江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试数学试题及解析

江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试数学试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 2021．2一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．若为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为A．2B．C．D．﹣22．已知 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 的定义域为集合M，函数y＝sinx的值域为N，则MN＝A．B．(﹣2，1]C．[﹣1，1)D．[﹣1，1]3．函数在其定义域上的图象大致为4．一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次．学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是A．甲B．乙C．丙D．丁5．化简sin2(﹣)﹣sin2(＋)可得A．cos(2＋)B．﹣sin(2＋)C．cos(2﹣)D．sin(2﹣)6．某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2列联表．则根据列联表可知A．有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系C．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系D．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系参考公式：独立性检验统计量，其中．下面的临界值表供参考：P()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8287．设F1，F2分别为双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点，圆F1与双曲线的渐近线相切，过F2与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角的正切值为A．B．C．D．18．已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝2，BC＝4，AC与平面ABD所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为A．2B．3C．4D．5二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列关于向量，，的运算，一定成立的有A．B．C．D．10．下列选项中，关于x的不等式ax2＋(a﹣1)x﹣2＞0有实数解的充分不必要条件的有A．a＝0B．a≥﹣3＋2C．a＞0D．a≤﹣3﹣211．已知函数，则下列说法正确的是A．函数是偶函数B．函数是奇函数C．函数在(，0]上为增函数D．函数的值域为[1，)12．回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数．若正整数i与n满足2≤i≤n且n≥4，在[，]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Pi，在[10，]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Qn，则A．＜(2≤i≤n﹣1)B．＜C．＞D．＜1三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若函数为偶函数，则的一个值为．（写出一个即可）14．的展开式中有理项的个数为．15．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线与在第一象限的交点为A，若OA的斜率为2，则＝．16．罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C：的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C围成的图形的面积S2（选填“＞”、“＜”或“＝”），曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）设正项数列的前n项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝B＋3C．（1）求sinC的取值范围；（2）若c＝6b，求sinC的值．19．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，DF⊥EF，EF＝2CD＝2．（1）若DF＝2，求二面角A－CE－F的正弦值；（2）若平面ACF⊥平面BCE，求DF的长．20．（本小题满分12分）某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀．竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81．假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布N(71，81)．（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10，11，…，99)，若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？参考数据：若Z~N(，)，则P(﹣＜Z＜＋)≈0.68．21．（本小题满分12分）设F为椭圆C：的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点．（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；（2）设直线AF，BF的斜率分别为，(≠0)，求证：为定值．22．（本小题满分12分）设函数(a＞1)．（1）求证：有极值点；（2）设的极值点为，若对任意正整数a都有(m，n)，其中m，nZ，求n﹣m的最小值．江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试数学试题2021．2一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．若为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为A．2B．C．D．﹣2答案：B解析：，要使原式是实数，则，，选B．2．已知函数的定义域为集合M，函数y＝sinx的值域为N，则MN＝A．B．(﹣2，1]C．[﹣1，1)D．[﹣1，1]答案：C解析：因为，所以M＝(﹣2，1)，又N＝[﹣1，1]，故MN＝[﹣1，1)，故选C．3．函数在其定义域上的图象大致为答案：D解析：首先判断出该函数是奇函数，排除AB选项，当x＞1时，，选D．4．一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次．学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是A．甲B．乙C．丙D．丁答案：C解析：显然丙丁有一个错误，倘若丙正确，则与甲矛盾，故丁错误．故选C．5．化简sin2(﹣)﹣sin2(＋)可得A．cos(2＋)B．﹣sin(2＋)C．cos(2﹣)D．sin(2﹣)答案：B解析：因为，所以原式＝，故选B．6．某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2列联表．则根据列联表可知A．有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系C．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系D．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系参考公式：独立性检验统计量，其中．下面的临界值表供参考：P()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828答案：A解析：，根据临界值知有95%的把握认为经常用流行语与年轻人有关系，故选A．7．设F1，F2分别为双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点，圆F1与双曲线的渐近线相切，过F2与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角的正切值为A．B．C．D．1答案：C解析：根据题意作图，由算两次可知，，所以，故选C．8．已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝2，BC＝4，AC与平面ABD所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为A．2B．3C．4D．5答案：B解析：因为AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以球心O为AD中点，其在面BCD投影为E，则OE＝1，作CF⊥BD，所以sin∠CAF＝，所以，所以P到平面ACD距离的最大值为3．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列关于向量，，的运算，一定成立的有A．B．C．D．答案：ACD解析：选项B中左边为的共线向量，右边为的共线向量不正确，其余均正确．10．下列选项中，关于x的不等式ax2＋(a﹣1)x﹣2＞0有实数解的充分不必要条件的有A．a＝0B．a≥﹣3＋2C．a＞0D．a≤﹣3﹣2答案：AC解析：a≥0时必有解，当a＜0时，或，故AC符合题意．11．已知函数，则下列说法正确的是A．函数是偶函数B．函数是奇函数C．函数在(，0]上为增函数D．函数的值域为[1，)答案：AD解析：，所以函数是偶函数，B错误；，故C错．综上选AD．12．回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数．若正整数i与n满足2≤i≤n且n≥4，在[，]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Pi，在[10，]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Qn，则A．＜(2≤i≤n﹣1)B．＜C．＞D．＜1答案：BD解析：i为奇数，i为偶数，所以，A错；当n＝4时，，所以C错，故选BD．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若函数为偶函数，则的一个值为．（写出一个即可）答案：答案不唯一解析：的奇数倍都可以．14．的展开式中有理项的个数为．答案：34解析：，所以r＝0，3，6，…，99时为有理想，共34个．15．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线与在第一象限的交点为A，若OA的斜率为2，则＝．答案：解析：设A(x，y)，则代入抛物线得．16．罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C：的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C围成的图形的面积S2（选填“＞”、“＜”或“＝”），曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是．（第一空2分，第二空3分）答案：[，1]解析：由题意知且既关于原点对称又关于y轴对称，当时，同理可得曲线在y＝x＋1，y＝x﹣1，y＝﹣x＋1，y＝﹣x﹣1四条直线内部，所以，，所以．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）设正项数列的前n项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．解：（1）当n＝1时，由2Sn＝an2＋an，得a1(a1－1)＝0．因为正项数列，所以a1＞0，所以a1＝1．因为当n≥1时，2Sn＝an2＋an，…………………………①所以当n≥2时，2Sn－1＝an－12＋an－1，……………………②①－②，得2Sn－2Sn－1＝an2－an－12＋an－an－1，即2an＝an2－an－12＋an－an－1，所以an＋an－1＝(an＋an－1)(an－an－1)．因为数列{an}的各项均正，所以an＋an－1＞0．所以当n≥2时，an－an－1＝1．故数列{an}是公差为1的等差数列．故数列{an}的通项公式为an＝n．（2）因为＝＝＝(－)，故＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＜．18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝B＋3C．（1）求sinC的取值范围；（2）若c＝6b，求sinC的值．解：（1）由A＝B＋3C及A＋B＋C＝π，得2B＋4C＝π，所以B＝－2C，所以A＝＋C．由得得0＜C＜，故sinC的取值范围为(0，)．（2）若c＝6b，由正弦定理有sinC＝6sinB，①由（1）知B＝－2C，则sinB＝sin(－2C)＝cos2C．②由①②得sinC＝cos2C＝1－2sin2C，所以12sin2C＋sinC－6＝0，解得sinC＝或sinC＝－，又sinC∈(0，)，所以sinC＝．19．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，DF⊥EF，EF＝2CD＝2．（1）若DF＝2，求二面角A－CE－F的正弦值；（2）若平面ACF⊥平面BCE，求DF的长．解：方法一（1）因为平面ABEF平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE＝EF，DFEF，DF平面CDFE，所以DF平面ABEF．所以DFAF，DFFE．又AFEF．所以，以{，，}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系F－xyz．则F(0，0，0)，A(2，0，0)，E(0，2，0)，C(0，1，2)，则＝(2，－2，0)，＝(0，－1，2)．设平面ACE的一个法向量为m＝(x，y，z)，则m，m．所以即不妨取z＝1，则x＝y＝2，所以m＝(2，2，1)．又＝(2，0，0)，＝(0，2，0)，＝(0，1，2)，所以＝0，＝0．所以，，又FE∩FC＝F，所以＝(2，0，0)为平面CEF的一个法向量．所以cos＜m，＞＝＝．所以二面角A－CE－F的正弦值为＝．（2）设DF＝t(t＞0)，则C(0，1，t)．＝(2，0，0)，＝(0，－1，t)，＝(2，0，0)，＝(0，1，t)，设平面BCE的一个法向量为n＝(a，b，c)，则n，n．所以即不妨令c＝1，则b＝t，所以n＝(0，t，1)．设平面ACF的一个法向量为s＝(p，q，r)，则由s，s，得不妨取r＝1，则q＝－t，得s＝(0，－t，1)．因为平面ACF平面BCE，所以ns＝0，即－t2＋1＝0，得t＝1，即DF＝1．方法二（1）因为平面ABEF平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE＝EF，DFEF，DF平面CDFE，所以DF平面ABEF，所以DFAF．又因为AFEF，DF平面CDFE，EF平面CDFE，DF∩EF＝F．所以AF平面CDFE．在平面CEF内过点F作FGCE于G，连结AG，则AGCE．所以AGF为二面角A－CE－F的平面角．在△CEF中，CE＝CF＝，EF＝2，由S△CEF＝×EF×DF＝×CE×FG，得FG＝．在△AFG中，AG＝＝，所以sinAGF＝＝，所以二面角A－CE－F的正弦值为.（2）设平面ACF∩平面BCF＝l．因为四边形ABEF为正方形，所以AF∥BE．又AF平面BCE，BE平面BCE，所以AF∥平面BCE．又AF平面ACF，平面ACF∩平面BCE＝l，所以AF∥l．因为AF平面CDFE，CF平面CDFE，所以AFCF，所以CFl．又平面ACF平面BCE，平面ACF∩平面BCE＝l，CF平面ACF，所以CF平面BCE．又CE平面BCE，所以CFCE，所以CF2＋CE2＝EF2．设DF＝t(t＞0)，则CF＝，CE＝，所以(t2＋1)＋(t2＋1)＝22，解得t＝1，即DF＝1.20．（本小题满分12分）某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀．竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81．假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布N(71，81)．（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10，11，…，99)，若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？参考数据：若Z~N(，)，则P(﹣＜Z＜＋)≈0.68．解：（1）因得分Z~N(71，81)，所以 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差＝9，所以优秀者得分Z≥＋，由P(－＜Z＜＋)≈0.68得，P(Z≥＋)≈0.16．因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为10×0.16＝1.6(万人)．（2）方法一设抽奖一次获得的话费为X元，则P(X＝40)＝＝，P(X＝10)＝，所以抽奖一次获得电话费的期望值为E(X)＝×40＋×10＝13．又由于10万人均参加抽奖，且优秀者参加两次，所以抽奖总次数为10＋10×0.16＝11.6万次，因此，估计这次活动所需电话费为11.6×13＝150.8万元．方法二设每位参加活动者获得的电话费为X元，则X的值为10，20，40，50，80．且P(X＝10)＝(1－0.16)×＝，P(X＝20)＝0.16×()2＝，P(X＝40)＝(1－0.16)×＝，P(X＝50)＝0.16×()×()×2＝，P(X＝80)＝0.16×()2＝．所以E(X)＝10×＋20×＋40×＋50×＋80×＝15.08．因此，估计这次活动所需电话费为10×15.08＝150.8(万元)．21．（本小题满分12分）设F为椭圆C：的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点．（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；（2）设直线AF，BF的斜率分别为，(≠0)，求证：为定值．解：（1）若B为椭圆的上顶点，则B(0，1)．又AB过点(2，0)，故直线AB：x＋2y－2＝0．代入椭圆C：＋y2＝1，可得3y2－4y＋1＝0，解得y1＝1，y2＝，即点A(，)，从而直线AF：y＝x－1．（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，方法一设直线AB：x＝ty＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0．所以y1＋y2＝，y1y2＝．故k1＋k2＝＋＝＋＝＝＝0．又k1，k2均不为，故＝－1，即为定值－1．方法二设直线AB：x＝ty＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0．所以y1＋y2＝，y1y2＝．所以＝－，即ty1y2＝－，所以＝＝＝＝＝＝－1，即为定值－1．方法三设直线AB：x＝ty＋2，代入椭圆方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0．所以y1＋y2＝，y1y2＝，所以＝＋＝－2t．所以＝＝＝＝＝，把＝－2t－代入得＝－1．方法四设直线AB：y＝k(x－2)，代入椭圆的方程可得(1＋2k2)x2－8k2x＋(8k2－2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝．所以＝＝＝＝．因为x1x2－x1－x2＋2＝＋2＝，x2＝－x1，代入得＝＝＝－1．22．（本小题满分12分）设函数(a＞1)．（1）求证：有极值点；（2）设的极值点为，若对任意正整数a都有(m，n)，其中m，nZ，求n﹣m的最小值．解：（1）由题意得f(x)＝axlna－e－x，所以f(x)＝ax(lna)2＋e－x＞0，所以函数f(x)单调递增，由f(x)＝0，得(ae)xlna＝1，(ae)x＝．因为a＞1，所以＞0，所以x＝logae．当x＞logae时，f(x)＞0，f(x)单调递增；当x＜logae时，f(x)＜0，f(x)单调递减．因此，当x=logae时函数f(x)有极值．（2）方法一由（1）知，函数f(x)的极值点x0(即函数f(x)的零点）唯一，因为f(－1)＝－e．令g(a)＝，则g(a)＝＝0，得a＝e．当a＞e时，g(a)＜0，g(a)单调递减；当0＜a＜e时，g(a)＞0，g(a)单调递增，所以g(a)≤g(e)＝，所以f(－1)＝－e＜0．而f(0)＝lna－1，当a＝2时，f(0)＜0，当a≥3时，f(0)＞0．又f(1)＝alna－．因为a为正整数且a≥2时，所以alna≥2ln2＞1＞．当a≥2时，f(1)＞0．即对任意正整数a＞1，都有f(－1)＜0，f(1)＞0，所以x0∈(－1，1)恒成立，且存在a＝2，使x0∈(0，1)，也存在a＝3，使x0∈(－1，0)．所以n－m的最小值为2．方法二由（1）知x0＝logae＝－．令lna＝k，k＝ln2，ln3，…，则x0＝－＝0，得k＝1．先证：lnk≤k－1．令g(k)＝lnk－k＋1，则g(k)＝，当k＞1时，g(k)＜0；当k＜1时，g(k)＞0．所以g(k)≤g(1)＝0，即lnk≤k－1成立．所以x0＝－＞－1．又当k≥ln3时，x0＝－＜0，而2ln2>1，所以ln2＞＞，所以＜e．当k＝ln2时，x0＝＞0，且x0＝＜＜1，所以x0∈(－1，1)恒成立，且存在a＝2，使x0∈(0，1)，也存在a＝3，使x0∈(－1，0)．所以n－m的最小值为2.2