第六章习题解答与问题、习题解答1.用最小二乘法求解超定方程组‘2x+4y=113x-5y=3x+2y=64x+2y=14解：超定方程组的矩阵形式为4【-522-11136J41将方程两端同乘以系数矩阵的转置矩阵，可得正规方程组303x_93I1349y|[69解之，得x=2.9774,y=1.2259。2.观测一个作直线运动的物体，测得以下数据:时间t00.91.93.03.95.0距离S010305080110在
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中，时间单位为秒，距离单位为米。假若加速度为常数，求这物体的初速度和加速度。解：设物体运动的初速度和加速度分别为vo和a,初始时刻距离为0,则距离函数为2S(t)=v0tat2用后5个点的数据作曲线拟合t0.91.93.03.95.0S10305080110可得，V0=10.6576,a=4.6269Rx3.用最小二乘法求一个形如y=Ae的经验公式，使与下列数据相拟合x1234y60―302015解：令z=Iny,则z=InA+Bx。数据变换如下x1234z=Iny4.09433.40122.99572.7081由最小二乘法作线性拟合得，InA=4.4409,B=-0.4564。所以A=84.8528。故，所求经难公式为=84.25e0.4564x。4已知实验观测数据(xi,yi)(i=1,2,,,m)。令.,、,.1m中0(x)=1,印i(x)=x--EXimi4取拟合函数为(x)=a0o(x)百i(x)试利用曲线拟合的最小二乘法确定组合系数a。，ai(推导出计算公式)。解：记0=["(xi)0(x2)0(xm)]T=[1(x1)1(x2)i(xm)]Ty=[yiy2ym]T显然，行0是元素全为“1”的列向量。将所有实验数据的X坐标代入拟合函数，并令其分别等于实验数据的Y坐标值，得超定方程组1a0y目将方程组两端同乘以矩阵[%辑]二得正规方程组；(%,%)(%,行1)1同1「(行0,万忖，%)(叽口10)」a"此，y)」1m记x=1£xi,由于系数矩阵中两个非对角兀素为mi1mm(0,1)=(1,0)='(xi-x)='xi-mx-0i1iW(-0，y)「(1，y)瓦"Fa1.再可所以xm,通常取平均值作为所a0=.对某个物体的长度测量n次后，得n个近似值x1,x2,求长度的值。试用最小二乘法原理说明其理由。解：利用最小二乘原理，设物体的长度为x,记a=x—xk(k=1,2,,,,m)则残差平方和为mS(x)="(x-xj2kd为了求上面函数极小值，由极值必要条件，令S'(x)=0,得my(x-Xk)=0kT由此得1、mxxkmk1.求f(x)=ex在区间[T,1]上的三次最佳逼近多项式。解：利用勒让德多项式作基函数，即P(x)=a0p0(x)+a1p1(x)+a2p2(x)+a3P3(x),其P0(x)=1,pi(x)=x,,、32P2(x)=2x-,P3(x)=二x22利用正交性，得系数为(Pn,f)2n1an(Pn,Pn)1」Pn(x)f(x)dx(n=0,1,2,3)1xPo(x)f(x)dx=」edx=e_e1P1(x)f(x)dx=xexdx=2e1P2(x)f(x)dx二1」(x1)edx=e-7eP3(x)f(x)dx二1」(_x__1_x)edx=37e-5e所以,a0a21—M25—x2(e-e)：1.1752,1、(e-7e).1)0.3578,a3c」a12e：1.1036,271-、3(37e-5e)：0.07052〜、.321、.533、P(x)=1.1752+1.1036x+0.3578(x)+0.0705(xx)2222=0.9963+0.9978x+0.5367x2+0.1762x317.在著名的高次插值的龙格反例中,f(x)=2在区间［巧，5］上的10次拉格朗日插5x值出现振荡现象。为了使插值余项极小化，可以利用切比雪夫多项式的极性。试推导切比雪夫多项式零点所对应［书，5］的上的插值结点。解：由11次切比雪夫多项式零点，得2k1二xk=5cos()(k=0,1,2,,,,10)11211次X1234Y10305080二、例题1.已知实验数据如下:._~一一…2求二次多项式拟合函数P(x)=a+bx2.利用数据表t2-1012yyk-2yk-1ykyk+1yk+2定方程组并导出对应的正规方程组(不用求解正规方程组)O构造五点二次拟合函数P(t)=ao+a1t+a2t2时，需求超定方程组的最小二乘解,试列出超解：超定方程组为:一1111:1-2-10121?2_|4yk，Yk，yk41_yk¥-5010［「a。1b］正规方程组为：0100a1=b210034仙21R」其中，bi=yk-2+yk-i+yk+yk+i+yk+2,b2=-2yk-2-yk-i-yk+i+2yk+2,b3=4yk-2+yk-i+yk+i+4yk+2.求区间［-i,i］上的二次正交多项式.正交化过程.练习题i.设B点是线段AC上的一点，记AB长为Xi,BC长为X2,经测量得数据如下:AB=i5.5,BC=6.i,AC=20.9试用最小二乘原理计算出Xi,X2的长度。■/22.求a,b使工[ax+b—sinx]dx最小。.利用数据表t2T0i2yyk-2yk-iykyk+1yk+2构造五点线性拟合函数P(t)=ao+ait时，需求超定方程组的最小二乘解，试列出超定方程组并导出对应的正规方程组。求常数项系数a。。
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