数列题型及解题方法归纳总结

知识 框架 财政支出绩效评价指标框架幼儿园园本课程框架学校德育工作框架世界古代史知识框架质量保证体系框架图 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。⑴递推式为an+i=3+d及an+i=qan(d，q为常数)例1、?已知｛an｝满足an+i=an+2，而且ai=1。求an。例1、解？tan+i-an=2为常数•••｛an｝是首项为1，公差为2的等差数列/•an=1+2(n-1)即an=2n-1把n-1个等式累加得•an=2•3n-1-1⑷递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)TOC\o"1-5"\h\z22bn・1-bn(bn-bn/)由上题的解法，得：0=3-2(—)"33an%3(孑一2(孑2n23(5)递推式为an.2二pan1qan思路：设an.2=pan1qan,可以变形为：an.2-:an.^■■■(and-:an),1例2、已知｛an｝满足an1an，而a1=2，求an=?2(2)递推式为一亦上an+f(n)P11例3、已知｛an｝中a1，a*1=a*2，求an.・：｛g｝是以2为育顿，公比为f的等比数列T1由已知可知解:an丄(1'(打:T)(2n-1)22n-1令n=1，2，…,(n-1)，代入得(n-1)个等式累加，即(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)★ 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ？只要和f(1)+f(2)+•••+f(n-1)是可求的，就可以由an+1=an+f(n)以n=1，2，…，(n-1)代入，可得n-1个等式累加而求an。⑶递推式为an+1=pan+q(p,q为常数an。就是包曲=(a+B-clPan,则可从于是｛an+1-aan｝是公比为3的等比数列，就转化为前面的类型。21(6)递推式为S与an的关系式(2)试用n表示an。关系;Si计-Sn例4、｛an｝中，a1=1，对于n>1(n€N有an=3an」2，求an.丄2n解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3(an-an-1)因此数列｛an+1-an｝是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=(3X1+2)-1=4•an+1-an=4•3n-1•/an+1=3an+2?•3an+2-an=4•3n-1即an=2•3n-1-1解法二：上法得｛an+1-an｝是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=4-3，a4-a3=4•3，…,an-an-1=4•3，an，1-an-an1?n~11an1—an2上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则｛2nan｝是公差为2的等差数列。•••2nan=2+(n-1)•2=2n数列求和的常用 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 :2、若等差数列fa,的首项內：：：0，公差d•0,则前n项和Sn有最小值1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。(i)若已知通项an，则Sn最小二an汕；an1_0'2、错项相减法：适用于差比数列(如果等差，等比，那么:anbn/叫做差比数列)2q(ii)若已知Snpn•qn,则当n取最靠近的非零自然数时2pSn最即把每一项都乘以tbnl的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。小;数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。⑵已知Sn(即a1a2an=f(n))求an,用作差「恳•石(其中曲等差)a二：S,(n"an-S-Sn_1,(n一2)已知chLa^^an='f(1),(n=1)f(n)求an,用作商法：an二f(n)可裂项为：一an'an41d(丄-亠,danan1等差数列前n项和的最值问题：⑶已知条件中既有Sn还有an，有时先求Sn,⑷若a**-a*=f(n)求anan=(an—an」)•(and—and)•丨I,@2-印)a1(n_2)。a41⑸已知'f(n)求an,用累乘法：anz■E)，(n-2)°再求an；用有时也可直接求累anan—1anan-1an_2an。邑a1(n一2)。印1、若等差数列^n?的首项a10，公差d：：：0，则前n项和Sn有最大值。⑹已知递推关系求an，用构造法(构造等差、等比数列)(i)若已知通项an，则Sn最大二an_0；ani0特别地，(1)形如a^kan^b、a.=kanJbn(k,b为常数)的递(ii)若已知Sn2q^nqn，则当n取最靠近肓的非零自然数时Sn最推数列都可以用待定系数法转化为公比为如an=ka2•kn的递推数列都可以除以大;an。k的等比数列后，再求an；形kn得到一个等差数列后，再求1、公式法2、由Sn求an3、求差(商)法1解：n=1时，—a^215,-a1=142［ 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 ］4、叠乘法形如an也的递推数列都可以用倒数法求通项。kanJL+b形如ani=ank的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。(8)当遇到an1-an」二d或加=q时，分奇数项偶数项讨论，结果可anA.丄；②11(1n1n(nk)kvn111122(k2k2-12k-1111<—<=k2(k-1)kk-111①n(n1)(k1)k1[(n1)!n!(n1)!=2(4_百)能是分段形式数列求和的常用方法：公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法).错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n和公式的推导方法).裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：nk忙)1k④n(n1)(n2)2'n(n1)(n1)(n2)'⑥2(1-：；■n)：-—2::1：：27n+Vn+1UnUn+Vn—1、解题方法:求数列通项公式的常用方法:解：a2a3an1•2n-1an1解：—?・•—a1a2an」23na1n5、等差型递推公式［练习］6、等比型递推公式［练习］7、倒数法2.数列求和问题的方法、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。+3+5+……+(2n-1)=n2【例8】求数列1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),…前n项的和。一1解？本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=n(n■1)2个奇数，12•••最后一个奇数为：1+［—n(n+1)-1］x2=n+n-12因此所求数列的前n项的和为、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例9】求和S=1•(n2-1)+2•(n2-22)+3•(n2-32)+…+n(n2-n2)一23333解？S=n(1+2+3+…+n)-(1+2+3+…+n)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例10、求和：Sn-3C1■6Cn^Jl|■3nC：例10、解s^=0*C°+3Cn+6C"^||+3nCnn、错位相减法目加’且运用C：=可得如果一个数列是由-一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例11、求数列1,3x,5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和.解？设Sn=1+3+5x+…+(2n-1)x-.???①x=0时，Sn=1.当xm0且xm1时，在式①两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn,②①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn.⑸裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：1111例12、求和——1*53*75*9(2n—1)(2n+3)1些宦裁剩下的正项与注：负项一样多。:在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪在掌握常见题型的解法的同时-也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。'(2n-l)(2n+3)4^2n-l2口+3八二、常用数学思想方法1•函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】?等差数列｛an｝的首项a>0,前n项的和为S，若S=S(Imk)问n为何值时Sn最大？此函数以n为自变量的二次函数a1>0?Si=S(lmk),「.dv0故此二次函数的图像开口向下当"一厂时fGO最大，f(n)中，ti€N.二当1+k为偶数时，n=--时以最大。•-f(I)=f(k).方程思想【例14】设等比数列｛an｝前n项和为S,若S3+S6=2S9,求数列的公比q。分析？本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解•••依题意可知qM1。■如果q=1，则S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。•/qM1整理得？q3(2q6-q3-1)=0?•/qM0此题还可以作如下思考：S6=Ss+qS3=(1+q3)SsoS9=Ss+qS6=S3(1+q3+q6),•••由S3+S5=2S9可得2+q3=2(1+q'+q6),2q6+^=0•.换元思想..［例J15］?'已知a,b,c.是不为1的正数，x,y,z€R+,且求证：a,b,c顺次成等比数列。证明？依题意令ax=by=cz=kx=1ogak,y=logbk,z=logck2b=ac•a,b,c成等比数列(a,b,c均不为0)数学5(必修)第二章：数列一、选择题数列：an［的通项公式an二1,则该数列的前()项之和等于9。Jn+Jn+1A.98B.99C.96D.97在等差数列匕匚中，若S4=1吕=4，则a仃"18'a19■a20的值为()A.9B.12C.16D.17在等比数列Qn［中，若a2=6，且a5-2a4-a3•12=0，贝Uan为()A.6B.6(T)n—2C.62心D.6或6(-1)心或62“二、填空题1-已知数列"令匚中，3=-1,an.1an=an^an,则数列通项TOC\o"1-5"\h\zan=。2•已知数列的Sn=n2+n+1，贝V+ag+aw+a12=。•三个不同的实数a,b,c成等差数列，且a,c,b成等比数列，则a:b:c二。三、解答题1•已知数列Sn•的前n项和Sn=32n，求an数列020n」0厶厶lg1000,lg(1000cos60),lg(1000cos60),...lg(1000cos60)，…的前多少项和为最大？已知数列｛an｝的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n(n€N.)求数列｛an｝的通项公式an;若数列｛bn｝满足bn=log2(an+2),Tn为数列｛—^｝的前n项和，求an+2证Tn>b2