2022年湖南省株洲市中考数学试卷及答案

2022年湖南省株洲市中考数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）1．（4分）﹣2的绝对值等于（　　）A．2B．C．﹣D．﹣22．（4分）在0、、﹣1、这四个数中，最小的数是（　　）A．0B．C．﹣1D．3．（4分）不等式4x﹣1＜0的解集是（　　）A．x＞4B．x＜4C．x＞D．x＜4．（4分）某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为（　　）A．63B．65C．66D．695．（4分）下列运算正确的是（　　）A．a2•a3＝a5B．（a3）2＝a5C．（ab）2＝ab2D．＝a3（a≠0）6．（4分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（　　）A．（0，﹣1）B．（﹣，0）C．（，0）D．（0，1）7．（4分）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（　　）A．x+2x﹣1＝7B．x+2x﹣2＝7C．x+x﹣1＝7D．x+2x+2＝78．（4分）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（　　）A．115°B．118°C．120°D．125°9．（4分）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　）A．OB＝CEB．△ACE是直角三角形C．BC＝AED．BE＝CE10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　）A．B．C．D．二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）计算：3+（﹣2）＝　　．12．（4分）因式分解：x2﹣25＝　　．13．（4分）某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖．若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是　　．（用最简分数表示）14．（4分）A市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构统计如下表：人员领队心理医生专业医生专业护士占总人数的百分此4%★56%则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为　　．15．（4分）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝　　度．16．（4分）如图所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6．若反比例函数y＝的图象经过点C，则k的值为　　．17．（4分）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝　　度．18．（4分）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N（点N在点M的右上方），若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为　　丈．三．解答题（本大题共8小题，共78分）19．（6分）计算：（﹣1）2022+﹣2sin30°．20．（8分）先化简，再求值：（1+），其中x＝4．21．（8分）如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE．（1）求证：△AEF≌△DEC；（2）若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．22．（10分）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN＝千米．（1）求∠ACB的度数；（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．23．（10分）某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：专业评委给分（单位：分）①88②87③94④91⑤90（专业评委给分统计表）记“专业评委给分”的平均数为．（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；（2）对于该作品，问的值是多少？（3）记“民主测评得分”为，“综合得分”为S，若规定：①＝“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×（﹣1）分；②S＝0.7+0.3．求该作品的“综合得分”S的值．24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1＝（x＜0）、y2＝（x＞0，k＞0）的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为﹣2．（1）求点A的横坐标；（2）记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S．25．（13分）如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．①求证：△ABD∽△DBE；②若AB•BE＝6，求⊙O的半径的长度．26．（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．2022年湖南省株洲市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）1．【解答】解：﹣2的绝对值等于：|﹣2|＝2．故选：A．2．【解答】解：∵﹣1＜0＜＜，∴最小的数是﹣1，故选：C．3．【解答】解：∵4x﹣1＜0，∴4x＜1，∴x＜．故选：D．4．【解答】解：将这组数据由小到大排列为：55，63，65，67，69，这组数据的中位数是65，故选：B．5．【解答】解：A．因为a2•a3＝a2+3＝a5，所以A选项运算正确，故A选项符合题意；B．因为（a3）2＝a2×3＝a6，所以B选项运算不正确，故B选项不符合题意；C．因为（ab）2＝a2b2，所以C选项运算不正确，故C选项不符合题意；D．因为＝a6﹣2＝a4，所以D选项运算不正确，故D选项不符合题意．故选：A．6．【解答】解：∵当x＝0时，y＝1，∴一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（0，1），故选：D．7．【解答】解：，将①式代入②式，得x+2（x﹣1）＝7，∴x+2x﹣2＝7，故选：B．8．【解答】解：四边形EFDA是⊙O内接四边形，∴∠EFD+∠A＝180°，∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，∴∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，故选：C．9．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝，AC⊥BD，∵CE∥BD，∴△AOB∽△ACE，∴∠AOB＝∠ACE＝90°，＝，∴△ACE是直角三角形，OB＝CE，AB＝AE，∴BC＝AE，故选：D．10．【解答】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x＝＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，∴对称轴x＝＞0，故C选项符合题意，故选：C．二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．【解答】解：3+（﹣2）＝+（3﹣2）＝1．故答案为：112．【解答】解：原式＝（x+5）（x﹣5）．故答案为：（x+5）（x﹣5）．13．【解答】解：∵所有可能出现的结果数为6，其中能中奖出现的结果为2，每种结果出现的可能性相同，∴P（能中奖）＝＝．故答案为：．14．【解答】解：1﹣4%﹣56%＝40%，故答案为：40%．15．【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，，∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°，故答案为：15．16．【解答】解：设BC交x轴于E，如图：∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，∴四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，设C（m，n），则OE＝m，CE＝n，∵矩形DOEC面积是3，∴mn＝3，∵C在反比例函数y＝的图象上，∴n＝，即k＝mn，∴k＝3，故答案为：3．17．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝＝108°，∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，故答案为：48．18．【解答】解：如图，设正方形的一边与⊙O的切点为C，连接OC，则OC⊥AC，∵四边形是正方形，AB是对角线，∴∠OAC＝45°，∴OA＝OC＝2（丈），∴BN＝AB﹣AN＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）丈，故答案为：（8﹣2）．三．解答题（本大题共8小题，共78分）19．【解答】解：原式＝1+3﹣2×＝1+3﹣1＝3．20．【解答】解：原式＝（+）＝＝；把x＝4代入中，原式＝＝．21．【解答】证明：（1）在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（SAS）；（2）∵△AEF≌△DEC，∴∠AFE＝∠DCE，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．22．【解答】解：（1）∵山坡②的坡度i＝1：1，∴CN＝BN，∴∠BCN＝45°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°；（2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米，∴AC＝2AM＝1.2千米，在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN＝千米，则BC＝＝2（千米），∴该登山运动爱好者走过的路程为：1.2+2＝3.2（千米），答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米．23．【解答】解：（1）该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数：50﹣40＝10（张），答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张；（2）＝（88+87+94+91+90）÷5＝90（分）；答：的值是90分；（3）①＝40×3+10×（﹣1）＝110（分）；②∵S＝0.7+0.3＝0.7×90+0.3×110＝96（分）．答：该作品的“综合得分”S的值为96分．24．【解答】解：（1）∵点A在函数y1＝（x＜0）的图象上，点A的纵坐标为﹣2，∴﹣2＝，解得x＝﹣1，∴点A的横坐标为﹣1；（2）∵点B在函数y2＝（x＞0，k＞0）的图象上，点B的横坐标为2，∴B（2，），∴PC＝OQ＝，BQ＝2，∵A（﹣1，﹣2），∴OP＝CQ＝1，AP＝2，∴AC＝2+，BC＝1+2＝3，∴S＝S△ABC﹣S△PQC＝AC•BC﹣PC•CQ＝﹣×1＝3+k．25．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝45°，∴∠BOD＝2∠BAC＝90°，∵OD∥BC，∴∠OBC＝180°﹣∠BOD＝90°，∴OB⊥BC，又OB是⊙O的半径，∴直线BC是⊙O的切线；（2）①证明：由（1）知∠BOD＝90°，∵OB＝OD，∴△BOD是等腰直角三角形，∴∠BDE＝45°＝∠BAD，∵∠DBE＝∠ABD，∴△ABD∽△DBE；②解：由①知：△ABD∽△DBE，∴＝，∴BD2＝AB•BE，∵AB•BE＝6，∴BD2＝6，∴BD＝，∵△BOD是等腰直角三角形，∴OB＝BD•sin∠BDO＝×＝，∴⊙O的半径的长度是．26．【解答】解：（1）当a＝1，b＝3时，y＝x2+3x+c，把x＝1，y＝1代入得，1＝1+3+c，∴c＝﹣3；（2）①方法（一）由ax2+bx+c＝0得，x1＝，x2＝，∴AB＝x2﹣x1＝，∵抛物线的顶点坐标为：（﹣，），∴AE＝，OM＝，∵∠BAE＝90°，∴tan∠ABE＝＝，∴＝，∴b2﹣4ac＝9；（方法二）由ax2+bx+c＝0得，∵x1+x2＝，x1x2＝，∴|x1﹣x2|＝＝＝，下面过程相同；②∵b2﹣4ac＝9，∴x2＝，∵OP∥MN，∴，∴：＝2，∴b＝2，∴22﹣4ac＝9，∴c＝﹣，∴T＝c＝﹣＝﹣＝（﹣2）2﹣4，∴当＝2时，T最小＝﹣4，即a＝时，T最小＝﹣4．