单元质量评估二(第二章)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)11．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝log(1－x)(x≤－1)的值域为N，则∁M∩N1－x22R等于()A．{x|x>1}B．ØC．{y|y≥1或y≤－1}D．{x|x≥1}解析：可求得集合M＝{x|－1
121＋x214A.B.213925C．－D.541113解析：∵f()＝|－1|－2＝－，2221314∴f(f())＝f(－)＝＝.223131＋－22答案：B3．(2011·福建龙岩模拟)已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为()1A．－eB．－e1C.D．ee解析：由y＝f(x)与y＝ex互为反函数，得f(x)＝lnx(x>0)，因为y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，故有g(x)＝－lnx(x>0)，g(a)＝1⇒lna＝－1，1∴a＝.e答案：C4．若函数f(x)＝log(x＋b)的图象如下图，其中a，b为常数．则函数g(x)＝ax＋b的大致a图象是()解析：由f(x)＝log(x＋b)为减函数可得00，∴a≤0.故选D.3x2答案：Dπ10．将函数y＝f′(x)sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)4是()A．2sinxB．cosx[来源:学科网]C．sinxD．2cosxπππ解析：y＝1－2sin2x＝cos2x，向右平移个单位得cos2(x－)＝cos(2x－)＝sin2x＝4422cosx·sinx，故f′(x)＝2cosx，∴f(x)＝2sinx，故选A.答案：A11．(2010·湖北调研)已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)＝axg(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；③f(x)g′(x)>f′(x)g(x)．f1f－15若＋＝，则a等于()g1g－1251A.B.421C．2D．2或2fx解析：记h(x)＝＝ax，gxf′xgx－fxg′x则有h′(x)＝<0，g2x即axlna<0，故lna<0,00，a≠1)在区间(－，0)上单调递增，则a的取值范围是a2()13A．[，1)B．[，1)4499C．(，＋∞)D．(1，)[来源:学#科#网Z#X#X#K]44解析：设u(x)＝x3－ax，由复合函数的单调性，可分01两种情况讨论：1①当01时，u(x)＝x3－ax在(－，0)上单调递增，21即u′(x)＝3x2－a≥0在(－，0)上恒成立，2∴a≤0，∴a无解，3综上，可知≤a<1，故选B.[来源:学科网ZXXK]4答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．若函数f(x)＝ax2＋x＋1的值域为R，则函数g(x)＝x2＋ax＋1的值域为________．解析：要使f(x)的值域为R，必有a＝0，于是g(x)＝x2＋1，值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)f4114．若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()＝________.f224α解析：设f(x)＝xα，则有＝3，解得2α＝3，α＝log3，2α2111∴f()＝()log3＝2－log3＝.222231答案：3115．(2011·济南模拟)已知a＝π(sint＋cost)dt，则(x－)6的展开式中的常数项为________．ax0解析：a＝π(sint＋cost)dt＝(sint－cost)|π00＝(sinπ－cosπ)－(sin0－cos0)＝2，11所以(x－)6的展开式的通项为T＝Crx6－r(－)r＝(－1)r2－rCrx6－2r，令6－2r＝0，得raxr＋162x65＝3，故常数项为(－1)32－3C3＝－.625答案：－22x，－2≤x<016．设函数f(x)＝，若f(x)为奇函数，则当0－1)．2(2)由(1)得y＝g(f(x))＝log(－2x2＋4x＋1)是由y＝logt和t＝－2x2＋4x＋1复合而成的函22数，而y＝logt在定义域上单调递增，要使函数y＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，必须t＝2－2x2＋4x＋1在区间[1，m)上单调递减，且有t>0恒成立．2±6由t＝0得x＝，2又t的图象的对称轴为x＝1.2＋6所以满足条件的m的取值范围为10)，方程可转化为t2－5t＋6＝0，解得t＝2或t＝3，由3x＝2得x＝log2，由3x＝3得x＝1，3故原方程的解为1，log2.3(2)令3x＝t(t>0)．方程可转化为t2＋mt＋6＝0①要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根．当方程①没有实数根时，需Δ＝m2－24<0，解得－26－26.19．(12分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明：∵f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，令a＝－b，得f(0)＝f(a)＋f(－a)；令a＝b＝0，得f(0)＝2f(0)，[来源:Z&xx&k.Com]∴f(0)＝0.∴f(a)＋f(－a)＝0(a∈R)．∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(2)解：设x0)，x＋111－x则g′(x)＝－＝<0在(0，＋∞)上恒成立，x＋12x＋1x＋12∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴g(x)0)．e(1)若曲线y＝f(x)在x＝处的切线斜率为3e，求a的值；a1(2)求f(x)在[，e]上的最小值．ea解：(1)∵f′(x)＝2xln(ax)＋x2·＝x[2ln(ax)＋1]，axeee∴3e＝f′()＝[2ln(a·)＋1]，∴a＝1.aaa(2)由题知x>0，f′(x)＝x[2ln(ax)＋1]，1令f′(x)＝0，则2ln(ax)＋1＝0，得x＝，ae11①当a≥1时，≤.aee1当x∈[，e]时，f′(x)≥0，e1∴f(x)在[，e]上是增函数，e11a11∴[f(x)]＝f()＝ln＝(lna－)；[来源:学科网]mineeee2111②当0，ae111∴f(x)在[，]上是减函数，在[，e]上为增函数，eaeae1111∴[f(x)]＝f()＝ln＝－；minaea2ee2a2e11③当0，且当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．[来源:学&科&4网Z&X&X&K]解：(1)当a＝1时，对函数f(x)求导数，得f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，解得x＝－1，1x＝3.2列表讨论f(x)，f′(x)的变化情况：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋极大极小f(x)值6值－26所以，f(x)的极大值是f(－1)＝6，极小值是f(3)＝－26.(2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x＝a对称．1若1，则|f′(a)|＝12a2>12a.故当x∈[1,4a]时|f′(x)|≤12a不恒成立．14所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是(，]．45
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