广东省实验中学八年级（下）期中数学试卷

第1页，共17页八年级（下）期中数学试卷 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若代数式有意义，则x的取值范围（　　）A.x≥5B.x≤5C.x＞5D.x＜52.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）A.如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B.如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C.如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D.如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形3.在、、、、中，最简二次根式的个数是（　　）A.1B.2C.3D.44.下列命题的逆命题正确的是（　　）①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a=b，则=．A.0个B.1个C.2个D.3个5.下列算式正确的是（　　）A.B.C.D.6.如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm7.如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（　　）A.15°B.20°C.25°D.30°8.如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　）A.（-3，1）B.（4，1）C.（-2，1）D.（2，-1）9.如图，下列四组条件中，能判定▱ABCD是正方形的有（　　）第2页，共17页①AB=BC，∠A=90°；②AC⊥BD，AC=BD；③OA=OD，BC=CD；④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA．A.1个B.2个C.3个D.4个10.一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（　　）A.13，10，10B.13，10，12C.13，12，12D.13，10，11二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若实数a、b满足|a+2|，则=______．12.如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于______．13.若5+的整数部分是a，则a=______．14.已知矩形的面积是，其中一边长为，则对角线长为______．15.如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=______时，四边形ABEC是矩形．16.如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是______．三、计算题（本大题共3小题，共20.0分）17.计算：（1）+.（2）（2）（）.第3页，共17页18.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简．19.先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：====|1+|=1+解决问题：①模仿上例的过程填空：==______=______=______=______②根据上述思路，试将下列各式化简．（1）（2）．四、解答题（本大题共6小题，共52.0分）20.如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF=BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．第4页，共17页21.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）画出AD∥BC且AD=BC（要求D在网格图中），连接CD；（2）判断三角形ABC的形状，并说明理由；（3）若E为BC中点，F为AD中点，四边形AECF是什么特殊的四边形？请说明理由．22.如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD=∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M．（1）求证：BE=DE；（2）试判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由．23.如图，在平行四边形ABCD中，点P为边AB上一点，将△CBP沿CP翻折，点B的对应点B'恰好落在DA的延长线上，且PB'⊥AD，若CD=3，BC=4．（1）求证：∠DCB′=90°；（2）求BP的长度．第5页，共17页24.定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（2）如图2，准矩形ABCD中，M、N分别AD、BC边上的中点，若AC=MN，求AB2、BC2、CD2、AD2之间的关系．25.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=8，BD=6，现有两动点M、N分别从A、C同时出发，点M沿线段AB向终点B运动，点N沿折线C-D-A向终点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（1）填空：AB=______；菱形ABCD的面积S=______；菱形的高h=______．（2）若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位，连接AN、MN．当0＜t＜2.5时，是否存在t的值，使△AMN为等腰直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒a个单位（其中a＜），当t=4时在平面内存在点E使得以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a的值．第6页，共17页第7页，共17页答案和解析1.【答案】C【解析】解：代数式有意义，则x-5＞0，解得：x＞5．故选：C．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．2.【答案】B【解析】解：如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2=9：16：25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B．根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．3.【答案】B【解析】解：在所列二次根式中，最简二次根式有，这2个，故选：B．根据最简二次根式的定义对二次根式分析判断即可得．本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．4.【答案】C【解析】解：①“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，所以逆命题错误，故是假命题；②“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”正确，故是真命题；③“若a=b，则=”的逆命题是“若=，则a=b”正确，故是真命题．故选：C．分别写出各个命题的逆命题后再判断其正误，即确定它是真命题还是假命题．主要考查了逆命题和真假命题的定义．对事物做出判断的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．举出反例能有效的说明该命题是假命题．第8页，共17页5.【答案】C【解析】解：A．、不是同类二次根式，不能合并；B．3-2=，此选项错误；C．3+3=6，此选项正确；D．==，此选项错误；故选：C．根据二次根式的加减运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是掌握二次根式的加减运算顺序和运算法则．6.【答案】D【解析】解：根据平行四边形的性质得：OB=OD，∵EO⊥BD，∴EO为BD的垂直平分线，根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE，∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10cm．故选：D．根据线段垂直平分线的性质可知BE=DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长．此题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，还利用了中垂线的判定及性质等，考查面积较广，有一定的综合性．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF=BC，PE=AD，∵AD=BC，∴PF=PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF=30°，∴∠PEF=∠PFE=30°．故选：D．8.【答案】A【解析】解：因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1、▱ABOC2、▱AOC3B．根据平行四边形的性质，可知B、C、D正好是C1、C2、C3的坐标，故选：A．所给点的纵坐标与A的纵坐标相等，说明这两点所在的直线平行第9页，共17页于x轴，这两点的距离为：1-（-3）=4；点O和点B的纵坐标相等，这两点所在的直线平行于x轴，这两点的距离为：3-0，相对的边平行，但不相等，所以A选项的点不可能是行四边形顶点坐标．理解平行四边形的对边平行且相等，是判断本题的关键．9.【答案】D【解析】解：①AB=BC，∠A=90°；根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确；②AC⊥BD，AC=BD；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确；③OA=OD，BC=CD；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，而OA=OD，所以AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确；④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA；由∠BOC=90°，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，AB∥CD，则∠ABD=∠CDB=∠DCA，所以OC=OD，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确．故选：D．根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案．本题主要考查了正方形的判别方法，正方形的判定方法有：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．10.【答案】B【解析】解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直角三角形，且（）2+122=132，符合勾股定理，故选B．根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线．根据勾股定理知：底边的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论．考查了等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理．11.【答案】1【解析】解：根据题意得：，解得：，则原式==1．故答案是：1．根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．第10页，共17页12.【答案】30°【解析】解：∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，又CD=AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠B=90°-∠A=30°．故答案为：30°．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD=AD，得到△ADC是等边三角形，求出∠A的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数．本题考查的是直角三角形的性质和等边三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．13.【答案】7【解析】解：∵2＜＜3，∴7＜5+＜8，∴5+的整数部分是a=7，故答案为：7根据的取值范围进行估计解答即可．此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．14.【答案】【解析】解：∵矩形的面积是，其中一边长为，∴另一边=，∴对角线长=，故答案为：.先运用矩形面积公式求出它的另一边，再运用勾股定理求出对角线即可．考查了二次根式的应用，关键是根据矩形的性质和勾股定理求出对角线．15.【答案】2【解析】解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由题意易得AB∥EC，AB=EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．16.【答案】（400，800）第11页，共17页【解析】解：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中，∵，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵A、B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC=AO=500m，则CD=AC+AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键．17.【答案】解：（1）原式=4×+=3+；（2）原式=（2-2）（2+2）=（2）2-（2）2=20-12=8．【解析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可得；（2）先化简二次根式，再利用平方差公式计算可得．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．18.【答案】解：由数轴知a＜1＜b，∴b-1＞0，a-b＜0，则原式=|a|-|b-1|-|a-b|=-a-（b-1）-（b-a）=-a-b+1-b+a=1-2b．【解析】先根据数轴得出b-1＞0，a-b＜0，再根据=|a|和绝对值的性质化简可得．本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握=|a|和绝对值的性质．第12页，共17页19.【答案】①，，|3+|，3+；②（1）原式===|5-|=5-；（2）原式===|+|=+．【解析】解：①原式====|3+|=3+；故答案为：；；|3+|；3+；②（1）原式===|5-|=5-；（2）原式===|+|=+．①模仿阅读材料的方法将原式变形，计算即可得到结果；②仿照以上方法将各式化简即可．此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点．又∵点E是边CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥BC，且OE=BC．又∵CF=BC，∴OE=CF．又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF，∴四边形OCFE是平行四边形．【解析】利用三角形中位线定理判定OE∥BC，且OE=BC．结合已知条件CF=BC，则OECF，由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结论．本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．此题利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质和“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”的判定定理．21.【答案】解：（1）如图所示．（2）△ABC是直角三角形，理由：∵AB=，AC=2，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，（3）四边形AECF是平行四边形，理由：∵E为BC中点，∴AE=BC，第13页，共17页∵F为AD中点，∴AF=AD，∵AD=BC，AD∥BC，∴AF=BE，AF∥BE，∴四边形AECF是平行四边形．【解析】（1）利用平移的性质画出图象即可；（2）利用勾股定理等逆定理证明；（3）根据平行四边形的判定定理证明即可．本题考查了勾股定理的逆定理，平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠CBD=∠EBD，∴∠ADB=∠EBD，∴BE=DE；（2）解：PM+PN=AB；理由如下：延长MP交BC于Q，如图所示：∵AD∥BC，PM⊥AD，∴PQ⊥BC，∵∠CBD=∠EBD，PN⊥BE，∴PQ=PN，∴AB=MQ=PM+PQ=PM+PN．【解析】（1）由矩形的性质得出∠ADB=∠CBD，由已知条件∠CBD=∠EBD，证出∠ADB=∠EBD，即可得出结论；（2）延长MP交BC于Q，先由角的平分线性质得出PQ=PN，再由AB=MQ，即可得出结论．本题考查了矩形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．23.【答案】解：（1）证明：由折叠的性质可得：PB′=PB，∠PB′C=∠B，∵四边形ABCD是平行四边形，PB′⊥AD，∴∠B=∠D，∠PB′A=90°，∴∠D+∠CB′D=90°，∴∠DCB′=90°，（2）∵CD=3，BC=4，∴AD=B′C=BC=4，∴DB′==5，∴AB′=DB′-AD=1，设BP=x，则PB′=x，PA=3-x，在Rt△AB′P中，PA2=AB′2+PB′2，∴x2+12=（3-x）2，解得：x=，第14页，共17页∴BP=．【解析】（1）由折叠的性质可得：PB′=PB，∠PB′C=∠B，又由在平行四边形ABCD中，PB′⊥AD，求得△B′CD是直角三角形；（2）根据勾股定理求得DB′的长，然后设BP=x，在Rt△AB′P中，利用勾股定理即可求得答案．本题考查了轴对称-最短问题，勾股定理，菱形的性质等知识点的应用，关键是理解题意确定出P的位置和求出DE=PE+PB，题目比较典型，综合性比较强，主要培养学生的计算能力．24.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC∠A=∠ABC=90°，∴∠EAF+∠EBC=90°，∵BE⊥CF，∴∠EBC+∠BCF=90°，∴∠EBF=∠BCF，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，∴四边形BCEF是准矩形；（2）解：连接AN、DN，过点C作CE∥BD，过点B作BE∥DC，则四边形BECD为平行四边形，连接DE，则D、N、E三点共线，过点B作BF⊥CE于F，过点D作DG⊥EC交EC延长线于点G，如图2所示：∵四边形BECD为平行四边形，∴BE=DC，BE∥DC，ED=2DN，∴∠BEF=∠DCG，在△BEF和△DCG中，，∴△BEF≌△DCG（AAS），∴BF=DG，EF=CG，在Rt△BFC中，BC2=BF2+FC2=BF2+（EC-EF）2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2=DG2+（EC+CG）2=BF2+（EC+EF）2，∴BC2+DE2=2BF2+2EC2+2EF2=2（BF2+EF2）+2EC2=2BE2+2EC2=2BD2+2CD2，∴BC2+4DN2=2BD2+2CD2，∴DN2=（2BD2+2CD2-BC2），同理：AN2=（2AB2+2AC2-BC2），MN2=（2AN2+2DN2-AD2）=（BD2+CD2-BC2+AB2+AC2-BC2-AD2）=（AC2+CD2-BC2+AB2+AC2-BC2-AD2）=AC2+（AB2+CD2-BC2-AD2），∵AC=MN，∴MN2=AC2，第15页，共17页∴MN2=MN2+（AB2+CD2-BC2-AD2），即：（AB2+CD2-BC2-AD2）=0，∴AB2+CD2=BC2+AD2．【解析】（1）先利用正方形的性质判断出△ABE≌△BCF即可；（2）连接AN、DN，过点C作CE∥BD，过点B作BE∥DC则四边形BECD为平行四边形，连接DE，则D、N、E三点共线，过点B作BF⊥CE于F，过点D作DG⊥EC交EC延长线于点G，证明△BEF≌△DCG，得出BF=DG，EF=CG，由勾股定理得出BC2=BF2+FC2=BF2+（EC-EF）2，DE2=DG2+EG2=DG2+（EC+CG）2=BF2+（EC+EF）2，得出BC2+DE2=2BD2+2CD2，得出BC2+4DN2=2BD2+2CD2，DN2=（2BD2+2CD2-BC2），同理：AN2=（2AB2+2AC2-BC2），MN2=（2AN2+2DN2-AD2）=AC2+（AB2+CD2-BC2-AD2），由已知得出MN2=AC2，MN2=MN2+（AB2+CD2-BC2-AD2），即可得出结论．此题考查了新定义，平行四边形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．25.【答案】解：（1）5，24，；（2）当0＜t＜2.5时，M在边AB上，N在边CD上，当∠AMN=90°时，如图1所示，由（1）知：MN=，当AM=t=时，AM=MN，所以此种情况不成立，∴当0＜t＜2.5时，不存在t的值，使△AMN为等腰直角三角形；（3）当t=4时，AM=4，①如图2，四边形AMEN为菱形，∴AN=AM=4，∴ND+CD=10-4=6，∴4a=6，a=．第16页，共17页②如图3，AENM为菱形，EM交AN于点R，作DP垂直BC于P，∵菱形面积为24，∴DP=4.8，∴CP=，∵∠MAR=∠BCD∴∠AMR=∠PDC∴sin∠AMR=sin∠PDC∴，∴AR=1.12，∴AN=2.24，∴a=（ND+CD）÷4=（10-2.24）÷4=1.94.③如图4，AEMN为菱形，EN交AM于点T，作BS垂直CD于S，则AT=MT=2，∴BT=NS=5-2=3，∵BS=4.8，∴CS=1.4，∴CN=NS+CS=1.4+3=4.4，∴a=CN÷4=4.4÷4=1.1.综上所述，a的取值有1.5或1.94或1.4．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O，AC=8，BD=6，∴AO=CO=4，BO=DO=3，AC⊥BD，∴AB=5，设菱形的高为h，则菱形ABCD的面积为×8×6=AB×h=24，∴h=，第17页，共17页故答案为：5，24，；（2）见答案；（3）见答案.（1）AB由勾股定理直接求出，菱形面积为对角线之积的一半，还可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为边长×高，由此可得高h的长；（2）当0＜t＜2.5时，M在边AB上，N在边CD上，当∠AMN=90°时，如图1所示，因为t＜，此种情况不成立，可得结论；（3）t=4，时间固定，AM的长度也就固定，A、M、N、E四点要形成菱形，分两大类情况，第一类以AM为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以AM为对角线，只有一种．因此共三种情况，分别计算．本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知识点和技能，综合性和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，是一道经典压轴题．