描述出来，再行替换． 大约30分钟大约20分钟大约30分钟 小结 二重积分在计算极坐标下的计算，计算时一定要正确地化为二次积分。 约10分钟 作业 教材P153习题9-211，12，14。高等数学Ⅱ课程教案（17） 课题 第九章重积分第三节三重积分 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法 教学重点 三重积分的概念及其计算法 教学难点 三重积分化为三次积分 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 复习回顾二重积分的定义与性质。 与二重积分的定义类似，可定义三重积分，而三重积分也有与二重积分类似的性质。 约10分钟 讲授新课讲授新课 一、三重积分的概念定义==二、三重积分的计算1．利用直角坐计算三重积分（1）若，则；例1计算，其中。（2）若在面上的投影区域为，过上任意一点，作平行于轴的直线穿过内部，与边界曲面相交不多于两点．亦即，的边界曲面可分为上、下两片部分曲面．：，：其中，在上连续，并且．，若，则三重积分可化为如下三次积分：．这就是三重积分的计算公式，它将三重积分化成先对积分变量，次对,最后对的三次积分．例2（P159例1）计算三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分，即所谓截面法．有下述计算公式．设空间闭区域，其中是竖标为z的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则有：．例3（P160）　 定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分若函数在闭区域上连续，则三重积分存在．特别指出：二重积分的一些术语、性质可相应地移植到三重积分上．如果表示某物体在处的质量密度，是该物体所占有的空间区域，且在上连续，则该物体的质量为．特别地,当时，的体积．如果平行于x轴或y轴且穿过闭区域内部的直线与的边界曲面S相交不多于两点，也可把闭区域投影到yoz面上或xoz面上，这样便可把三重积分化为按其他顺序的三次积分．如果平行于坐标轴且穿过闭区域内部的直线与边界曲面S的交点多于两个，可仿照二重积分计算中所采用的方法，将分成若干个部分，(如)，使在上的三重积分化为各部分区域()上的三重积分之和,当然各部分区域()应适合对区域的要求．先正确作出的图形，确定积分次序，最后按积分次序将作投影。此例若化成三次积分计算比较困难。 大约15分钟大约25分钟大约20分钟大约20分钟 小结 介绍了三重积分的定义，按四个步骤进行，同时介绍了三重积分的计算方法，即化三重积分为三次积分。 约10分钟 作业 教材P1164习题10-3：1（2）（3），5。高等数学Ⅱ课程教案（18） 课题 第九章重积分第三节三重积分（续） 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 掌握三重积分的柱面坐标和球面坐标替换公式，能用它们作三重积分的计算。 教学重点 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 教学难点 利用球面坐标计算三重积分 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 复习回顾二重积分计算的极坐标替换。 与二重积分类似，三重积分的计算也有两种具体的换元。 约10分钟 讲授新课讲授新课 2．利用柱面坐标计算三重积分在空间直角坐标系中的一点，将点M投影到平面上，设投影点P的极坐标（极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合）是P()，平面上的极坐标系再加上z轴就是柱面坐标系．显然同一点M的直角坐标与柱面坐标M(,z)之间的关系式是：，z=z．这就是柱面坐标替换公式．计算方法与二重积分的极坐标方法一样．计算三重积分　　．作柱面坐标替换：，z=z．则替换后的体积微元为：．（用微元法简单说明）则=其中等式左边的体用直角坐标表示，右边的体用柱面坐标表示．在柱面坐标系中三重积分化成累次积分时，安置积分限的方法见下面之例（一般先z再r后）．例4（P161例3）3．利用球面坐标计算三重积分同一点M的直角坐标M(x,y,z)与球面坐标M(r,,)之间的关系式是这就是球面坐标替换公式．　　计算三重积分　．作球面坐标替换：，，，则体积微元为：．（用微元法说明）故=其中等式左边的体Ｖ用直角坐标表示，右边的体Ｖ用球面坐标表示．在球面坐标系中三重积分化成累次积分时，安置积分限的方法见下面之例（一般先r再后）．例5（P163例4） 在柱面坐标中三个坐标面：当=常数()时，是以z轴为中心轴的圆柱面；当=常数()时，是从z轴出发的半平面；当=常数()时，是与xy平面平行的平面．柱面坐标系的一点M(,z)恰是这三个坐标面的交点．因为柱面坐标系的三个坐标面中有一个是圆柱面，所以称为柱面坐标系．有些曲面在直角坐标系下表示式较繁，但在柱面坐标系下表示式却比较简单．例如圆柱面，在直角坐标系下表示为：，，而在柱面坐标系下表示为：．显然，前者繁，后者简．因此，将某些三重积分放在柱面坐标系中进行计算就能使计算简化一般来说，围成体的曲面方程或被积函数含有“”或“”可考虑使用柱面坐标替换．在球面坐标系中三个坐标面是：当r＝常数(r0)时，是以原点为心以r为半径的球面；当＝常数()时，是以原点为顶点以z轴为中心轴半顶角为的圆锥面；当＝常数()时，是从z轴出发与xz坐标面的夹角是的半平面．球面坐标系中的一点P(r,,)恰是这三个坐标面的交点．因为球面坐标系的三个坐标面有一个是球面，所以称为球面坐标系．有些曲面在直角坐标下表示式较繁，但在球面坐标下表示式却比较简单．例如以原点为心以a为半径的球面,在直角坐标下表示为,而在球面坐标下表示为.显然，前者繁后者简．一般来说，围成体Ｖ的曲面方程或在被积函数含有“”或“”，可考虑使用球面坐标替换． 大约40分钟大约40分钟 小结 柱面坐标和球面坐标的替换公式，一定注意具有什么样特点的三重积分利用柱面坐标和球面坐标作计算较易。 约10分钟 作业 教材P164习题10-3：9（1），10（1）。高等数学Ⅱ课程教案（19） 课题 第十章重积分第四节重积分的应用 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 掌握重积分在几何与物理方面的一些简单应用 教学重点 重积分在几何与物理方面的一些简单应用 教学难点 将几何与物理方面的问题转化为重积分 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 复习回顾重积分的计算方法，定积分可在几何与物理方面的一些应用，而重积分呢？ 与定积分类似，二重积分也可解决一些实际问题。 约10分钟 讲授新课讲授新课 一、曲面的面积设曲面由方程给出，为曲面在面上的投影区域，函数在上具有连续偏导数和，则曲面S的面积或例1（P167）例2（P168）二、质心设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度,假定在上连续,则该薄片的质心坐标为，例3（P171）三、转动惯量设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,则该薄片对于轴、轴的转动惯量分别为，例4（P172例5）四、引力（P173——P174）例5（P174例7） 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中．若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．这个称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为．若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有或如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则，其中为区域D的面积十分显然，这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定，因此，习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心．平面薄片的质心坐标可推广到空间物体的质心坐标。（P171） 大约20分钟大约20分钟大约20分钟大约20分钟 小结 介绍了二重积分在以下四个方面的简单应用：曲面的面积、平面薄片的重心、转动惯量、引力 约10分钟 作业 教材P175习题10-4：2，4（3），9（2）。高等数学Ⅱ课程教案（20） 课题 第十章重积分第十章小结与习题课 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 复习本章内容，讲解典型例题，让学生进一步掌握本章重要知识 教学重点 掌握重积分化为累次积分 教学难点 重积分化为累次积分 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 讲授新课讲授新课 一、本章小结（一）二重和三重积分的概念及性质概念及性质与定积分类似（二）二重积分的计算法1．利用直角坐标计算2．利用极坐标计算（三）三重积分的计算法1．利用直角坐标计算2．利用柱面坐标计算3．利用球面坐标计算（四）重积分的应用1．立体的体积2．曲面的面积3．质心（重心）坐标4．转动惯量5．引力二、典型例题例1计算，其中是圆周所围成的闭区域。P182。2（3）题解：略。例2交换二次积分的次序。P182。3（3）题解：略。＋例3设在闭区域上连续，且，求。P182。6题解：略。例4计算，其中是两个球面和的公共部分。P183。8（1）题解：略。 与学生一起复习回顾，并强调注之处。用极坐标计算，但应注意换元后的符号。先确定由二次积分所对应的二重积分的积分区域，再改变积分次序。只需注意到二重积分的结果是常数，这时令，求出A即可。法一：利用直角坐标计算，采用“先重后单”的积分次序。法二：利用球面坐标计算，作锥面。 大约40分钟大约60分钟 小结 作业 课后自已将本章知识梳理一下。高等数学Ⅱ课程教案（21） 课题 第十一章曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 1．理解对弧长的曲线积分的定义2．了解对弧长的曲线积分的性质3．掌握对弧长的曲线积分的计算方法 教学重点 对弧长的曲线积分的计算 教学难点 对弧长的曲线积分的定义 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 上节介绍了多元函数的重积分的概念（四步进行）及其计算方法。 多元函数的积分除重积分外，还有其它形式的积分。 约10分钟 讲授新课讲授新课 一、对弧长的曲线积分的概念与性质1．概念与性质（对弧长的曲线积分也称为第二型曲线积分）定义设为面内的一条光滑曲线弧，函数在上有界，在上任意插入若干个分点把分成个小段：，并用表示第个小段的长度，．令．任取，，作和式．如果不论对曲线弧怎样划分，也不论在小段上点怎样选取，只要当时，的极限总存在，则称此极限为函数在上对弧长的曲线积分或第一型曲线积分，记为．即＝．其中称为被积函数，称为积分弧段．2．性质性质：与二重积分的性质相类似二、第一型曲线积分的计算定理设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为　　．其中在上具有一阶连续导数,且,则曲线积分存在,且注意：若：，，则＝若：，则＝例1（P189）例2（P189）例3求．其中C： 问题的提出（平面非均匀弯曲构件的质量问题）：设质量分布在平面一条可求长的曲线L上，它的线密度函数为，求曲线的质量．应用“分割、代替、求和、取极限”方法：．说明：1)当为线密度时，表示平面非均匀弯曲构件的质量．2）若L为闭曲线时，则在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为；3)上定义可推广到到积分弧段为空间曲线弧的情形．即若在曲线弧L上对弧长的曲线积分＝．(简要说明)．P154（参数方程法化为定积分计算）公式曲线积分的计算公式，但在转化为定积分时，积分下限一定小于积分上限；公式可推广三元函数在空间曲线上的曲线积分的计算．可用两种方法求解。 大约30分钟大约10分钟大约20分钟大约20分钟 小结 1．对弧长的曲线积分的定义——四个步骤进行2．对弧长的曲线积分的计算——参数方程法化为定积分计算 约10分钟 作业 教材P190习题11-1：3（1）（3）（5）。高等数学Ⅱ课程教案（22） 课题 第十一章曲线积分与曲面积分第二节对坐标的曲线积分 教学准备 熟悉教案及讲稿 教学目标 1．理解对坐标的曲线积分的定义2．了解对坐标的曲线积分的性质3．掌握对坐标的曲线积分的计算。 教学重点 对坐标的曲线积分的计算方法 教学难点 对坐标的曲线积分的定义 教学方式 研讨式 教学内容（板书） 演示与推导 时间 导入 上节学习了对弧长的曲线积分的定义、性质以及其计算方法。 由对弧长的曲线积分的定义、性质可知，对弧长的曲线积分的特点是与曲线的方向无关，有另一种曲线积分与曲线的方向有关。 约10分钟 讲授新课讲授新课 一、对坐标的曲线积分的概念（也称为第二型曲线积分）定义＝．其中称为被积函数，称为积分弧段．类似地＝．2．性质(1)如果把L分成L1和L2，则EMBEDEquation.3＋；(2)设L是有向曲线弧，－L是与L方向相反的有向曲线弧，则＝-。（即第二型曲线积分与方向有关）二、第二型曲线积分的计算法定理设在有向曲线弧上连续，的参数方程为，当参数单调地由变到时，动点从的起点沿运动到终点．在以，为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且＝。（2）2．两类曲线积分之间的联系：设有向平面曲线弧为，上点处的切向量的方向角为，则．其中，．可以推广到空间曲线上．例1（P196）例2（P197）例3（P197）例4（P198） 问题：变力沿曲线所作的功在面内，质点在力的作用下，从点沿光滑曲线弧移动到点，其中函数在上连续，求该变力对质点所作的功．　有＝．说明：1）为简便起见，常将下式合并起来，即＋＝；2）由上定义可知：变力所