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基本不等式练习题及答案

基本不等式练习题及答案双基自测1yxx1．(人教A版教材习题改编)函数＝＋x(＞0)的值域为()．A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)a＋b12．下列不等式：①a2＋1＞2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正确的个数是abx2＋1()．A．0B．1C．2D．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．B．1C．2D．414．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()．x－2A．1＋2B．1＋3C．3D．4t2－4t＋1ty5．已知＞0，则函...

双基自测1yxx1．(人教A版教材习题改编)函数＝＋x(＞0)的值域为()．A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)a＋b12．下列不等式：①a2＋1＞2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正确的个数是abx2＋1()．A．0B．1C．2D．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．B．1C．2D．414．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()．x－2A．1＋2B．1＋3C．3D．4t2－4t＋1ty5．已知＞0，则函数＝t的最小值为________．考向一利用基本不等式求最值11xyxy【例1】►(1)已知＞0，＞0，且2＋＝1，则x＋y的最小值为________；2x(2)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．x2＋11【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋的最小值为________．x－12(2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．5(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．考向二利用基本不等式证明不等式bccaababcabc【例2】►已知＞0，＞0，＞0，求证：a＋b＋c≥＋＋.．【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.111求证：a＋b＋c≥9.考向三利用基本不等式解决恒成立问题x【例3】►(2010·山东)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围x2＋3x＋1是________．【训练3】(2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．考向三利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n80的关系是g(n)＝.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为n＋1f(n)万元．(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元11【试一试】(2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是()．abaa－bA．1B．2C．3D．4双基自测D．(2，＋∞)答案C112．解析①②不正确，③正确，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1.答案x2＋1x2＋1B13．解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤.答案A2114．解析当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2x－2×x－2x－21＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值x－2时，x＝3，即a＝3.答案Ct2－4t＋11tytt5．解析∵＞0，∴＝t＝＋t－4≥2－4＝－2，当且仅当＝1时取等号．答案－2【例1】解析(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，112x＋y2x＋yy2xy2x∴x＋y＝x＋y＝3＋x＋y≥3＋22.当且仅当x＝y时，取等号．2x221(2)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．答x2＋112xx＋x案(1)3＋22(2)11【训练1】．解析(1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3当且仅当x－112x＝2时取等号．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，∵0＜x＜，∴5x555x＋2－5x1＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤2＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，251128即x＝时，y＝.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴＋＝1，5max5yx828y2x4yx4yx∴x＋y＝(x＋y)＋＝10＋＋＝10＋2＋≥10＋2×2×·＝xyxyxyxy18，4yxxyxyxyxy当且仅当x＝y，即＝2时取等号，又2＋8－＝0，∴＝12，＝6，∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.1答案(1)3(2)(3)185bccabccabcababcc【例2】证明∵＞0，＞0，＞0，∴a＋b≥2a·b＝2；a＋c≥2bcabcaabcaabbccaab·＝2b；＋≥2·＝2a.以上三式相加得：2＋＋acbcbcabcbccaababcabc≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.【训练2】111a＋b＋ca＋b＋cabcabc证明∵＞0，＞0，＞0，且＋＋＝1，∴a＋b＋c＝a＋b＋a＋b＋cbcacabbacacb＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋＋＋＋caabbccabacbc1≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．3xx解析若对任意x＞0，≤a恒成立，只需求得y＝的最大值x2＋3x＋1x2＋3x＋1x111即可，因为x＞0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1x2＋3x＋1115x＋＋3xx2·x11时取等号，所以a的取值范围是，＋∞答案，＋∞55【训练3】解析由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案101216【例3．解由题意可得，造价y＝3(2x×150＋×400)＋5800＝900x＋＋xx16165800(0＜x≤5)，则y＝900x＋＋5800≥900×2x×＋5800＝13xx000(元)，16xx当且仅当＝x，即＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【训练3】解(1)第n次投入后，产量为(10＋n)万件，销售价格为100元，80固定成本为元，科技成本投入为100n万元．所以，年利润为f(n)＝(10n＋18080＋n)100－－100n(n∈N*)．(2)由(1)知f(n)＝(10＋n)100－－n＋1n＋1100n99＝1000－80n＋1＋≤520(万元)．当且仅当n＋1＝，n＋1n＋1即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．【示例】．正解∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，1212b2ab2a∴＋＝＋(a＋b)＝1＋2＋＋≥3＋2·＝3＋22.ababababa＋b＝1，a＝2－1，12当且仅当ba即时，＋的最小值为3＋22.2aba＝b，b＝2－21111【试一试】尝试解答]a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(aabaa－babaa－b1111－b)＋＋ab＋≥2aa－b·＋2ab·＝2＋2aa－babaa－bab11＝4.当且仅当a(a－b)＝且ab＝，即a＝2b时，等号成立．答案Daa－bab

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