浙江省专升本历年真题卷

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷一、填空题1．函数yxsinx1)ex的连续区间是。2(x2．lim1。2xx(xx4)3．（1）x轴在空间中的直线方程是。（2）过原点且与x轴垂直的平面方程是。11e(x1)2,x1(x1)2当a_____,b____时，函数f(x)在点x1．设函数f(x)a,x1,4bx1,x1处连续。5．设参数方程xr2cos2yr3，sin2（1）当r是常数,是参数时，则dy。dx（2）当是常数，r是参数时，则dy。dx二．选择题1．设函数yf(x)在[a,b]上连续可导，c(a,b)，且f'(c)0，则当（）时，f(x)在xc处取得极大值。（A）当axc时，f'(x)0，当cxb时，（B）当axc时，f'(x)0，当cxb时，（C）当axc时，f'(x)0，当cxb时，（D）当axc时，f'(x)0，当cxb时，2．设函数yf(x)在点xx0处可导，则limf(x03h)f(x02h)（）。h0h(A)f'(x0),(B)3f'(x0),(C)4f'(x0),ex2,x013．设函数f(x)0,x0，则积分fxdxex21,x0(A)1,(B)0(C)1,(D)2.ef'(x)0,f'(x)0,f'(x)0,f'(x)0.(D)5f'(x0).（）。5．设级数an和级数bn都发散，则级数(anbn)是（）.n1n1n1（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）可能发散或者可能收敛三．计算题1．求函数y(x2x1)x的导数。求函数yx32x21在区间（－1，2）中的极大值，极小值。3.求函数f(x)x2ex的n阶导数dnf。dxn线4．计算积分5．计算积分6．计算积分把函数y01x2dx。13x211e2xdx。12x2exdx。x01展开成x1的幂级数，并求出它的收敛区间。x1封密---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9.求二阶微分方程d2y2dyyx的通解。dx2dx10.设a,b是两个向量，且a2,b3,22求a2ba2b的值，其中a 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示向量a的模。四．综合题1．计算积分sin2n1xsin2m1xdx，其中n,m是整数。0222．已知函数f(x)4ax33bx22cxd，其中常数a,b,c,d满足abcd0，（1）证明函数f(x)在（0，1）内至少有一个根，（2）当3b28ac时，证明函数f(x)在（0，1）内只有一个根。2005年高数（一）答案（A）卷一．填空题1．连续区间是(,0)(0,1)(1,)2．123．（1）y0yz，或者xt,y0,z0（其中t是参数），（2）x0z或者x01004．a0,b15．（1）r2x，（2）3y.y2x二．选择题题号12345答案BDBD三．计算题。1．解：令lnyxln(x2x1)，则y'[x(2xx1)ln(x2x1)](x2x1)xx2142．解：y'3x24xx(3x4)，驻点为x10,x23（3分）（7分）（2分）（法一）y''(0)''4y()（法二）xy'yy''6x4，0，y(0)1（极大值），40，y(4)5（极小值）.327－1（－1，0）0(0,43)43(43,2)正0负0正-2递增1递减5递增27（5分）（7分）2（5分）当x0时，y1（极大值），当x43时，y527（极小值）3．解：利用莱布尼兹公式dnf[x22nxn(n1)]exdxn0001]dx4．解：1x21dx1dx[13x21(x1)(x2)1x2x1＝lnx0ln42(7x1135．解：12xdx＝1e2xe2xdx(31e2x1ex1ln(1e2x)C（其中C是任意常数）1212)ex16．解：(x2x2)exdx＝(x2x(2x1)exdx000（7分）（7分）(3分)分)分)7分）3分）11)+2ex1＝2－(2x1)exdx＝2－(3e=00＝33e2e21e。（7分）8：解：y11[11](2分)x1x2121[1x1(x1)2(x1)3(1)n(x1)n]22222＝(1)n(x1)n，（5分）2n1n0收敛区间为（-1，3）.（7分）9.解：特征方程为2210，特征值为1（二重根），d2y2dyy~x，其中c1,c2是任意常数.齐次方程(c1c2x)edx2dx0的通解是y(3分)d2y2dyyx的特解是yx2，（6分）dx2dx~x所以微分方程的通解是yyx2(c1c2x)e，其中c1,c2是任意常数y（7分）10．解：a2b2a2b22b)(a2b)(a2b)(a2b)＝(a＝2(a2b2)26.四．综合题：1．解：（法一）sin2n1xdxsin2m1xdx＝－1[cos(nm1)xcos(nm)x]dx0222011sin(nm1)x1m)x]00,nm[msin(n＝2n1nm11[cos(nm1)x1]dx,nm202（法二）当nm时sin2n1xdxsin2m1xdx＝－1[cos(nm1)xcos(nm)x]dx02220＝111sin()]0[sin(nm1)xn0m1nmmx2n当nm时(3分)7分）4分）10分）4分）7分）sin2n1xdxsin2m1xdx＝sin22n1xdx1[1cos(2n1)x]dx1x＝0220220202（10分）2．证明：（1）考虑函数F(x)ax4bx3cx2dx,（2分）F(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，F(0)F(1)0，线封密---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------由罗尔定理知，存在(0,1)，使得F'()0，即F'()f()0，就是f()4a33b22cd0,所以函数f(x)在（0，1）内至少有一个根.（7分）（2）f'(x)F''(x)12ax26bx2c因为3b28ac，所以(6b)24(12a)(2c)36b296ac12(3b28ac)0，f'(x)保持定号，f(x)函数f(x)在（0，1）内只有一个根.（10分）2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷一、填空题1．limn2n3n5n。n2．函数f(x)6xx28的间断点是。2x3)(x5)(x210在x3．若f(x)x(1x1x),x0处连续，则A。A,x04．设yxln(xx21)，则dy。dx5．2(1x3)cosx。1sin2xdx28．微分方程dy(2x1)ex2xy的通解y。dx二．选择题1f(x)的定义域为0,1，则函数f(x)f(x)的定义域（）。．函数1155A1,4B1,6C1,4D0,15555552．当x0时，与x不是等价无穷小量的是（）。Asinxx2Bxsin2xCtanxx3Dsinxx3．设F(x)f(t)dt，其中f(x)2,0x1，则下面结论中正确（）。xx01,1x2AF(x)1x3,0x1BF(x)1x31,0x1333x,1x2x,1x21x3,0x11x3,0x1CF(x)3DF(x)32x1,1x2xx2,134．曲线yx(x1)(2x),(0x2)与x轴所围图形的面积可表示为（）。A21)(2x)dxx(x0B1x(x1)(2x)dx21)(2x)dx0x(x1C11)(2x)dx21)(2x)dxx(x1x(x0D21)(2x)dx0x(xrrrr5．设a,b为非零向量，且ab，则必有（）。ArrrrBrrrrababababCrrrrDrrrrabababab三．计算题1．计算lim(x3)x21。xx62．设yx[cos(lnx)sin(lnx)]，求dy。dx3．设函数xe2tcos2t，求dy。ye2tsin2tdx4．计算不定积分1dx。sin2xcos2x5．计算定积分1dx。0exex6．求微分方程d2ydy2y2ex1,dy0的特解。dx23满足yx0dxx0dx线3x2yz107．求过直线，且垂直于已知平面x2y3z50的平面方程。2x3y2z208．将函数f(x)ln(x23x2)展开成x的幂级数，并指出收敛半径。封x210．当a为何值时，抛物线y与三直线xa,xa1,y0所围成的图形面积最小，密：-求将此图形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积。四．综合题1．（本题8分）设函数f(t)在[0,1]上连续，且f(x)1，证明方程：2xxf(t)dt1在(0,1)内有且仅有一实根。027m0,n0,a0，则xm()nmmnnamn分）证明：若ax(mn)mn。．（本题3．（本题5分）设f(x)是连续函数，求证积分I2f(sinx)dx。0f(sinx)f(cosx)42006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷（A卷）答案一．填空题1．limn2n3n5n5。n2．函数f(x)(x26xx28的间断点是x3。2x3)(x5)3．若f(x)1(1x1x),x00处连续，则A1x在xA,x04．。设yxln(xx21)，则dyln(xx21)x1。dxx25．2(1x3)cosx1sin2xdx228．微分方程dy(2x1)ex2xy的通解为yln(ex2xC)，其中C为任意常数。dx二．选择题1、C2、D3、D4、C5、B三．计算题1．计算lim(x3)x21。xx6x1x63x1解：lim(x3)2=lim(13)()()3x62xx6xx63x6又因为lim(1)3exx6lim(3)(x1)3xx622x3)x13所以lim(2=e2。xx62．设yx[cos(lnx)sin(lnx)]，求dy。dx解；dy[cos(lnx)sin(lnx)]x[sin(lnx)1dxx2coslnx3．设函数xe2tcos2t，求dy。ye2tsin2tdx解：dx2e2tcos2t2e2tsintcostdtdy2e2tsin2t2e2tsintcostdtdydy2e2t(cos2tsintcost)(cos2tdtdxdx2e2t(sin2tsintcost)(sin2tdt4．计算不定积分1dx.sin2xcos2x解：sin21dxsin2xcos2xdxxcos2xsin2xcos2x=[11]dxcotxtanxC2x2sincosx5．计算定积分1dx。0exex解：1dx1exdx0exex01e2x=1d(ex)dx01x2(e)LLL3分LLL5分LLL6分LLL7分cos(lnx)1]LLL4分xLLL7分LLL2分LLL4分sintcost)LLL7分sintcost)LLL3分LLL7分LLL3分LLL5分=arctanex1arctane。046．求微分方程d2ydy2y2exdydx23满足yx01,dxdxLLL7分0,的特解。x0解：微分方程d2y3dy2y2ex对应的特征方程为dx2dxr23r20(r1)(r2)0特征根为r11,r22LLL1分而1，所以11为单根，LLL2分r对应的齐次方程的通解为YC1exC2e2xLLL3分非齐次方程的通解为y*x代入原方程得C2LLL4分Cxe有通解yC1exC2e2x2xexLLL5分dy0,yx01C1C210,C21有dxx0C12C2C120有解y2x2xexLLL7分e7．求过直线3x2yz10x2y3z50的平面方程。2x3y2z2，且垂直于已知平面0解：通过直线3x2yz102x3y2z2的平面束方程为03x2yz1(2x3y2z2)0即(32)x(23)y(12)z(12)0LLL3分要求与平面x2y3z50垂直，则必须1(32)2(23)3(12)04202LLL所求平面方程为x8y5z50LLL8．将函数f(x)ln(x23x2)展开成x的幂级数，并指出收敛半径。分分解：f(x)ln(x1)(x2)ln(x1)ln(x2)LLL2分x)ln(1)3分=ln2ln(12xLLL1(x)n1n1=ln2(1)n(1)n1xn0n12n0n1=ln2(1)n112n1n1LLL6分n(n1)xn012收敛半径R1LLL7分10．当a为何值时，抛物线yx2与三直线xa,xa1,y0所围成的图形面积最小，求将此图形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积。解：设所围面积为S(a)S(a)x2dx(a3a3LLL2分a11)a3S'(a)(a1)2a22a1令S'(a)0a1LLL3分2S''(a)20，所以S(1)1为最小的面积LLL4分2121214251Vx2dx22dxx2LLL7分-1y0x50802四；综合题1·设函数f(t)在[0,1]上连续，且f(x)1，证明方程2xxf(t)dt1在(0,1)内有且仅有一实根。0证明：令F(x)2xx1，则在[0,1]上F(x)连续，LLLf(t)dt2分0F(0)10,F(1)21f(t)dt111LLL4分0f(t)dt0，0由闭区间上连续函数的介值定理知道在(0,1)内至少存在一点C，使得F(C)0LLL5分又因为F'(x)2f(x)10，所以F(x)单调上升，F(x)0在0,1内最多有一个根，所以2xx1在0,1LLL7分f(t)dt内有且仅有一个实根。02．证明：若m0,n0,a0，则xm(ax)nmmnnmn。(mn)mna证明：令F(x)xm(ax)nLLL2分F'(x)mxm1(ax)nnxm(ax)n1xm1(ax)n1[m(ax)nx]xm1(ax)n1[ma(mn)x]令F'(x)0xma，（当m,n1时，x0,xa，此时F(0)F(a)0)F''(ma)mn1)(ma)m2(nama)m1(nam(m)n2mn()n1mnmnmnmnmn+n(n1)(ma)m(na)n2mn1nn1amn20mnmn(mn)mn3所以F(ma)是F(x)在,上的极大值，有唯一性定理知：mnmn值，故F(x)F(ma)mnmnamnmn(mn)3．设f(x)是连续函数，求积分I2f(sinx)的值。f(sinx)dx0f(cosx)解：令xt,dxdt2LLL5分maF()是最大LLL7分I2f(sinx)dx0f(sinx)f(cosx)2f(cosx)dx0f(sinx)f(cosx)2If(sinx)f(cosx)dxI.20f(sinx)f(cosx)242007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷一、填空题1．函数y1的定义域是。lgx22．设y5sin3x，则dy。dx3．极限lim11x2dxxn。n04．积分cotxdx。1sinx5．设y111x,则y5。x16．积分sin7xsin9xdx。08．微分方程xdxx2yy3ydy0的通解。二．选择题3x1sin1x1，则x1是fx1．设fx3x2x1x1的（）。2lnx（A）连续点（B）跳跃间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点2.下列结论中正确的是（）。（A）若liman11，则liman存在，nann（B）若limanA，则limanliman11nliman1，nnann（C）若limanA，limbnB，则lim(an)bnAB，nnn（）若数列a2n收敛，且a2na2n10n，则数列an收敛。Dxsintsinx13．设x1ttdt，则当x0时，x是x的0dt，x0t（）。（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）低阶无穷小xtdy4．已知函数lnt，则lim（）。ylntxedxt（A）e2（B）1（C）e2（D）1e2e2三．计算题1．设ylncos2x，求dy。1ln4xdx2．由方程arctanylnx2y2所确定的y是x的函数，求dy。xdx3．计算极限lim1cosx。x0x4．计算积分e3sinx2cosxdx。xex5．计算积分2dx。1ex6．计算积分4e2x2tanx1dx。07．求经过点1,1,12xy3z0且平行于直线x2y5z的直线方程。1a，函数fx满足fxxatdt1，求fx9．任给有理数f010．将函数fxx1在点x01处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不考虑）。3x四．综合题1．设直线yax与抛物线yx2所围成的图形的面积为S1，直线yax,x1与抛物线yx2所围成的面积为S2，当a1时，，试确定a的值，使得SS1S2最小。3．当0x时，求证sinxx。2《高等数学（一）》答案一．填空题：1．2,33.2．y'3sin2sin3xln5xcosx53．04．lnsinxCsinx15．y525!1x66．498．lnx2y2y2C二．选择题：1、A2、D3、C4、D三．计算题：1．解。y2lncosx1ln1ln4x214ln3x1ln3xy'2tanxx2tanx221ln4xln4xx12。解：方程两边对x求导数，得1xy'y2x2yxy'y2x2yy'xy'y2x2yy'y2x2x2y2x2y2x2y21xx2yy'2xyy'2xy。x2y3．解:令t1cosxlim1costlimsint1x，limxt22t2x0toto4．解：原式＝1e3sinx2d3sinx21e3sinx2C33xexxd(ex1)xd11exx1ex1dx5．解：1ex2dx＝1ex2ex1＝xdex1xln1exCxxln1exCex1ex1ex1ex16．解：4e2xtanx12dx＝04e2xsec2x2tanxdx4e2xsec2xdx24e2xtanxdx＝000＝e2xtanx0424e2xtanxdx24e2xtanxdxe2xtanx04e2002xy3z07．解：平行于直线的直线的方向向量应是x2y5z1ijkS213i7j3k125所求直方程x1y1z1。1739．解：原方程两x求数，得fxfax⋯⋯⋯⋯（1）fxfaxfaaxfx，所以fx足fxfx0⋯⋯⋯⋯（2）由原方程令x0，得f01，由方程（1）得f0fa。方程（2）的特征方程210，即i，所以（2）有通解fxCcosxCsinx。12f01，得C11，即fxcosxC2sinx。fxsinxC2cosx，f0C2facosaC2sina，所以C2cosa，fxcosxcosasinx。1sina1sina10．解：fxx12111x11x21x12x1x12n02nn012n1。收区x11，即1x3。2四、合：1．解：当0a1，yax与yx2的交点坐是0,0和a,a2，a1x2SS1S2axx2dxaaxdx0a3a31a3aa3a3a1。2332323Saa21，令Sa0，得a1。22Sa2a0，所以在0a1时，SminS1222。6当a0时，yax与yx2的交点坐标是0,0和a,a2，则01SS1S2axx2dxx2axdxa0a3a31aa3a1。2332623Saa210，则Sa在a0时单调减少。22故在a0时，S0为Sa的最小值，即S0Smin1。3又因为221时，S的最小值在a11226，所以在a1时取到，即SminS。3226sinx1cosxxtanx3、证明：令fx2，则fx222。xx2当0x时，cosx0，tanxx，fx0，222从而fx在0,内单调减少，所以fxf0，（0x）sinx1xx即2sin。x22008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷一.选择题1.函数fxx21cosx是（）。（A）奇函数（B）偶函数（C）有界函数（D）周期函数2.设函数fxx，则函数在x0处是（）。（A）可导但不连续（B）不连续且不可导（C）连续且可导（D）连续但不可导3.设函数fx在0,1上,d2f0，则成立（）。dx2Adfdff1f0Bdff0fdfdxxdxxdxx1101dxx0Cdff1f0dfDf1f0dfdfdxxdxxdxx0dxx1104.方程zx2y2表示的二次曲面是（）。（A）椭球面（B）柱面（C）圆锥面（D）抛物面5.设fx在a,b上连续,在a,b内可导,fafb,则在a,b内，曲线yfx上平行于x轴的切线（）。（A）至少有一条（B）仅有一条（C）不一定存在（D）不存在二.填空题1.计算lim1sinx。x0x22.设函数fx在x1可导,且dfx1,则limf12xf1。.dxx0x0x3.设函数f2xlnx,则dfx。dx4.曲线yx33x2x的拐点坐标。5.设arctanx为fx的一个原函数,则fx。6.d2ftdt。xdx7.定积分x2xdx。10.设平面过点1,0,1且与平面4xy2z80平行，则平面的方程为。三.计算题:(每小题6分,共60分)1.计算limex1。x0x2.设函数fxex,gxcosx,且yfdg,求dy。dxdx：号证考准：名姓______________________：业专考报__________________线封密--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------