2003年考研数学试题详解及评分参考

郝海龙：考研 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第1页2003年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数学（一）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）(1))1(102)(coslimxnlxx+®=.【答】应填12e-.【解】)1(102)(coslimxnlxx+®()2lncosln10limxxxe+®=，而2200lncosln(1cos1)limlimln(1)xxxxxx®®+-=+2cos112xx-==-，所以原式=1e(2)曲面22yxz+=与平面042=-+zyx平行的切平面的方程是.【答】应填542=-+zyx.【解】设切点坐标为()0000,,Pxyz=，则曲面在0P处的法向量为00{2,2,1}xy--，应与已知平面的法向量{2,4,1}n=-平行，所以00221241xy--==-，从而001,2xy==.于是220005zxy=+=(3)设)(cos02pp££-=å¥=xnxaxnn，则2a=.【答】应填1.【解】由题设，na是偶函数2x在区间[],pp-上周期为2p的傅里叶系数，取2n=，有22200021cos2[sin22sin2]axxdxxxxxdxppppp==-òò001[cos2cos2]1xxdxpppp=-=ò.(4)从2R的基÷÷øöççèæ-=÷÷øöççèæ=11,0121aa到基÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=21,1121bb的过渡矩阵为.【答】应填÷÷øö-ççèæ-2312.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第2页【解】设过度矩阵为P，则()()1212Paabb=，因而()()11212Paabb-=111110112-æöæö=ç÷ç÷-èøèø11110112æöæö=ç÷ç÷-èøèø=÷÷øö-ççèæ-2312.(5)设二维随机变量),(YX的概率密度为6,01(,)0,xxyfxy£££ì=íî其他，则}1{£+YXP=.【答】应填1/4.【解】1{1}(,)xyPXYfxydxdy+£+£=òò=11206xxdxxdy-=òò()12016124xxdx-=ò.(6)已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态分布)1,(mN，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40（cm），则m的置信度为0.95的置信区间是.（注： 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布函数值F(1.96)=0.975，F(1.645)=0.95）【答】应填39.51,40.49（）.【解】记X为样本均值，置信度为0.95（即0.05a=）的双侧置信区间为22(,)XzXznnaass-+，由于0.0252zza=，()10.0250.9751.96-==F，数据代入，得置信区间为()11(401.96,401.96)39.51,40.491616-´+´=二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）(1)设函数)(xf在),(+¥-¥内连续，其导函数的图形如图所示，则)(xf有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点【答】应选(C).【解】在y轴左侧，因()fx¢由正变负再变正，故()fx由增变减再变增，从而有一个极大值点和一个极小值点；而在y轴右侧，因()fx¢由负变正，故()fx由减变增，从而有一个极小值点；又在点0x=左右领域，()fx¢由正变负，()fx由增变减，且()fx在点0x=连续，故0x=是()fx的极大值点.因此()fx有两个极小值点和两个极大值点.(2)设{na}，{nb}，{nc}均为非负数，且0lim=¥®nna,1lim=¥®nnb,nnc¥®lim=¥，则必有(A)nnba<对任意n成立(B)nncb<对任意n成立郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第3页(C)nnnca¥®lim极限不存在(D)nnncb¥®lim极限不存在【答】应选(D).【解】对于选项(A)和(B)，尽管据题设有，limnna®¥<limnnb®¥<nnc¥®lim，但极限的保号性只是在n充分大时才成立，而不是对任意n成立，故因予排除；对于选项(C)，由于nnnca¥®lim是0×¥型，故其极限可能不存在，也可能存在，故也排除；对于选项(D)，假若limnnnbc®¥存在，则有limlimlimlimnnnnnnnnnnncbcbcbb®¥®¥®¥®¥==存在，与条件矛盾.因此limnnnbc®¥存在，故应选(D).(3)已知函数),(yxf在点)0,0(的某个领域内连续，且1)(),(lim22200=+-®®yxxyyxfyx，则(A)点)0,0(不是),(yxf的极值点(B)点)0,0(是),(yxf的极大值点(C)点)0,0(是),(yxf的极小值点(D)根据所给条件无法判断点)0,0(是否为),(yxf极值点【答】应选(A).【解】因1)(),(lim22200=+-®®yxxyyxfyx，故00lim[(,)]0xyfxyxy®®-=，即(0,0)0f=.又记222(,)1()fxyxyxya-=-+，知00lim0xya®®=，且222(,)(1)()fxyxyxya=+++.由于222(1)()xya++是比xy高阶的无穷小，且222(1)()0xya++>，故在点()0,0的足够小邻域内，当0xy>时，有(,)0fxy>，而当0xy<时，有(,)0fxy<.因此()0,00f=不是极值.故选(A).(4)向量组I：raaa,.....,,21，可由向量组II：12,,,sbbbL线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，则(A)当sr<时，向量组II必线性相关(B)当sr>时，向量组II必线性相关(C)当sr<时，向量组I必线性相关(D)当sr>时，向量组I必线性相关【答】应选(D).【解】记I的秩为()rI，II的秩为()rII，则由I可由II线性表示，可知()()rr£III.又()rsII£，于是当rs>时，有()()rsrrII³³I>，即I线性相关.故选(D).(5)设有齐次线性方程组0=Ax和0=Bx，其中,AB均为nm´矩阵，现有4个命题：郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第4页①若0=Ax的解均是0=Bx的解，则秩()A³秩()B；②若秩()A³秩()B，则0=Ax的解均是0=Bx的解；③若0=Ax与0=Bx同解，则秩()A=秩()B；④若秩()A=秩()B，则0=Ax与0=Bx同解以上命题中正确的是(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④【答】应选(B).【解】若0=Ax的解均是0=Bx的解，则0=Ax的解空间的维数不超过0=Bx的解空间的维数，即ABnrnr-£-，亦即ABrr³，故①正确；同理③也正确.又由两个解空间的维数的大小关系，推不出两个齐次线性方程的解集是否有包含关系，所以②不成立,同理，④也不成立.故选(B).(6)设随机变量~()(1)Xtnn>，21YX=，则(A))(~2nYc(B))1(~2-nYc(C)~(,1)YFn(D)~(1,)YFn【答】应选(C).【解】因~()Xtn，故()2~ZXtnnc=，其中~(0,1)ZN，22~()ncc，且Z与2c相互独立，于是22~(1)Zc，从而2221(,1)1nFnXZc=:.故选(C).三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线xyln=的切线，该切线与曲线xyln=及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A；(2)求D绕直线ex=旋转一周所得旋转体的体积V.解(1)设切点的横坐标为0x，则曲线xyln=在点)ln,(00xx处的切线方程是)(1ln000xxxxy-+=……1分由该切线过原点知01ln0=-x,从而ex=0,所以该切线的方程式为xey1=.……3分平面图形D的面积ò-=-=10121)(edyeyeAy.……6分(2)切线xey1=与x轴及直线ex=所围成的三角形绕直线ex=旋转所得的圆锥体积为1V=231ep；曲线xyln=与x轴及直线ex=所围成的图形绕直线ex=旋转所得的旋转体体积为2V=ò-102)(dyeeyp.……8分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第5页因此所求旋转体的体积为12221201()(5123)36yVVVeeedyeeppp=-=--=-+ò……10分四、(本题满分12分)将函数xxxf2121arctan)(+-=展开成x的幂级数，并求级数å¥=+-012)1(nnn的和.解:因为2412)(xxf+-=¢……2分=).21,21(,4)1(202-Î--å¥=xxnnnn……4分又,4)0(p=f故)(xf=)0(f+ò¢xdttf0)(……6分=òå¥=--xnnnndtt002]4)1([24p=210(1)4112,(,).42122nnnnxxnp¥+=--Î-+å……8分因为级数å¥=+-012)1(nnn收敛，函数)(xf在21=x处连续，所以)(xf=210(1)4112,(,]42122nnnnxxnp¥+=--Î-+å……10分令21=x，得å¥=+×+--=012]21124)1([24)21(nnnnnfp再由0)21(=f得å¥==-=+-04)21(412)1(nnfnpp……12分五、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(pp££££=yxyxD，L为D的正向边界，试证：(1)òò-=---LLxyxydxyedyxedxyedyxesinsinsinsin；(2)ò³--Lxydxyedyxe2sinsin2p.证法1(1)左边=òò--pppp0sin0sindxedyexy=ò-+pp0sinsin)(dxeexx……3分右边=òò--pppp0sin0sindxedyexy=ò-+pp0sinsin)(dxeexx所以òò-=---LLxyxydxyedyxedxyedyxesinsinsinsin……6分(2)由于,2sinsin³+-xxee……8分故由(1)得ò=--Lxydxyedyxesinsinò-+pp0sinsin)(dxeexx22p³……10分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第6页证法2(1)根据格林公式，得òòò--+=-DxyLxydeedxyedyxes)(sinsinsinsin……2分ò=--Lxydxyedyxesinsinòò+-Dxydees)(sinsin……4分因为D关于xy=对称，所以òòòò+=+--DDzyxydeedeess)()(sinsinsinsin故òò-=---LLxyxydxyedyxedxyedyxesinsinsinsin……6分(2)由(1)知òòò--+=-ldxyxydeedxyedyxes)(sinsinsinsin=òò-+dxxdees)(sinsinòò³dds2……8分=22p……10分六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为))0(,>kk,汽锤第一次击打将桩打进地am.根据 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数)10(<<rr.问:(1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米.）解：(1)设第n次击打后，桩被打进地下nx，第n次击打时，汽锤所作的功为(1,2,3,).nWn=L由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以22101221akxkkxdxWx===ò……1分)(2)(22222122122axkxxkkxdxWxx-=-==ò由W2=rW1可得2222raax=-，222)1(arx+=……3分又)(22223332xxkkxdxWxx-==ò])1([2223arxk+-=故由1223WrrWW==可得22223)1(ararx=+-，从而arrx231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下arr21++m.……6分(2)用归纳法：设arrxnn1...1-+++=,则12211()2nnxnnnxkWkxdxxx+++==-ò2121[(1)]2nnkxrra-+=-+++L……8分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第7页由于211nnnnWrWrWrW++====L,故得21221(1)nnnxrrara-+-+++=L，从而1+nx=nrr+++...1a=r--+1r11na.于是1lim+¥®nxx=r-11a,即若不限击打次数，汽锤至多能将桩打进地下r-11am.……10分七、（本题满分12分）设函数)(xyy=在),(+¥-¥内具有二阶导数，且0'¹y,)(yxx=是)(xyy=的反函数.(1)试将)(yxx=所满足的微分方程22dyxd+)sin(xy+(dydx)3=0变换为)(xyy=满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(=¢=yy的解.解:(1)由反函数导数公式知dydx=y¢1，即1=¢dydxy……2分上式两端关于x求导，得0)(222=¢+¢¢ydyxddydxy,所以22dyxd=2)(yydydx¢¢¢-=3)(yy¢¢¢-……5分代入原微分方程得xyysin=-¢¢(*)……6分(2)方程（*）所对应的齐次方程0=-¢¢yy的通解为12xxyCeCe-=+……8分设方程（*）的特解为,sincos*xBxAy+=代入方程（*）求得21,0-==BA，故xysin21*-=，从而xyysin=-¢¢的通解是xeCeCxyxxsin21)(21-+=-……10分由23)0(,0)0(=¢=yy得1,121-==CC,故xeexyxxsin21)(--=-……12分八、（本题满分12分）设函数)(xf连续且恒大于零，,)()()()(22)(222òòòòò+++=WtDtdyxfdvzyxftFs,)()()(2)(22òòò-+=tttDdxxfdyxftGs其中2222222(){(,,,)|},(){(,)|}txyzxyztDtxyxytW=++£=+£.(1)讨论)(tF在区间),0(+¥内的单调性；(2)证明当0>t时，)(2)(tGtFp>.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第8页(1)解:因为222220000222000()sin22()()()2()ttttddfrrdrfrrdrFtdfrrdrfrrdrpppqjjpqp×==×òòòòòòò……2分202022])([)()()(2)(òò-=¢ttrdrrfdrrtrrfttftF……4分所以在),0(+¥上0)(>¢tF,故)(tF在),0(+¥内单调增加.……6分(2)证:因òò=ttdrrfrdrrftG0202)()()(p……8分要证明0>t时)(2)(tGtFp>,只需证明0>t时，0)(2)(>-tGtFp，即.0])([)()(20202022>-òòòtttrdrrfdrrfdrrrf令20202022])([)()()(òòò-=tttrdrrfdrrfdrrrftg……10分则ò-=¢tdrrtrftftg0222))(()()(>0,故)(tg在),0(+¥内单调增加.因)(tg在0=t处连续，所以当0>t时，有)0()(gtg>.又0)0(=g,故当0>t时，0)(>tg,因此，当0>t时，)(2)(tGtFp>……12分九、（本题满分10分）设矩阵úúúûùêêêëé=322232223A,úúúûùêêêëé=100101010P,PAPB*1-=,求EB2+的特征值与特征向量.其中为*A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.解法1经计算可得*A=úúúûùêêêëé------522252225……2分úúúûùêêêëé-=-1000011101P，==-PAPB*1úúúûùêêêëé----322452007从而úúúûùêêêëé----=+5224720092EB……5分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第9页)3()9(522472009)2(2--=úúúûùêêêëé---=+-llllllEBE故EB2+的特征值为9,9,3.……7分当921==ll时，对应的线性无关特征向量可取为1h=úúúûùêêêëé-011,2h=úúúûùêêêëé-102所以对应于特征值9的全部特征向量为1k1h+2k2h=1kúúúûùêêêëé-011+2kúúúûùêêêëé-102,其中1k,2k是不全为零的任意常数.当33=l时，对应的一个特征向量为3h=úúúûùêêêëé110故对应于特征值3的全部特征向量为úúúûùêêêëé=110333kkh，其中3k是非零的任意常数.……10分解法2设A的特征值为l，对应的特征向量为h，即Ahlh=.由于07||¹=A,所以0¹l.又因*AA=|A|=E,故有*Ah=l||Ah……2分于是有)()()(1111hlhh--*--==PAPPAPPB，hlh11)2||()2(--+=+PAPEB.因此，2||+lA为EB2+的特征值,对应的特征向量为h1-P.……4分由于)7()1(322232223||2--=úúúûùêêêëé---------=-llllllAE故A的特征值为1l=2l=1,73=l.……6分当1l=2l=1时，对应的线性无关特征向量可取为1h=úúúûùêêêëé-011,2h=úúúûùêêêëé-101郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第10页当73=l时，对应的一个特征向量为3h=úúúûùêêêëé111……8分由1-P=úúúûùêêêëé-100001110，得11h-P=úúúûùêêêëé-011,21h-P=úúúûùêêêëé--011,31h-P=úúúûùêêêëé110因此，)2(EB+的三个特征值分别为9,9,3.对应于特征值9的全部特征向量为111h-Pk+212h-Pk=1kúúúûùêêêëé-011+2kúúúûùêêêëé--111，其中1k,2k是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为313h-Pk=úúúûùêêêëé1103k其中3k是非零的任意常数.……10分十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为1l：032=++cbyax2l：032=++acybx3l：032=++baycx试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++cba证法1必要性：设三直线1l，2l，3l交于一点，则线性方程组ax23c,bx23,()cx23,bycyaayb+=-ìï+=-*íï+=-î有唯一解，故系数矩阵úúúûùêêêëé=accbbaA222与增广矩阵A=úúúûùêêêëé---bacacbcba323232的秩均为2，于是0||=A……2分由于|A|=])[(6323232222bcacabcbacbabacacbcba---++++=---])()())[((3222accbbacba-+-+-++=但0)()()(222¹-+-+-accbba，故0=++cba……4分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第11页充分性：由0=++cba，则从必要性的证明可知,|A|=0，故秩(A)<3……6分由于cbba22=])([2)(222bbaabac++-=-=,0]43)21[(222¹++-bba故秩（A）2=.于是，秩（A）=秩（A）2=因此方程组（*）有唯一解，即三直线1l,2l,3l交于一点.……8分证法2必要性：设三直线交于一点),(00yx，则÷÷÷øöçççèæ100yx为0=Ax的非零解，其中úúúûùêêêëé=bacacbcbaA323232，于是|A|=0.……2分而|A|=bacacbcba323232])[(6222bcacabcbacba---++++-=])()())[((3222accbbacba-+-+-++-=但0)()()(222¹-+-+-accbba，故0=++cba.……4分充分性：考虑线性方程组ïîïíì=+*=+=+-3b2aycx)(-3a,2cybx-3c,2byax将方程组（*）的三个方程相加，并由0=++cba可知，方程组（*）等价于方程组îíì=+=+-3a.2cybx-3c,2byax（**）……6分因为cbba22=])([2)(222bbaabac++-=-=,0])([222¹+++-baba故方程组（**）有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,lll交于一点.……8分十一、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数X的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解法1(1)X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布为{}36333/CCCkXPkk-==，,3,2,1,0=k郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第12页即X0123P201209209201……3分因此232013209220912010=´+´+´+´=EX……5分(2)设A表示事件“从乙箱中任意取出的一件产品是次品”，根据全概率公式，有å-===30}|{}{)(kkXAPkXPAP……7分=416320162209612090201=´+´+´+´……10分解法2(1)设îíì=,i,1,i,0件产品是次品从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第iX则iX的概率分布为iX01P2121且).3,2,1(21==iEXi……3分因321XXXX++=，所以23)(321321=++=++=EXEXEXXXXEEX……5分(2)设A表示事件“从乙箱中任意取出的一件产品是次品”，由于{}0=X，{}{}2,1==XX和{}3=X构成完全事件组，因此根据全概率公式，有{}{}å====30|)(kkXAPkXPAP……7分{}å=×==306kkkXP{}å===3061kkXkP41236161=×==EX……10分十二、（本题满分8分）设总体X的概率密度为2()2,()0,xexfxxqqq--ì>=í£î，其中0>q是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本12,,,nXXXL，记12ˆmin(,,,)nXXXq=L.(1)求总体X的分布函数)(xF；(2)求统计量qˆ的分布函数)(ˆxFq；(3)如果用qˆ作为q的估计量，讨论它是否具有无偏性.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第13页解(1)ò¥---îíì£>-==xxxxedttfxF,,0,,1)()()(2qqq……2分(2)ˆ12ˆ()(){min(,,,)}nFxPxPXXXxqq=£=£L121{min(,,,)}nPXXXx=->L121{,,,}nPXxXxXx=->>>L121{}{}{}nPXxPXxPXx=->>>LnxF)](1[1--==îíì£>---..,0,,1)(2qqqxxexn……5分(3)qˆ的概率密度为=¢=)()(ˆˆxFxfqqîíì£>--.,0,2)(2qqqxxnexn……6分因为òò¥--¥¥-==qqqqdxnxedxxxfExn)(2ˆ2)(ˆ=qq¹+n21，所以qˆ作为q的估计量不具有无偏性.……8分数学（二）一、填空题（本题6小题，每小题4分，满分24分）(1)若0®x时，1)1(412--ax与xxsin是等价无穷小，则a=.【答】应填4-.【解】因12242001(1)114limlim1sin4xxaxaxaxxx®®---==-=，故4a=-.(2)设函数)(xfy=由方程4ln2yxxy=+所确定，则曲线)(xfy=在点(1,1)处的切线方程是.【答】应填0xy-=.【解】在方程两端对x求导，得324dydyyxydxxdx++=，将1,1xy==代入上式得()1,11dydx=，故所求切线方程为11yx-=-，即0xy-=.(3)xy2=的麦克劳林公式中nx项的系数是.【答】应填(ln2)!nn.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第14页【解】因()()00|2ln2|(ln2)nnxnxxy====，故所求系数为(ln2)!nn(4)设曲线的极坐标方程为)0(>=aeaqr，则该曲线上相应于q从0变到2p的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.【答】应填41(1)4aeap-.【解】22220011()22aaAededppqqqq==òò224011(1)44aaeeaapqp==-(5)设a为3维列向量，aT是a的转置.若aaT=÷÷÷øöçççèæ----111111111，则aTa=.【答】应填3.【解】设123xxxaæöç÷=ç÷ç÷èø，则211213221223231323xxxxxxxxxxxxxxxaaTæöç÷=ç÷ç÷èø，由题设知2221231xxx===，故2221233xxxaaT=++=.(6)设三阶方阵,AB满足EBABA=--2，其中E为三阶单位矩阵，若A=101020201æöç÷ç÷ç÷-èø，则B=.【答】应填12.【解】由2ABABE--=，得()()AEAEBAE+-=+.而203030202AEæöç÷+=ç÷ç÷-èø为可逆阵，故有()AEBE-=，即()1BAE-=-.因此()11100110102200BAEAE---=-=-==-.二、选择题：（本题共6小题，每小题4分，满分24分）(1)【同数学一第二、(2)题】郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第15页(2)设dxxxannnnn+=ò+-123101，则极限limnnna®¥等于(A)32(1)1e++(B)312(1)1e-+-(C)312(1)1e-++(D)32(1)1e+-【答】应选(B).【解】因1103limlim12nnnnnnnnnaxxdx-+®¥®¥=+ò103lim1(1)2nnnnnxdx+®¥=++ò323311220lim(1)|lim[(1())1](1)11nnnnnnnxen-+®¥®¥=+=+-=+-+.故选(B).(3)已知xxyln=是微分方程)(yxxyyj+=¢的解，则)(yxj的表达式为(A)22xy-(B)22xy(C)22yx-(D)22yx【答】应选(A).【解】由xxyln=，得2ln1lnxyx-¢=，代入微分方程，有2ln11()lnlnxxxxyj-=+，于是得2222221/ln()lnxxxyyxxxj=-=-=-.故选(A).(4)【同数学一第二、(1)题】(5)设ò=401tanpdxxxI，ò=402tanpdxxxI，则(A)121II>>(B)121II>>(C)211II>>(D)211II>>【答】应选(B).【解】因[0,]4xpÎ时，有sintanxxx<<，故tantanxxxx>，于是441200tantanxxIdxdxIxxpp=>=òò，即应排除选项(C)和(D).又令tan()xfxx=，有2222sectansinxcosx()0cosxxxxfxxxx--¢==>，因而()fx在[0,]4p单调增加，于是有tantan444xxppp<=，因此44100tan41xIdxdxxppp=<=òò.故选(B).(6)【同数学一第二、(4)题】郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第16页三、（本题满分10分）设函数()fx=32ln(1)0arcsin6010sin4axaxxxxxexaxxxxì+ï<ï-ïï=íï+--ï>ïïî，问a为何值时，)(xf在0=x处连续；a为何值时，0=x是)(xf的可去间断点？解:xxaxxxaxxfxxxarcsinlimarcsin)1ln(lim)(lim30300-=-+=---®®®2222000233limlimlim111111xxxaxaxxxx---®®®==-----026lim61xaxaxx-®==---.……3分2202001lim44sin1lim)(limxaxxexxaxxexfaxxaxxx--+=--+=+++®®®42)2(lim222lim42200+=+=-+=++®®aeaxaxaeaxxaxx……5分令)(lim0xfx+®=)(lim0xfx-®，有4262+=-aa，得1-=a，或2-=a.……6分当1-=a时，)0(6)(lim0fxfx==®，即)(xf在0=x处连续.……8分当2-=a时，)0(12)(lim0fxfx¹=®，因而0=x是)(xf的可去间断点.……10分四、（本题满分9分）设函数)(xyy=由参数方程212ln112utxteyduu+ì=+ïí=ïîò（1t>）所确定，求292xdydx=.解：由ttedtdyt2ln21ln21×+=+=tetln212+,tdtdx4=，……3分得)ln21(24ln212tettetdtdxdtdydxdy+=+==，……4分所以tttedtdxdxdydtddxyd41.2.)ln21(1.21)(222+-==224(12ln)ett=-+，……7分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第17页当9=x时，由tx21+=及1>t得2=t，故922=xdxyd2222)2ln21(16)ln21(4+-=+-==ettet.……9分五、（本题满分9分）计算不定积分dxxex)x+(1232arctanò.解法1设txtan=，则tdtttedxxetxòò+=2232232arctansec)tan1(tan)x+(1=ò.sintdtet……2分又ò.sintdtetò-=tdetcosò--=)coscos(tdtetett……4分ò-+-=,sinsincostdtetetettt……6分故ò+-=.)cos(sin21sinCttetdtett……8分因此ò++-+=+Cxxxedxxxett)111(21)1(22arctan232arctanCxexx++-=2arctan12)1(……9分解法2dxxxex232arctan)1(+òò+=xdexxarctan21……3分-+=2arctan1xxexdxxex232arctan)1(+ò……5分-+=2arctan1xxexò+xdexarctan211-+=2arctan1xxex-+2arctan1xexdxxxex232arctan)1(+ò……7分移项整理得dxxxex232arctan)1(+òCxexx++-=2arctan12)1(.……9分（注：不加任意常数C扣1分）六、（本题满分12分）【同数学一第七题】七、（本题满分12分）讨论曲线kxy+=ln4与xxy4ln4+=的交点个数.解：问题等价于讨论方程04ln4ln4=-+-kxxx有几个不同的实根.设kxxxx-+-=4ln4ln)(4j，……3分则有xxxx)1(ln4)('3+-=j.不难看出，1=x是)(xj的驻点.……5分当10<<x时,0)('<xj,即)(xj单调减少；当1>x时,0)('>xj,即)(xj单调增加，郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003年数学试题详解及评分参考2003年•第18页故k-=4)1(j为函数)(xj的最小值.……7分当4<k，即04>-k时，0)(=xj无实根，即两条曲线无交点.……8分当4=k，即04=-k时，0)(=xj有惟一实根，即两条曲线只有一个交点.……9分当4>k时，即04<-k时，由于+¥=-+-=++®