高中数学常用公式及知识点北师大版必修必修及选修

大版教材中数学常用公式及知识点记忆检测(必修1必修5及选修2-1)目录371013182228必修1必修2必修3必修4必修5选秀2-1后记§集合.集合的基本运算AnB=3kWA,且iWB｝；小Ubrm工WA,或工WH)；LA=5工W3且谒A｝合的包含关系，仁人；法.识记重要结论：AIBAAB；AUBAAB；CuAUBCUAICUB;CUAIBCUAUCUB.对常用集合的元素的认识①Axx23x40中的元素是方程x23x40的解，A即方程的解集；②Bxx2x60中的元素是不等式x2x60的解，B即不等式的解集；③Cyyx22x1,0x5中的元素是函数yx22x1,0x5的函数值，C即函数的值域；④Dx|y10g2x22x1中的元素是函数y10g2x22x1的自变量，D即函数的定义域;x,yy2x3中的元素可看成是关于x,y的方程的解集，也可看成以方程y2x3的解为坐标的点，M为点的集合，是一条直线。.集合｛劣但山冏｝的子集个数共有2n个；真子集有2n-1个；非空子集有2n-1个；非空的真子集有2n-2个..方程f(x)0在kk)上有且只有一个实根，与f(k1)f(k2)0不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程ax2bxc0(a0)有且只有一个实根在(ki,k2)内，等价于f(ki)f(k2)0,或f(ki)0且kbk1k2一-——2,或f(k2)0且2a2k1k2b-——-——k2.22a.闭区间上的二次函数的最值问题:二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x上■处及区间的2a两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，①若x史p,q,则2a一....b._..一..一..f(x)minf(—),f(x)maxmaxf(p),f(q)；2abZx—p,q,f(x)maxmaxf(p),f(q)2a二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题(2)当a<0时，①若xb2ap,q,则f(x)minminf(p),f(q),②若xb2ap,q，则f(x)maxmaxf(p),f(q),f(x)minminf(p),f(q).afxafxmax；afx.由不等导相等的有效 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：若a§1.函数的单调性(1)设xix2a,b,xx2那么min(Xx?)f(x[)f%)0(Xx2)f(x[)f%)0f(xi)fd)xi乂2f(xi)f(x2)x1x2f(x)在a,b上是增函数；f(x)在a,b上是减函数.(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0,贝f(x)为增函数；如果f(x)0,f(x)minminf(p),f(q).则f(x)为减函数.⑶单调性性质:①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数二增函数;④减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。.复合函数单调性的判断方法：⑴如果函数f(x)和g(x)都是减函数(增函数)，则在公共定义域内，和函数f(x)g(x)也是减函数(增函数)；⑵对于复合函数yf［g(x)］的单调性，必须考虑yf(u)与।;ug(x)的单调性，从而得出yf［g(x)］的单调性。;小结：同增；yfuugxyfgx:异减。研究］增函数增函数增函⑴若f(x)是偶函数，则fxfxf|x;偶函数的图象关于y轴对称；偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间⑵定义域含零的奇函数必过原点(可用于求参数)；奇函数的图象关于原点对称；奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间。⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：fxfx0或者f_w1fx0fx⑷奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.⑸多项式函数P(x)anxnanixn1La°的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零..函数yf(x)的图象的对称性：函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)..两个函数图象的对称性(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(即x轴)对称.(3)指数函数yax和ylogax的图象关于直线y=x对称..若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象..互为反函数的两个函数的关系：f(a)bf1(b)a..几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型(1)正比例函数f(x)kx,f(xy)f(x)f(y),f(1)k.(2)指数函数f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(-)f(x)f(y),.y(4)募函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f'(1).(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx,f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y),f(0)1.1.对于yx,yx2,yx3,yx2,y△的图象，了解它们的变化情况.x如右下图:2,x=x3.几个函数方程的周期a0⑴yfx对xR时,f(x)f(xa),则f(x)的周期为a的周期函数⑵fxafxa0.50.5.函数的奇偶性(注：奇偶函数大前提：定义域必须关于原点对称)2afxa0恒成立,⑶若y⑷若y则yfx是周期为2a的周期函数是偶函数,是奇函数,其图像又关于直线其图像又关于直线对称,对称,对xRBt,f(x)f(xa)0,f(xa)则是周期为2a的周期函数则是周期为4al的周期函数1—(f(x)0),则yfx的周f(x)期2a的周期函数.函数图像变换.分数指数募:(11盘(°君犀［下01mn移Ib¥单位fxb图象N,宜n1)；,7m1(2)an-m(a0any式防检黑象n-..a,a0va|a|a,a0，m，左(NJ)A/hinft]1)(r<0)移I州yfx图象>-a)na；(2)当n为奇数时，点的纵坐标变为原来的>y=annfax；当n为偶数时,14.有理指数募的运辰aB横如标变为原来的(1)arasars(a0,r,sR)(3)(ab)rarbr(a0,b0,r名.指数式与对数式的互化式：僵曜1/啰倍y=f(wx)图象ars(a0,r,sR)；logaNbabN(a0,a1,N0)..对数的换底公式：logaNlogmN(alogma0,且a1,m0,且m1,N0).推论logmbnan一logab(am0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).17.对数有关性质：⑴logab的符号有口诀“同正异负”记忆;⑵log⑶loga1；10；⑷对数恒等式：alogaNNa0,a1,N0⑸logabmmlogab;⑹设函数f(x)10gm(ax2bxc)(a0)，记b24ac.若f(x)的定义域为R,则a0,且0;若f(x)的值域为R,则a0,且0.对于a0的情形，需要单独检验.；18.图像定义域值域单调性在(0,+°°)上是增函数在(0,+°°)上是减函数过定点函数值的分布情况0x1时，y0;x1时，y00x1时，y0;x1时，y0⑵指数函数yaxa0,a1的图像和性质分析:a的符号图像yJ1yoxox定义域值域单调性在上是增函数,在上是减函数,过定点函数值的分布情况x0时，y1;x0时，0y1x0时，0y1;x0时，y119.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有yn(ip)x.必修2§立体几何初步1.常用公理和定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.定理：①空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.⑤一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直.⑥一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.⑦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.⑧垂直于同一个平面的两条直线平行.B'2.三余弦定理（最小角定理：立平斜公式）设AB与平面a所成的角为i,AC是a丙出任一条⑨两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与号，廿面垂直.面积射影定理S：—cos在平面所成锐二面角的为（平面多边形及其射影的面积分别是S、S’,它们所）.如图⑵。BB'C.已知：长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分另少、、，因此有cos2cos2cos21；若长方体的4对3线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为、、，则有cos2cos2cos22。（线线面12）.棱锥的平行截面的性质：图⑵如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）O'棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.).①球的半径是R,则其体积V4R3,其表面积3S4R2;②球的半径(R),截面圆半径(r),球心到截面的距离为(d)构成直角三角形，因而有关系：r、皆一下，它们是计算球的关键所在，如图⑶.TOC\o"1-5"\h\z.球的组合体图⑶(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长..柱体、锥体的体积V柱体-Shi(S是柱体的底面积、h是柱体的高)；V锥体-Sh(S是锥体的底面积、33h是锥体的高).§解析几何初步①k^y(小川)、X2X1向向量为1,k2.直线的五种方程(1)点斜式yV1P2(x2,y2),Xix2)tan—；②直线ykxb的一个方：一般两点斜截距!.斜率公式k(xXi)(直线l过点耳画,％),且斜率为k).(2)斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).(3)两点式yy1xx1(yiy2)(P(Xi,yi)、P2(X2,y2)(XX2)).y2y1X2X1⑷截距式-y1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab一般式AxByC0(其中A、B不同时为0)..两条直线的平行和垂直(1)若l1：yk〔xb,I2:yk2Xb2,则有①I1III2k1(2)若"Xk2,b1b2；②I1l2kR1.B、B2都不为零B〔yC10,I2：A2XB2yC20,且A、A2、AA2b1b20;①kW2ATB"C1；②kl2^\2B2Cy20,则l垂直(3)直线l：AxByC0中，若A0,B0,则l垂直于y轴；若A0,BII1弟谁垂一(吹)-谁」于x轴。.四种常用直线系(具有共同特征的一族直线)方程x0)(除直线xx0),其中k是0,其中A,B是待定的系数.C20的交点的直线系方程为(1)定点直线系方程：经过定点P0(%,y0)的直线系方程为yy0k(x待定的系数；经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xX0)B(yy°)(2)共点直线系方程：经过两直线111AlxB1yC10,l2:A2xB2y(AxByC1)(A2xB2yC2)0(除⑻，其中入是待定的系数.⑶平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0),人是参变(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A才0,B手0)垂直的直线系方程是BxAy0,人是参变量..点到直线的距离d1Ax0By02c|(点P(x0,y。),直线l:AxByC0).:AB.圆的三种方程(1)圆的标准方程(xa)2(yb)2r2;(2)圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F>0).(3)圆的直径式方程(xXi)(x&)(yy)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x,y)、B(&,y2))..点与圆的位置关系点P(Xo,y°)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种若d必X0)2(b点了,则dr点P在圆外；dr点P在圆上；dr点P在圆内..直线与圆的位置关系：直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种：dr相离0;dr相切0;dr相交0.其中AaBbC%A2B29.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O,Q,半径分别为「2,O1O2d3条公切线内切1条公切线；dr1r2外离4条公切线；dr1r2外切r1r2dr1r2相交2条公切线；dr1r20dr1r2内含无公切线.10.圆的切线方程：已知圆x2y2r2.过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为2TOC\o"1-5"\h\zX0Xy°yr11.空间直角坐标系中点的坐标及距离公式:3.设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则UJLu/uurULu.21222|AB||AB|[OBOA|xX2xy?yz2Z1.必修三§统计1.抽样方法主要有：①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；②系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；③分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层 样本 保单样本pdf木马病毒样本下载上虞风机样本下载直线导轨样本下载电脑病毒样本下载 数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即:每部分抽取的个体数样本容量或者nkn该部分的个体总数—总体中的个体数卫NkN2.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较类另共同点各自特点联系适用范围简单随机抽样(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样从总体中逐个抽取总体个数较少将总体均分成几部分，按预先制定的规则在各部分抽取在起始部分样时采用简随机抽样总体个数较多系统抽样将总体分成几层，分层进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成分层抽样.总体分布的估计：用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图..用样本的数字特征估计总体的数字特征中位数：算出来可避免极端数据，代表着数据总体的中等情况。（如果总数个数是奇数的话，按从小到大的顺序，取中间的那个数；如果总数个数是偶数个的话，按从小到大的顺序，取中间那两个数的平均数）众数：一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数。例如：1,2,3,3,4的众数是3。但是，如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的，那么这几个数都是这组数据的众数。例如：1,2,2,3,3,4的众数是2和3。还有，如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据没有众数。例如：1,2,3,4,5没有众数。样本平均数：xx1x2x3…x;样本方差：s21x,nn一2xx2-2-2xx3x-2xnx；样本数据xi,x2,…，x的标准差1一2一22n[(x,x)(x2x)L(xnx)]5.回归直线?bxa必过样本平均点x,y,其中b为斜率，如b0,则变量x每增加1个单位时，变量y平均减少1个单位；线性回归方程方程为?bxa系数公式：n__Xynxgyi1n2-2xinxi1ybxo§算法初步1.①画出计算2242621002的程序框图，如图⑴;②对图⑵，若输入1,则执行程序后输出y的值为:2否图图图③某城市缺水问题比较突出，为了制定节水 管理办法 关于高温津贴发放的管理办法稽核管理办法下载并购贷款管理办法下载商业信用卡管理办法下载处方管理办法word下载 ，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为：。区（单位：吨）。根据如图所示的程序框图，若Xi,X2,X3,X4分别为1,1.5,1.5,2,则输出r的结果s为.④如果执行下面的程序框图，如图⑷，输入图N=5,则输出的数等于―；⑤阅读下面的程序框图⑸，运行相应的程序后，则输出S的值为.1.等可能性事件的概率：P(A)m=件A包含的基本事件数m7一试验的基本事件总数n（古典概率公式）2.P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（几何概率公式）1.⑴终边相同的角的集合:角函数2k,kZ;⑵角度与弧度的换算：ooo180180rad,1——rad,1rad——；180⑶弧长与扇形的面积公式：弧长lr,扇形面积S-lr1r222⑷常见三角不等式①若x(0,—)，则sinxxtanx;②若x(0,—)，22则1sinxcosxJ2；③|sinx||cosx|1.2.常用三角函数不等式及相关等式的解集⑴①sinxcosx的x集合是3x-2kx—2k,kZ;44②sinxcosx的x集合是xx—k,kZ;4③sinxcosx的x集合是3x——2kx—2k,kZ。44⑵①sinxcosx的x集合是x-kx3—k,kZ;44②sinxcosx的x集合是।一311-7.xx—k,orx——k,kZ;44③sinxcosx的x集合是x—k3.(1)对于“sincos,sincos,sin(值，可求出其余二式的值。半个月亮爬上来所谓伊人在水一方x-k,kZ。4”三个式子，已知其中任意一个式子的⑵三角函数的诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限,形似角中的角不论多大，都看作锐角；形似角在原名称、原象限中的符号作为等式右边的符号sin注意：总共两4.三角函数的周期公式函数yAsin(x),xGR及函数yAcos(2*0,3>0)的周期丁—；函数yAtan(x)为常数，且A(L套2悬函Z数名不变；另--套-是-函-数」(A,a,为常数，且A才0,3>0)的周期T5.①类正弦函数y=Asin(wx+)的图像的变换：两种办法殊途同归得幽=；皿(⑴x+d)的图像得y=sin(ax+J)的匡纵坐标伸长或务短到原来的A纵坐标伸长或&短到原来的得丫=Asin(wx+)的图象，先在一个周期闭区间上再图像士义R域值域x—2k,kZ时，2最ymax1x2k,kZ时，ymax1值x—2k,kZ时，2x2k1,kZ时，ymin1ymin1单x—2k,—2kkZ22时，增2k,2k1kZ时，减函数3调x—2k,——2kkZ22时，减过2k1,2k,kZ时，增函数性奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期为2对称性对称轴：xkk*42f.■对称中心：（k,0）kZ”对称轴：xk,kZ对称中心：（—k,0）kZ28.正切函数的图像和性质函数图像定义域值域R单调性x—k,—kkZ22时，增函奇偶性奇函数周期性最小正周期为对称性对称中心：(S,0)kZ21.向量的加减法的代数结构:uuruuuuuu(2)OBOAAB2.平面向量基本定理？uuuuuinuuur⑴ABBCL.lAC接一首星」I1L直首接一层尾联_趋向被减..§平面向量如果ei、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数人1、入2,使得a=；3),则△ABC的重心的坐标是G(XiX2X3yiy2y3).10.三角形四“心”向量形式的充要条件・・・・设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则。为。为。为。为ABC的外心ABC的重心ABC的垂心ABC的内心UUU2LUT2uuur2OAOBOC.uuuuuruurrOAOBOC0.uuuuuuuuruuurOAOBOBOCuuuuuuuuuraOAbOBcOCuuuruuuOCOA.r0.角包等变换1.同角三角函数的基本关系式:.2sin2cossin1,tan=cos推论:2cos11tan2tan212coscos―12-1(正负号cos取决于所在的象限)2.和角与差角公式sin(tan(sin(asinsincoscossintantan；1mtantan2)sin()sin.2sintanbcos=.a2b2sin(b).a)(辅助角cos()coscosmsinsin所在象限由点方差公式)；(a,b)所在的象限来决定，且12sin2;辅助直角2cos23.二倍角公式：sin2sincos;cos221cossin22cossin1.⑴自然数和公式：①12nnn1;②12222nn12n1n；③13232.23nn1n4⑵常见的拆项公式：①——nn122n12n1D11-Jnn1n22nn1n1VaVb；⑤anSns1n2.⑶数列的通项公式与前n项的和的关系八6,n1心Danc②SnSn1Hng2)SnSn1,n2(注：该公式对任意数列都适用)③Sna1a2Lan(注：该公式对任意数列都适用)2.(1)等差数列的通项公式：①一般式：ana1(n1)d(nN*)；②推广形式：anam(nm)d;da—am■③前n项和形式anSnSn1(n2)(注：该公式对任意nm数列都适用)④前n项和公式为：n(a〔an)Sn2nann(n1)d1d)n.2⑵数列an为等差数列an1andN*,d为常数)⑶常用性质：①若m+n=p+q,则有amanapaq;特别地：若am是an,ap的等差中项，则有2amanapn、mp成等差数列；②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如a1a2a3,ada5a6,a7a8a9,)仍是等差数列；③an为等差数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2mSm,S3mS2m,S4mS3m,...也成等差数列；④・・・・apq,aqp,则apq0;@1+2+3+---+n=n(n1)23.⑴等比数列的通项公式：①一般形式：anaqn15qn(nN*);②推广形式：qanamqnm,qnm翅(视nm的奇数或偶数等来开方得到q的值)am③前n项和形式anSnSn1(n2)(注：该公式对任意数列都适用)a1(1qn)1aanq1④前n项的和公式为：Sn1q，q1,或s.1q.na1,q1na1,q1⑵数列an为等比数列⑶常用性质：①若m+n=p+q,则有amanapaq；特别地：若am是an,ap的等比中项，则有am2anapn、mp成等比数列；②等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1a2a3,a4a5a6,a?a8a9,）仍是等比数列；③an为等比数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2mSm,S3m$2m,S4mSm,•••也成等比数列（当q1或者q1且m不是偶数时候成立）；④设等比数列｛bn｝的前n项积为Tn,则Tk,・・・Tk,且,Tk,…成等比数列.TkT2kT3k§解三角形.⑴正弦定理：二一二2R.（R为ABC外接圆的半径，也是外接圆半sinAsinBsinC径的一种算法。).・・・・・・①一上上2RsinAsinBsinC②一a--b-上2RsinAsinBsinC⑵余弦定理2,22abc2bccosAb2c2a22cacosBsinAab,csinBsinCa,bsinA.A.ra.c•AsinAsinB—,sinCsinAbcosAcosB,222bca.2bc;22.2acb.2ac'22,2cab2abcosCcosC2,22abc2abnSI等由一c地位相nc-si-一Binsc-a⑶正弦定理和余弦定理的应用解题常与三角形内角和定理相伴。解题时注意一种重（即存要关系：在ABC中，给定角AB的正弦或余弦值，则角C的正弦或余弦有解在）cosAcosB0.三角形内角和定理：在△ABC中，有.面积定理TOC\o"1-5"\h\z一、111（1）S-aha-bhb一时（X、田、儿分别表示a、b、c边上的局）222(2)⑶111S—absinC—bcsinA-casinB2222R2sinCsinB（其中R为ABC的外接圆的22Sabc2RsinAsinB2RsinAsinC半径）⑷SABCabc4R（R为ABC外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法⑸Sabc1rabc(其中r为ABC的内切圆的半径，也能导出内切圆半径的一2种算法。顺便说下，直角三角形中内切圆的半径r其中a、b为两条直角边，・・・・・・・・・・・・・・・^2c为斜边。)⑹SabcJp―p—ap―bp―C"(其中pa-b-c,海伦公式)1—uuuuur°uur—uuu--、一、一一,、£、,,一⑺S0AB-J(|OA||OB|)2(OAOB)2(汪息：此时以坐标原点O为一个顶点的三角^2・・・・・・・・・・1形的面积公式)；设Ax1,y1,Bx2,y2，则Saob-x-y2x2%2§不等式.常用不等式：⑴重要不等式：a,bRa2b22ab(当且仅当a=b时取“二”号)；⑵均值不等式：a,bRb而(当且仅当a=b时取“二”号)；2⑶三角形不等式：①ababab(对于ab0时，当ab同号时右边取等号，当ab异号时左边取等号；对于ab0时，易判断等号成立的条件)；②a|babab(对于ab0时，当ab同号时左边取等号，当ab异号时右边取等号；对于ab0时，易判断等号成立的条件+).极值定理|；；;已知x,y都是正数，则岩「二定二正三拒___1」积定和最小―和定积_」(1)若积xy是定值p,则当xy时和xy有最小值2jp;(2)若和xy是定值s,则当xy时积xy有最大值-s2.4推广形式：已知x,yR,则有(xy)2(xy)22xy・・・・(1)若积xy是定值，则当|xy|最大时，|xy|最大；当|xy|最小时，|xy|最小.(2)若和|xy|是定值，则当|xy|最大时，|xy|最小；当|xy|最小时，|xy|最大.TOC\o"1-5"\h\z3.①一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0),如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根外，异号两根间.1]x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2);L对壬_a一。二xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).②简单的高次不等式的解法：数轴标根法(穿针引线法)。注意重因式的处理，奇次重根一次穿过，偶次重根穿而不过。例如：、.x32x1x13x50,如图--^y-3cT-l_X^^^ZZZ^75从图中易知解集为一,3U3,1U1,5:[大射线小：・・・・.含有绝对值的不等式，当a>0时，有axa;xax2axa或xa.①理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|ab||a||b|,a,bR;.AxByC0或0（其中A、B不同时为0）.所表示的平面区域设直线l:AxByC0,则AxByC0或0所表示的平面区域是：若C0,则用原点O0,0试，结果适合不等式，表示原点所在的平面区域就是否则，边界的另一区域才是；：日若C0,则用点1,0或者0,1试，方法同上4°，（0，1）、（1，0）I选修2-1§常用逻1.真值表（表1）Pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真「真假二假假真假假同真为真原结论反设词「原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（n1）个小于不小于至多有n个至少有（n1）个对所有x,成立存在某x,不成立p或qp且q对任何x,不成立存在某x,成立p且qp或q位.制郦箱哪解寐郸式（见表关系如下图所示pq,且“qp,则p是q的充要条件.另外：如果条件最终都可化为数字范围，则可转化为集合的包含关系来刻画，二者逻辑关系一目了然。设Axpx,Bxqx,,:①若AJ,则p是q的充分不必要条件；充分一大必要一等」②②若％A,则p是q的必要不充分条件；③若AB,则p是q的充要条件§空间向量与立体几何1.空间向量的直角坐标运算律aib,a2b2,a3b3(R)；rr…rr(1)右a(a,a2,a),b(bbh),①a//bZabab0__rr③夹角：cos：：abX1X2rrab丫1丫2ZZ0。a1bla2b2a3b322b2==.(规定：0a,b)b3r④模长公式：|a|22a2a3,2.若A(X1,y1,Z1),X,y2yizzi).uuuB(x2,y2,z2),如下图，则AB(X2.直线的方向向量：我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线i的方向向量.A(a1,a1,a3)B(b1,b2,b3).平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线事由j则称这个向量垂直于平面a,记作n,如果n,那么向量n叫做平面a的法向里。.用向量描述空间线面关系：设空间两条直线LJ的方向向量分别为e】e2,两个平面1,2的法向量分别为n;n7,则由如下结论空间线面关系平行垂直l1与l2l1与11与2.法向量在求面面角中的应用:与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。原理：一个二面角的平面角.法向量在求线面角中的应用：原理：设平面的斜线l与平面面的法向量所成角2,则1与.利用向量求二面角的大小方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向如图：二面角a-l-B的大小为8,A,BGl,ACa,AC±l,BD)±l贝Ue==方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离卷到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。「盘一如右图：已知二面角a-l-B,在a内取一点P,工过P作PCLB,及PALl,连AO,贝（JAO±l成立，/PAO就角的平面角用向量可求出|PA及|PO|,然后解三角形PAC方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。如右图P为二面角a-l-B内一点，作FA,a,PB^B,则/APB与二面角的平面角互补§圆锥曲线与方程1.①椭圆定义：MF1MF22a（2a|F1F2|0）；②F1B2|OFj2|OBj2（即c2b2a2,注意RtFQBi）③设P是椭圆上任意一点，且F1PF2,则有PFi2PF222PFiPF2cos22cF表是椭圆的标准方程及几何性质o标准方程一1)一-—肯扬大者的分子是催；焦苣就在一2yb22圆隋1（ab0）焦半径公式:PFi2za、e(-x)cPF2e(—x)caex；（2）椭圆的的内外部:①点P（x0,y0）在椭圆②点P（x0,y。）在椭圆22⑶椭圆x2-41（aa2b22.①双曲线定义：2xa2x~~2a2y21(ab2771(ab0）与直线Ax0）的内部0）的外部2x0a2x02ay；b22y。b2ByC0相切的条件是A2a2B2b2C2.MF1HMF2=2a0<2a<|旧，②AO2|OBiA1B12(即c2b2a2,注意RtAOB1,其中A、B1为同一象限内的实顶点、虚顶点，。为坐标原点。）③设M是双曲线上任意一点，且F1MF2,则有MF12|MF222MF1IMF2cos2c2④设P是双曲线上任意一点，有PF1IIPF2I2a（当且仅当点P落在顶点时取到等号。）下表是其标准方程及几何意义。标准方程图形范围xa或者xaya或者ya对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标焦点坐标半长轴实半轴长为a,虚半轴长为b焦距焦距为2ca、仄c关系离心率渐近线2a线曲双■一1)、/:一二—¥亮项为正信分子是谁———焦点胱一2aPFi|e(x一)|,1(a0,b0)的焦半径公式:PF2Ie(—x)|;c(2)双曲线的内外部：①点P(x0,y0)在双曲线②点P(x0,yj在双曲线2x2a2xab22yb21(a1(a0,b0,b0)的内部0)的外部2x2a2y0b2y2b222⑶双曲线与y-ab23.⑴抛物线y21(a0,b2pxp0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2的焦点弦(过焦点的弦)为AB,Axi,yi,B,则有如下结论：①焦半径公式：AF|xiE；②焦点弦长ABxiEx2卫12i2222③通径长为2p;④y1y2p2,xix2—.4⑵抛物线的内外部：①点P(x°,y°)在抛物线y22px(p0)的内部y。22px0(p0);②点P(x0,y°)在抛物线y22px(p0)的外部y。22p%(p0);2⑶抛物线y22pxp0上的动点可设为P(匕,y),可简化计算。2p⑷抛物线的切线方程：①抛物线y22px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y°yp(xx°)；②抛物线y22px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB22AC.⑸.抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨一诟二二一一二四大万程方程隹占八、、八、、准线图形F表是其标准方程及图形4.①直线与圆锥曲线相交的弦长公式或ABJ1k2)(x2%)21k2|x1四条规律：・・・・⑴一次项是啥，对称轴(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程ABx2।ykxF(x,y)2.⑵三次项系x2)(y1V2)：数的正负，消去y得到战装加口C00,k为直线的斜率)；②中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为③处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法心向的上下或-2_2:AxBy1;:右A(x1,y1),B(x2,y2)为曲线2xa2xa2yb22yb21(ab1(a、bkAB2py〔y20)上不同两点，Mx。,凡是AB中点，则kAB0),类似可得：kABkoM*;对于抛物线a2px5.圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线F(x,y)0关于点P(x°,y°)成中心对称的曲线是F(2xo-x,2yoy)曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴0.对称F(x""FP)0，x，*Fx，y后t己0的相同)1~依据本人10多年的一线高中数学教学经历和经验，整理了北师大版教材必修必修5以及选修2-1的各章节常用公式及知识点，形成该 资料 新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料社会工作导论资料工程结算所需资料清单 。有目录，按章节顺序编排。对于教师上课、出 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 、编排教案、制作课件等工作大有帮助。将会带来很大的方便，以致于节省更多的时间投入科研或家庭生活。对于同学们，也是学习中现成的系统化的好材料，不仅将给学习带来很大的收获，同时为自己节省更多时间，投入数学更多的别的方面的学习时间。由于本人水平有限，失误和错误之处在所难免，恳请读者批评指正，谢谢！未完待续直线，且AC与AB的射影AB/所成的角为AB与AC所成的角为.则coscos1cos2.如右图⑴。图⑴