微专题1 三角形中的范围与最值问题微专题1 三角形中的范围与最值问题 题型一 三角形中角或角的三角函数值的最值例1 在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,则角B的最大值为 .
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
解析 由角A,B,C的对边a,b,c成等差数列得a+c=2b.由余弦定理得cosB= = = ≥ .又B∈(0,π),则B∈ ,即角B的最大值是 .【
方法
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归纳】 求三角形中角的最值,一般先求角的某一三角函数值,通常取余弦、正切等,若已知边的关系,利用余弦定理建立目标函数.1-1 在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等比数列,则角B的最大值为 .答案 解析 由角A,B,C的对边a,b,c成等比数列得ac=b2.由余弦定理得cosB= = ≥ .又B∈(0,π),则B∈ ,即角B的最大值为 .1-2 若△ABC的内角满足sinA+ sinB=2sinC,则cosC的最小值是 .答案 解析 sinA+ sinB=2sinC,由正弦定理得a+ b=2c.由余弦定理得cosC= = = ≥ ,当且仅当a= b时取等号,故cosC的最小值是 .1-3 在△ABC中,已知tanA=3tanB,则A-B的最大值为 .答案 解析 tan(A-B)= = = ≤ = ,当且仅当tanB= ,B= 时取等号.又A,B都是锐角,则- <A-B< ,故A-B的最大值是 .题型二 三角形中面积的最值或取值范围例2 在△ABC中,AB=2,AC= BC,则△ABC面积的最大值为 .答案 2 解析 以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC= BC,得(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2],化简得(x-3)2+y2=8,即为点C的轨迹方程,当C(3,±2 )时,△ABC的面积取得最大值为2 .【方法归纳】 已知三角形的一条边长(即三角形有两个顶点固定)、与第三个顶点有关的条件,求相关的最值问题时,通常利用轨迹思想可以简化运算,即建立适当的直角坐标系,求出第三个顶点的轨迹方程,再结合轨迹的特征直接求解最值或建立目标函数,根据函数的特征选择基本不等式、导数等方法求解最值.2-1 在△ABC中,已知AB=2,AC2-BC2=6,则tanC的最大值是 .答案 解析 以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC2-BC2=6得(x+1)2+y2-(x-1)2-y2=6,化简得x= ,即点C的轨迹方程是x= (y≠0).不妨设y>0,直线与x轴的交点为D,∠ACD=α,∠BCD=β,则tanC=tan(α-β)= = ≤ = ,当且仅当y= 时取等号,故tanC的最大值是 .2-2 (2018江苏淮阴中学阶段检测)在△ABC中,AC=2,AB=mBC(m>1),若恰好当∠B= 时△ABC面积最大,则m= .解析 答案 2+ 以AC所在的直线为x轴,AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(-1,0),C(1,0).设B(x,y),y>0,由AB=mBC(m>1)得(x+1)2+y2=m2[(x-1)2+y2],化简得x2+y2- x+1=0,即 +y2= .设直线x= 与x轴的交点为D,∠ABD=α,∠CBD=β,则△ABC的面积最大时,B ,此时∠ABC= ,即α-β=,tanα= =m,tanβ= = ,则tan(α-β)= = ,化简得m2-2 m-1=0,又m>1,解得m=2+ .例3 已知△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=2,A= ,求△ABC面积的取值范围.解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,则4=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c时取等号,则△ABC的面积S= bcsinA≤ ×4× = ,故△ABC面积的取值范围是(0, ].【方法归纳】 已知三角形的一边和它的对角,求三角形面积的最值或取值范围一般有两种方法:一是利用余弦定理和基本不等式,结合三角形面积公式求解,二是利用正弦定理和三角形面积公式建立三角形的面积关于某个角的三角函数,再结合三角函数的图象求解最值或取值范围.若对三角形加上一点限制条件,如“锐角三角形”,则选择方法二.3-1 如图所示,已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的一个动点,以DC为边作等边△PCD,且点D与圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的最大值.解析 设∠POB=θ,θ∈(0,π),四边形OPDC的△OPC中,由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OP·OCcosθ=5-4cosθ.∴S=S△OPC+S△PCD= ×1×2sinθ+ (5-4cosθ)=2sin + ,∴当θ- = ,即θ= 时,Smax=2+ .3-2 (2018江苏如皋调研)在△ABC中,| + |=| - |.(1)求角C的大小;(2)若CD⊥AB,垂足为D,且CD=4,求△ABC面积的最小值.解析 (1)由| + |=| - |,两边平方| + |2=| - |2,即( + )2=( - )2,得 · =0,即 ⊥ ,所以C= .(2)在Rt△ADC中,AC= = ,在Rt△BDC中,BC= = ,又A∈ ,所以sinB=sin =cosA,所以S△ABC= AC·BC= · · = = .由A∈ 得2A∈(0,π),故sin2A∈(0,1],当且仅当A= 时,(sin2A)max=1,从而(S△ABC)min=16.题型三 三角形中代数式的取值范围或最值答案 (1,2)例4 在△ABC中,若A=2C,则 的取值范围是 .解析 由A=2C得sinA=sin2C=2sinCcosC,且C∈ ,则 = =2cosC∈(1,2).4-1 在锐角△ABC中,若A=2C,则 的取值范围是 .答案 ( , )解析 由A=2C得sinA=sin2C=2sinCcosC.由锐角△ABC得 解得C∈ , ,则 = =2cosC∈( , ).4-2 (2018江苏海安高级中学月考)在△ABC中,角A,B,C的对边依次为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足c2-b2=ab,则 - +2sinC的取值范围是 .答案 ,3 解析 c2=b2+ab=a2+b2-2abcosC,化简得b=a-2bcosC,则sinB=sinA-2sinBcosC,sinB=sin(B+C)-2sinBcosC,化简得sinB=sin(C-B),即在锐角三角形中,C=2B,则 解得 <B< ,则 <C< ,则 <sinC<1,则 - +2sinC= +2sinC= +2sinC,则所求取值范围是 ,3 .1.已知△ABC的周长为16,且BC=6,则 · 的取值范围是 .答案 [7,16)解析 以BC所在的直线为x轴,BC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则B(-3,0),C(3,0).设A(x,y),y≠0,由AB+AC=10结合椭圆定义得点A的轨迹是椭圆,轨迹方程为 + =1,y≠0,则x∈(-5,5), · =(-3-x,-y)·(3-x,-y)=x2-9+y2= x2+7∈[7,16).2.在锐角三角形ABC中,c=asinB,则sinC的最大值是 .答案 解析 由c=asinB得tanA+tanB=tanAtanB.因为tanC=-tan(A+B)= = =1+ ,又tanA+tanB=tanAtanB≥2 ,所以tanAtanB≥4,所以tanC≤ ,所以sinC的最大值是 .3.(2018江苏南京、盐城模拟)若不等式ksin2B+sinAsinC>19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为 .答案 100解析 结合原不等式,由正弦定理可得kb2+ac>19bc,则k> max.因为a+b>c,所以 < =- 2+ +19=- -9 2+100≤100,当 =9时取等号,则k≥100,即k的最小值为100.4.(2018江苏苏州期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sinB+sinC=msinA(m∈R),且a2-4bc=0.(1)当a=2,m= 时,求b,c的值;(2)若角A为锐角,求实数m的取值范围.解析 (1)由题意得b+c=ma,a2-4bc=0.当a=2,m= 时,b+c= ,bc=1,解得 或 (2)cosA= = = =2m2-3.因为角A为锐角,所以cosA=2m2-3∈(0,1),所以 <m2<2.由b+c=ma可得m>0,所以 <m< .5.(2018江苏高考预测)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cosA=acosC.(1)求角A的大小;(2)若y=cos2 +cos2 -1,求y的取值范围.解析 (1)∵ = = ,(2b-c)cosA=acosC,∴(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC,∴2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC.即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C).又A+C=π-B,∴sin(A+C)=sinB,∴2sinBcosA=sinB.∵B∈ ,∴sinB≠0,∴cosA= .又A∈ ,∴A= .(2)B+C= ,∴C= -B.∴y=cos2 +cos2 -1= + -1= = = = sin .又△ABC是锐角三角形,得 -B< ,∴B∈ , ,∴B+ ∈ , ,∴ <sin ≤1,∴y的取值范围是 .
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