拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。知识要点拉普拉斯变换的定义及定义域（1）定义单边拉普拉斯变换：正变换f(t)est[f(t)]F(s)0dt1jst逆变换[F(s)]f(t)F(s)eds2jj双边拉普拉斯变换：正变换FB(s)stf(t)edt逆变换f(t)12jjstjFB(s)eds（2）定义域若0时，limf(t)t则f(t)t在的全部范围内收敛，积分ste0e0f(t)dtt0e存在，即f(t)的拉普拉斯变换存在。0就是f(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域。0与函数f(t)的性质有关。拉普拉斯变换的性质（1）线性性若[f1(t)]F1(S),[f2(t)]F2(S),1,2为常数时，则[1f1(t)2f2(t)]1F1(s)2F2(s)（2）原函数微分若[f(t)]F(s)则[df(t)]sF(s)f(0)dt式中f(r)(0)是r阶导数drf(t)在0时刻的取值。dtr（3）原函数积分若[f(t)]F(s)，则[tF(s)f(1)(0)式中f(1)(00f(t)dt])f(t)dtss（4）延时性若[f(t)]F(s)，则[f(tt0)u(tt0)]est0F(s)（5）s域平移若[f(t)]F(s)，则[f(t)at]F()esa（6）尺度变换若[f(t)]F(s)，则[f(at)]1F(s)（a0）aa（7）初值定理limf()f(0)lim()totssFs（8）终值定理limf(t)limsF(s)ts（9）卷积定理若[f1(t)]F1(s)，[f2(t)]F2(s)，则有[f1(t)f2(t)]F1(s)F2(s)[f1(t)f2(t)]1[F1(s)F2(s)]=1jF1(p)F2(sp)dpj2j2j拉普拉斯逆变换（1）部分分式展开法首先应用海维赛展开定理将F(s)展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数f(t)。（2）留数法留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数()st在围线中所有极Fse点的留数运算，即(1)[F(s)]12jj1F(s)estds[F(s)est的留数]F(s)estdscj2极点j?n若pi为一阶级点，则在极点spi处的留数ri[(spi)F(s)est]Xi2spi1i1[dk1若pi为k阶级点，则rik1(spi)kF(s)est]spi(k1)!ds系统函数（网络函数）H（s）（1）定义系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即H(s)Rzs(s)冲激响应h(t)与系统函数H(s)构成变换对，即H(s)[h(t)]系统的频E(s)率响应特性H(jw)H(s)sjwH(jw)ej(w)式中，H(jw)是幅频响应特性，(w)是相频响应特性。（2）零极点分布图H(s)N(s)K(sz1)(sz2)L(szm)式中，是系数；z1，z2，Lzm为H(s)的零D(s)(sp1)(sp2)L(spn)点；p1，p2，L，pn为H(s)的极点。在s平面上，用“d”表示零点，“”表示极点。将H(s)的全部零点和极点画在s平面上得到的图称为系统的零极点分布图。对于实系统函数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。（3）全通函数如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于jw轴互为镜像，那么这种系统函数称为全通函数，此系统则为全通系统或全通网络。全通网络函数的幅频特性是常数。（4）最小相移函数如果系统函数的全部极点和零点均位于s平面的左半平面或jw轴，则称这种函数为最小相移函数。具有这种网络函数的系统为最小相移网络。（5）系统函数H(s)的求解方法①由冲激响应h(t)求得，即H(s)[h(t)]。②对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由H(s)Rzs(s)获E(s)得。③根据s域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为H(s)。系统的稳定性若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则此系统为稳定系统。（1）稳定系统的时域判决条件h(t)dtM（充要条件）①若系统是因果的，则①式可改写为h(t)dtM0（2）对于因果系统，其稳定性的s域判决条件①若系统函数H(s)的全部极点落于s左半平面，则该系统稳定；②若系统函数H(s)有极点落于s右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定；③若系统函数H(s)没有极点落于s右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则该系统临界稳定。内容摘要拉氏变换的定义和一.拉普拉斯收敛域部分分式展典型信号的拉氏变二．单边拉氏变换逆变换的求法开法三．拉氏变换的基本性质四．用拉普拉斯变换法分析电路系统函数的定义五．系统函由零极点的决定系统的时域特性数由零极点的分析系统的稳定性例题·例题1：求拉氏变换·例题2：求拉氏变换，拉氏变换的性质·例题3：拉氏变换的微分性质·例题4：系统函数，求解系统的响应·例题5：用拉氏变换法分析电路·例4-1求下列函数的拉氏变换分析fttut1拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以Fs表示ft单边拉氏变换,以FBs表示ft双边拉氏变换。若文字中未作说明,则指单边拉氏变换。单边拉氏变换只研究t0的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面。本例只讨论时移定理。请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。解答例4-2求三角脉冲函数f(t)如图4-2（a）所示的象函数分析ft和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变1换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法求o12t解。解答方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解方法三：利用微分性质求解方法四：利用卷积性质求解方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解由于于是Fs1212ese2ss1s2方法三：利用微1分性e质求解s2分析信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。将ft微分两次，所得波形如图4-2（b）所示。显然根据微分性质由图4-2（b）可以看出于是方法四：利用卷积性质求解ft可看作是图4-2(c）所示的矩形脉冲f1t自身的卷积于是，根据卷积性质而F1s11es1所以Fss21ef1t1so1ts2图4-2（c）例4-3f1t,f2(t),f3t的象函数下面说明应用微分性质应用微分性质求图4-3（a）中f1t,f1t,f2t,f3t应注意的问题，图4-3（b）f2t,f3t是的导数f3t的波形。f1t3ut2ututf2t图4-3（a）332解答f1t3t1oo说明ottt(3)f2ttt（1）对于单边拉氏变换,由于f1t(1)f2tut,故二者的象函数相同，即f3t(1)ototot因而图这是应用微分性质应特别注意的问题。4-4（b)由图4-3（b）知例4-4某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。当输入x3ty3t。为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出阶跃响应则y3tyzitgt1gt32etutet1ut1et3ut3例4-5电路如图4-5（a）所示2Ω1HiL0（1）求系统的冲激响应。et1FvCtiL0、vC0,（2）求系统的起始状态使系统的零输4-5(a)入响应等于冲激响应。使系统对ut的激励时的完（3）求系统的起始状态，解答（1）求系统的冲激响应。系统冲激响应ht与系统函数Hs是一对拉氏变换的关系。对Hs求逆变换可求得ht，这种方法比在时域求解微分方程简便。利用s域模型图4-5（b）可直写出图4-5（a）电路的系统函数冲激响应（2）求系统的起始状态为求得系统的零输入响应，应写出系统的微分方程或给出带有初值的s域模型。下面我们用s域模型求解。图4-5(a)电路的s域模型如图4-5(b)。由图4-5(b)可以写出上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入响应的拉氏变换。依题意的要求，该项应和Hs相等，从而得故系统的起始状态说明通过本例可以看出，改变系统的起始状态可以使系统的完全响应满足某些特定要求。本质上，系统的零输入响应完全由系统的起始状态决定，对一个稳定系统而言，零输入响应是暂态响应中的一部分，因此，改变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应，使暂态响应满足某些特定要求，例如，本例要求暂态响应为零。3）求系统的起始状态从而求得系统的起始状态附录A拉普拉斯变换及反变换1.表A-1拉氏变换的基本性质1线性定齐次性理叠加性微分定一般形式理初始条件为0时积分定一般形式理初始条件为0时延迟定理（或称t域平移定理）衰减定理（或称s域平移定理）终值定理初值定理卷积定理2．表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表序拉氏变换时间函数e(t)Z变换E(z)号E(s)11δ(t)1234t567891011121314153．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式B(s)bmsmbm1sm1b1sb0（nm）F(s)an1sn1a1sa0A(s)ansn式中系数a0,a1,...,an1,an，b0,b1,bm1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。A(s)0无重根这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。F(s)c1c2cicnnci（F-1）ss1ss2ssissni1ssi式中，s1,s2,,sn是特征方程A(s)＝0的根。ci为待定常数，称为F(s)在si处的留数，可按下式计算：cilim(ssi)F(s)（F-2）ssi或B(s)ciA(s)ssi（F-3）式中，A(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数ncinf(t)L1F(s)L1＝ciesit(F-4)i1ssii1A(s)0有重根A(s)0有r重根s1，F(s)可写=crcr1c1cr1cicn(ss1)r(ss1)r1(ss1)ssr1ssissn式中，s1F(s)的r重根，sr1，⋯,snF(s)的n-r个根；其中，cr1，⋯,cn仍按式(F-2)或(F-3)算，cr，cr1，⋯,c1按下式算：1lim(j)crjd(j)(ss1)rF(s)(F-5)j!ss1ds原函数f(t)crcr1n（F-6）tr1tr2c2tc1es1tciesit(r1)!(r2)!ir1