2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案（B卷）

2018年全国高中数学联合竞赛一试(B卷）参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准．填空 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.设集合A={2,0,1,8},B={2aIaEA},则AUB的所有元素之和是．答案：31.解：易知B={4,0,2,16},故AUB={O,1,2,4,8,16}.AUB的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31.2.已知圆锥的顶点为P,底面半径长为2'高为1.在圆锥底面上取一点Q,使得直线PQ与底面所成角不大千45°,则满足条件的点Q所构成的区域的面积为答案：31r.解：圆锥顶点P在底面上的投影即为底面中心，记之为o.由条件知，OP=tan乙OQP三1'即OQ之1'故所求的区域面积为7r·22-Jr-12=31r.OQ3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f,则abc+def是奇数的概率为答案：—·110解：当abc+def为奇数时，abc,def必为一奇一偶，若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，d,e,f为2,4,6的排列，这样有3!x3!=36种情况．由对称性可知，满足条件的情况数为36x2=72种．从而所求概率为—==—·727216!720104.在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，�=(3,1)是l的一个法向量．已知数列{all}满足：对任意正整数n,点(an+I'an)均在l上．若a2=6,则研叩4as的值为答案：—32.解：易知直线l的方程是3x+y=O.因此对任意正整数n,有3an+I+an=0,111即an+I=——化，故{a,J是以——为公比的等比数列．千是a3=——az=—2.由等333比数列的性质可得，a凸叩4a5=a:=(-2)5=-32.5.设a,(3满足tan[a+汁-3,tan[(3-¾l=5,则tan(a-(3)的值为．答案：－—.74解：由两角差的正切公式可知ran[[a十"l—[/l—"]]�-3-5�±,即361+(—3)x57tan[0:—/3+勹＝＊，从而tan(a:—/3)=—cot[0:—/3+勹＝—i·6.设抛物线C:y2=2x的准线与x轴交千点A,过点B(-1,0)作一直线l与抛物线C相切千点K,过点A作l的平行线，与抛物线C交千点M,N,则�KMN的面积为答案：—．I2I解：设直线l与MN的斜率为k,则l:x=—y-1,MN:x=—y-—.IIkk22五将l与C联立，得方程l-—y+2=0,由条件知其判别式为零，故k=士—-.k22将MN与C联立，得方程y2——y+I=O,千是kIYM-yNI气(yM+YN)2—4yM凡＝｀口=2'结合l与MN平行，可知1111S�KMN=S归BMN=S�BAM—s�BANI=—·IABI·YM—YNI=—·—-2=—.22227.设/(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[I,2]上严格递减，0三x三l且满足汇）�1,八2ir)�O,则不等式组l,的解集为0三/(x)三l答案：[21r—6,4—Jr].解：由/(x)为偶函数及在[I,2]上严格递减知，/(x)在[—2,—I]上严格递增，再结合/(x)以2为周期可知，[O,I]是/(x)的严格递增区间．注意到/(4—1r)=f信—4)=/信）=1,/(21r—6)=/(21r)=0,所以0三/(x)三I{:}/(21r—6)三/(x)三/(4—1r)'而0<21r—6<4—1r<l.故原不等式组成立当且仅当XE[21r—6,4—Jr].8酰廿复数z1,z2,z3满足忆=z21=1z31=Lz,三+z31=r,其中r是给定实数，则三十三十三的实部是（用含有r的式子表示）．z2z3z1答案：r2—32解：记W=zz___!_十二十三．由复数模的性质可知Zz气气2，1-zl＿＿z，l＿气＿＿2z，l＿气＿＿3z因此W=z1z2+z凸+z凸．千是r2=(z1+z2口）石+�+�)=I矿＋寸＋同+w+;=3+2Rew,解得Rew=r2—32二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本题满分16分）已知数列{aa,,}:a,=7,二=a11+2,n=I,2,3,···.求a满足an>42018的最小正整数n.解：由生兰=a11+2可知an+I+l=(an+1)2.因此aan+l=(a,+1)2"-'=gz"-'=23x2"-''故a,,=23x2n-l—1.显然{a,,}单调递增．由千alI=23072_}<24036=42018,故满足题目条件的n的最小值是12......................8分a=2614412-1>24036=42018'.....................16分10.(本题满分20分）已知定义在R十上的函数f(x)为1Iog3x—1,0<X罕9,f(x)�{4—.Jx,X>9.设a,b,c是三个互不相同的实数，满足f(a)=f(b)=f(c),求abc的取值范围．解：不妨设a<b<c.由千f(x)在(0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9,+oo)上严格递减，且/(3)=0,/(9)=1,故结合图像可知aE(0,3),bE(3,9),cE(9,+oo),并且f(a)=f(b)=f(c)E(0,1)......................5分由f(a)=f(b)得l—1og3a=1og3b—1'即log3a+log3b=2,因此ab=32=9.千是abc=9c......................10分又0<f(c)=4—✓c<l,.....................15分故cE(9,16).进而abc=9cE(81,144).所以，abc的取值范围是(81,144)......................20分注：对任意的rE(81,144),取c。=!_'则c。E(9,16),从而f(c。)E(0,1).过93点(c。,f(c。))作平行千x轴的直线l'则l与f(x)的图像另有两个交点(a,f(a)),(b,f(b))(其中aE(0,3),bE(3,9)),满足f(a)=f(b)=f(c),并且ab=9,从而abc=r.11.(本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A、B与C、D分别是椭圆RyXr:—+L=l(a>b>O)的左、右顶点与上、下顶矿b2点．设P,Q是r上且位千第一象限的两点，满足OQIIAP,M是线段AP的中点，射线OM与椭ID圆交千点R.证明：线段OQ,OR,BC能构成一个直角三角形．证明：设点P坐标为(x。,y。)．由千祝切五气五)=面仁DA;ORI/OM,1西=2固＋吓，故存在实数入，µ,使得OQ=入(OP—OA),OR=µ(OP+OA)......................5分此时点Q,R的坐标可分别表示是（入(x。+a),机），(µ(x。—a),µy。)．由千点Q,R都在椭圆上，所以入'[<x。:,a)'十厂]�,,o[(x。a—;a)'十i]�12结合�+�=1知，上式可化为入2[2+气]=矿尸气l=1,解得A\10}Bx入2=a，矿＝a......................10分2(a+x。)2(a—X。)因此囥+IOR广＝入2(仄+a)2+兑）＋矿((x。—a)2+兑）aa2(a+x。)归+a)2五）＋（伈-a)2+兑）2(a-x。)=a(a+x。)+ay;+a(a—X。)+ay;22(a+x。)22(a—X。)�a二[I+I]�a'十亟2a2a+x。a-x。2a2-x;�a'+a'::l:;门�a'+b'�BC「·从而线段OQ,OR,BC能构成一个直角三角形......................20分4