数值天气预报第四章_初始条件与边界条件

兰州大学大气科学学院数值天气预报第四章初始条件与边界条件初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院本章概述™用数值模式做有限区域的天气预报，初始值和边界值给定得好坏，直接影响数值天气预报的质量。™观测或分析的资料一般是不能直接作为原始方程模式的初值，需要加以处理才可使用。原因如下：ƒ观测或分析资料的误差导致风场和气压场之间不平衡ƒ初始资料和数值模式之间的不平衡™边界条件有两种：1.垂直边界条件;2.水平侧边界条件。本章重点介绍有限区域预报模式的水平侧边界条件的给定或处理方法。™解决不确定性---集合预报初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院4.1初始条件及初始化™1、初始化将大气运动的垂直尺度记为LZ(10km)水平尺度记为LH.对于天气尺度和行星尺度的运动,LH超过1000km.大气运动的两个时间尺度可以定义为和特征水平速度称为惯性时间尺度，称为平流时间尺度，Rossby数定义为这两个时间尺度之比大气中R0通常较小.(<1)11fτ−=12HHLVτ−=1τ2τ102HHVRLfττ==初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1、初始化(续)大气中R0通常较小,意味着.(通常在中纬度为1天，为几个小时).由此我们可以定义大气中的两类时间尺度不同的运动：第一类运动（惯性重力波），时间尺度≤，传播速度超过VH；第二类运动时间尺度与相当，传播速度接近VH。大多数情况下，基本的气象信号 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现为第二类运动。21ττ≤2τ2τ1τ1τ初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1、初始化(续)从观测中可以看到，对流层中主要的能量限于第二类运动，表现为平流时间尺度而非惯性时间尺度。现在的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 在于：（1）在高层大气（平流层或以上）惯性重力波可能伴演较重要角色；（2）对较小尺度的运动，惯性重力波也表现出较大的振幅。尽管如此，仍然可以认为大气的天气尺度和行星尺度的运动是以平流时间尺度的运动占据统治地位，惯性重力波只占很小成份。这种运动称为平衡运动。但是利用未经初始化的客观分析场作为数值预报初始场时会出现明显的带有惯性重力波特征的剧烈震荡。(如图,其振辐超过了相应时期的观测)。1922年Richardson的数值预报失败原因。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院为什么会产生如此剧烈的高频振荡？重力波产生的条件:大气的辐(散)合运动.原因在于观测资料无法真实反映大气的实际状况，有的状态变量观测精度较高（如气压），有的较差（如风,代表性误差大），结果模式的初始场各个变量之间出现了不一致和不平衡。ƒ解决途径：•采用“过滤模式”---Charney等滤波理论•利用原始方程模式，但对初始场修改，使虚假重力波不会被激发----初始化ƒ过去的业务分析预报系统都有客观分析和初始化两个成份，前者用于将观测资料转变为某种有规划的表达形式，后者用于抑制数值模式积分时产生的高频振荡。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2、初始化发展历程ƒ最早的初始化过程基于准地转理论。Charner(1955)建议用非线性平衡由分析的位势高度场计算流函数，他认为这种平衡的初始状态可以有效地抑制惯性重力波。ƒHinkelmunn（1959）和Phillips（1960）论证了仅仅利用非线性平衡方程还不足以达到上述目的。他们建议运用ω方程给出初始的速度位势χ。这些早期的准地转初始化过程可以看成是准地转约束的扩展。在求解ω方程，特别是非线性平衡方程时有一些技术困难，最大的困难是“椭圆型”问题，一般采取选代算法来解决。准地转初始化技术在中高纬度地区相当成功，但在低纬低区就不适宜。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2、初始化发展历程(续)20世纪60年代，Sasaki（1958，1969，1970）、Thompson（1969）和stephens（1970）将初始化问题表述为变分问题，它要求最终的分析结果必须（a）尽可能和客观分析（观测）场一致；（b）严格（或近似）满足某些附加的动力约束。所有的动力约束类似于前面所说的平衡方程或准地转ω方程。变分方法有能力同时处理各种类型的资料，在用非线性平衡方程作约束时也不存在椭圆型问题的困难，但它运用准地转类型的约束，仍然存在准地转初始化的一些问题。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2、初始化发展历程(续)MiyakodaandMoyer（1968），NittaandHovermale提出新的初始化方法，称为动力初始化。基本原理是利用准地转初始化产生的初始场将模式在时间上向前和向后两个方面积分，在模式中加入耗散惯性重力波的项，这样达到在初始场中清除惯性重力振荡的目的。它需要较长的模式积分时间。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2、初始化发展历程(续)上世纪70年代开始，运用最广泛的初始化方法是“正规模”(Normalmode)初始化方法。其基本做法是从线性化的原始方程模式中求出特征解（正规模）和相应的特征频率，和高频率对应的模态可当为惯性重力波从初始场中滤除。最初的正规模方法并不太成功，因为它是一个线性化的产物。Machenhauer（1977）andBtar（1977）给出新的方法可以将非线性项加入，结果可以非常有效地抑制惯性重力波。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2、初始化发展历程(续)ƒ随着安装有大气垂直探测器的气象卫星投入运行，它给我们提供的大气探测是非定时的，------四维同化方法引起了更多人的关注ƒCharner（1969）提出应该利用数值模式本身来同化这些新的非常规资料。基本思想可以表述如下：给大气模式提供的资料总是不足以完全刻画大气的实际状况，由于初始场和模式的不精确，模式积分的结果会不断偏离大气的真实状况，假如气象卫星在一段时间内（一天或数天）不断提供全球的温度信息，将它们不断嵌入模式，模式的积分结果会逐渐被迫靠近真实大气状态，产生一个大气状态的最佳估计。这一过程称为连续资料同化或四维资料同化。ƒ1958年，顾震潮就证明仅仅是地面温压场的演变就完全蕴藏了斜压大气三维温压场的结构。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2、初始化发展历程(续)™动力张弛是一种连续同化的方法。在预报方程中增加一个附加项可以是方程的解逼近观测值（被内插到模式格点上）。™一种方法叫增量分析更新法（IAU，Bloom等，1196），分析增量被分成若干小块相加于整个预报过程而不是在分析时间做一次很大的变化。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2、初始化发展历程(续)ƒ另外变分四维同化方法因其思想的合理性和数学的严密性最为引人注目。和前面提到的变分方法不同在于(a)所用的资料可以不止一个时刻；（b）动力约束是整个预报模式。ƒ尽管变分四维同化方法有许多诱人之处，但由于计算耗时太多，目前在业务上运用仍不多，倒是它蜕变而来的三维变分同化方法已经成为业务运用的主流。在目标函数内引入惩罚项（约束项）以补偿平衡的不足。它消除了人为地将分析分为两步的情况：分析步：所产生的分析场与观测接近但不平衡；初始化步：产生平衡场但与观测更加分离。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院4.1.1数值天气预报中初值处理的类型对于原始方程模式，有多种处理初值的方法。可分为：静处理、动处理和变分处理。对初值的处理即所谓的“初值化”。™静处理ƒ是指用一些已知的风压场平衡关系，或用运动方程等求得的诊断方程来处理初值，是风场同气压场平衡或近似平衡的方法。ƒ具体方法包括用地转关系、平衡方程或其他一些关系。™动处理ƒ是通过预报方程本身的特性，调整风压场达到近似的平衡，以致不含有明显虚假的重力惯性波的方法。ƒ具体方法包括动力恢复法和正规波法等。™变分处理ƒ即可以用于静处理，也可以用于动处理。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院一、静力初始化ƒ为了避免在观测或分析的风场和气压场之间出现虚假的不平衡，假定风压场满足地转风关系、平衡方程关系等，用其中的一个场来确定另一个场，相应的得到地转风初值、平衡初值等。ƒ1.地转风关系在中高纬度地区，可以应用地转风关系由位势高度场求出风场，即(4.1)在低纬度地区，虽然公式不适用，但在实际工作中，考虑到等高线大多和风向平行，仍假设地转关系成立。但地转参数须按经验修改。,gggzgzuvfyfx∂∂=−=∂∂f初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院一、静力初始化(续)利用地转风公式计算风场比较简单，但是地转关系仅仅是风压场平衡系的第一近似，在很多情况下，风压场的平衡关系和地转平衡有很大的区别。因此，在积分的过程中也会产生虚假的重力惯性波，甚至会出现虚假的气压变化。一般采用平衡初值来改进它。ƒ2.平衡初值平衡初值是采用平衡方程作为风场和气压场之间的协调关系。平衡方程为：(4.2)()22,fuJuvζβ−+=∇Φ初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院一、静力初始化(续)假定水平无辐散，引入流函数，则平衡方程为：(4.3)上式表明了风场的旋转部分与气压场之间的平衡关系，与地转风公式(4.1)相比，平衡公式考虑了随纬度的变化及由非线性项所表示的流线散开或汇合和曲率作用。因此，它描述了比地转风公式精度更高的风压场平衡关系。(1).由气压场确定风场在中高纬度，由于对气压场观测的精度高于风场的观测精度，常用场确定场。在这种情形下，方程(4.3)是一个二阶非线性混合型偏微分方程。采用数值解。通常是将初始位势高度场ψ()2222xxyyxyffψψψψψ∇+∇⋅∇+−=∇ΦfΦψ初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院一、静力初始化(续)稍作修改，同时限制随后的流函数的近似，在给定边界条件下，方程(4.3)作为椭圆型方程用迭代法来求解。对于普通的二阶偏微分方程(4.4)式中其椭圆条件为对于平衡方程(4.3)，这个判据可写成(4.5)要求此两项至少在整个区域都有相同的符号(),,,,,,,0Fpqrstxyψ=,,,,xxxyyyxyrstpqψψψψψ=====240rtsFFF−>()()22240xxyyxyffψψψ++−>初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院一、静力初始化(续)–若都为正号，则在给定边界条件下的解，使得–若都为负号，则在给定边界条件下的解，使得表示绝对涡度的垂直分量在北半球，大尺度运动的绝对涡度一般为正值，只有是有意义的解。但在局部地区，例如强反气旋的中心或西风急流南侧可能会出现绝对涡度小于零。应用方程(4.3)改写椭圆型条件(4.5)(4.7)此项相对来说较小，但在求出之前，它不能计算1ψ2ψ2110fηψ=∇+>2220fηψ=∇+<1ψ22102ffψ∇Φ+−∇⋅∇>ψ初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院一、静力初始化(续)解决此问题的两种近似方法：»一是应用准地转近似，用位势场代替流函数场；»二是设为一经验常数。如设则(4.7)可写成(4.9)对于所考虑区域的网格点，用条件(4.9)检验，若不满足，则令由经验确定的常数将上式写成差分 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 ，得到经过修改的等压面高度场为fψ∇⋅∇1fcfψ∇⋅∇=212gzfcf∇>−+212gzffα∇=−初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院一、静力初始化(续)(4.10)由于不满足椭圆型条件的一般只是局部地区，所以这样连续做几次就可以使整个计算区域都满足条件(4.9)式了。平衡方程(4.3)可以写为(4.11)在满足椭圆条件的情况下，上式可作为泊松方程来求解。但这种求解方法收敛很慢。为了加快收敛速度，通常把方程(4.3)中的非线性项作某些变形，然后再求解。22,,1,,11,,12,142ijijijijijijijdfzzzzzgmα++−−⎛⎞=++++⎜⎟⎜⎟⎝⎠()22212xxyyxyffψψψψψ⎡⎤∇=∇Φ−∇⋅∇−−⎣⎦初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院一、静力初始化(续)例如，令表示变形场的两个分量，则(4.3)可改写为上式是关于的二次方程，解为(4.11)这里只取了绝对涡度大于零的解，通常都是用上式由场求出2xxyyxyuvAyxuvBxyψψψ∂∂=−=+∂∂∂∂==−+∂∂()222222222220ffABuψψψ∂Ω∇+∇+∇⋅∇−∇Φ−−=∂22222122fffABψψ⎛⎞∇=−+∇Φ+−∇⋅∇++⎜⎟⎝⎠Φψ2ψ∇初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院一、静力初始化(续)场。在迭代求解过程中，如果某地区出现则需进行人工处理。（令G=0，取G的绝对值……）在区域内部求解平衡方程(7.9),需要在边界上给定值，即穿过边界的气流应当给出。利用下面性形式的地转关系是一个常数(4.15)表示沿边界的方向假设整个计算区域没有静的辐散，则上式左端沿边界的线积分为零于是得到(4.16)表示边界全长22102Gffψ=∇Φ+−∇⋅∇<ψ1sfsψγ∂∂Φ=+∂∂11dsLfsγ∂Φ=−∂∫�初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院一、静力初始化(续)由(4.16)式确定后，在积分(4.15)式得到边界上的值。区域内点的初估值可用准地转近似给定，即取一平均纬度的值迭代的终止判定一般取为(4.18)由平衡方程(4.13)解出流函数后，按下式(4.19)计算出无辐散风场。γfψΦ=()()1521max10vvmsψψ+−−≤;uvyxψψ∂∂=−=∂∂初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院一、静力初始化(续)解平衡方程由于工作量大，需要修改位势高度场，采用的解法不可靠等缺点，可对平衡方程作某些简化：•将方程中非线性项的风用地转风代替，可得半地转平衡方程•略去非线性项得到线性平衡方程以上两种方法得到的方程都是椭圆型方程，不需要对位势高度场作任何修改，可直接由这些方程解出流函数，再算出风场。(2).由风场确定气压场在低纬地区，气压场较风场而言，观测资料稀少且质量不高。因此，常用后者计算前者，具体做法是：先由实测风场计算涡度场，然后在给定场边值的情形下解泊松方程vuxyζ∂∂=−∂∂2ψζ∇=ψ初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院一、静力初始化(续)求出流函数场。最后根据已经求出的场由平衡方程(4.3)迭代求解出位势高度场。3.考虑辐散的初始风场虽然实用结果表明，平衡风初值比地转风初值要好，但是根据菲利普斯的分析以及有关的试验结果可以得到：在初始风场中包含有一定量的辐散是有益的。将风的辐散部分引入初始风场的方法是：由准地转系统或平衡系统的方程计算出垂直运动；再由连续方程解出水平散度；由水平散度与速度势的关系可以求出速度势；最后由速度势求出散度风ψωDX2XD∇=xVX=∇初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院一、静力初始化(续)的值；叠加到由平衡方程求出的旋转风上，即(4.24)上述风场可以作为初始风场使用。它既是有辐散的风场，又是通过方程等与位势高度场相协调的场。用静力初始化方法确定的初始风压场虽然满足某种平衡关系，但其与模式的预报方程并不一定协调，不一定恰好是初始时刻预报方程的解，预报效果也不太令人满意。20世纪60年代中期，出现了许多处理初值的动力方法，并逐步取代静力初始化的方法。VkXψ=×∇+∇ω初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院二、动力初始化借助原始方程模式本身具有的动力特性(如能描述地转适应过程)，经过一些合理的步骤，使重力惯性波阻尼或被滤去，从而得到接近平衡的初值。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1.新田-霍维迈尔(Nitta-Hovermale)法新田与霍维迈尔(1967)提出，又称恢复迭代法。该方法同时应用初始观测的风场和气压场资料，利用原始方程模式可以调整风压场的能力，再选用能够阻尼高频振荡的时间积分格式，在初始时刻对原始方程模式交替向前、向后积分。在积分过程中，因初始风压场不平衡而产生的重力惯性波被阻尼，从而得到相互适应的风压场。下面用线性正压原始方程组来说明它的具体做法：初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1.新田-霍维迈尔(Nitta-Hovermale)法(续)线性正压原始方程组为：(4.25)(4.26)(4.27)先用欧拉-后差时间积分格式向前积分一步(4.28)uzgfvtxvzgfutyzuvHtxy∂∂=−+∂∂∂∂=−−∂∂⎛⎞∂∂∂=−+⎜⎟∂∂∂⎝⎠()()()()()()()()()000000000xyxyuugztfvvvgztfuzzHuvααα∗∗∗⎧=−∇+Δ⎪⎪=−∇−Δ⎨⎪⎡⎤=−∇+∇⎪⎣⎦⎩初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1.新田-霍维迈尔(Nitta-Hovermale)法(续)(4.29)分别为初始时刻观测或分析的水平风分量和等压面位势高为网格距时间步长水平差分算子再用欧拉-后差格式向后积分一步：(4.30)()()()()()()000xyxyutugztfvvtvgztfuztzHuvααα∗∗∗∗∗∗⎧Δ=−∇+Δ⎪⎪Δ=−∇−Δ⎨⎪⎡⎤Δ=−∇+∇⎪⎣⎦⎩2tdα=ΔdtΔ∇()()()()()()()()()xyxyuutgzttfvtvvtgzttfutzztHutvtααα∗∗∗∗∗∗⎧=Δ+∇Δ−ΔΔ⎪⎪=Δ+∇Δ+ΔΔ⎨⎪⎡⎤=Δ+∇Δ+∇Δ⎪⎣⎦⎩初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1.新田-霍维迈尔(Nitta-Hovermale)法(续)(4.31)到此完成了第一个循环，得到新的风场与气压场在初始时刻的值和，称其为第一次迭代值。这时，令高度场恢复到原来的初值(如果风场精确也可以恢复风场)。然后，以和作为初值，在进行(4.28)~(4.31)的运算，便得到第二次迭代值，再恢复高度场，重复上述循环过程，直到高频的重力惯性波被阻尼掉，就得到了与气压场相适应的风场。()()()()()()()()()()111000xyxyuutgztfvvvtgztfuzztHuvααα∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗⎧=Δ+∇−Δ⎪⎪=Δ+∇+Δ⎨⎪=Δ+∇+∇⎪⎩()()10,u()()10z()()10z()()10v()0z()()()()110,0uv()0z初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1.新田-霍维迈尔(Nitta-Hovermale)法(续)新田等人在一个两层原始方程模式的数值试验中使用了恢复迭代法，试验结果表明，应用恢复迭代法，根据无辐散的观测风场是可以相当精确地求出大尺度运动的辐散场的，从而得到相适应的初始风压场。™恢复迭代法的优点：ƒ该方法所确定的风场和气压场之间，以及风压场和预报方程之间是相互协调的。™恢复迭代法的不足：ƒ这种方法的计算量很大，达到收敛往往需要几百次的迭代。用于业务时，必须加以改进。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2.冈山-里瓦斯(Okamura-Rivas)法针对恢复迭代法收敛速度慢的问题，人们提出了许多改进的方法——主要有冈山-里瓦斯法。为了说明该方法确定初值的优点，把方程组(4.25)~(4.29)改写为：(4.32)式中：为一向量函数；为矩阵算子。FBFt∂=∂uFvz⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭000fgxBfgyHHxy⎡⎤∂−⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂=−−⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂∂−−⎢⎥∂∂⎣⎦初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2.冈山-里瓦斯(Okamura-Rivas)法(续)对于方程(4.32),冈山-里瓦斯的迭代格式为为迭代次数是一个大于1的参数将上面的格式写成一个公式，则有(4.34)为单位矩阵为了与新田-霍维迈尔法进行比较，将(7.18)~(7.21)式也(7.22)式的形式分别写成下列四式：()11vvvvFFtBFFFtBFFnFnF∗∗∗∗∗+∗∗=+Δ=−Δ=+−()122vvFIntBF+=+Δ初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2.冈山-里瓦斯(Okamura-Rivas)法(续)(4.35)(4.36)(4.37)(4.38)是初始时刻的第次迭代值是时的值将上述四式合并成一个公式，则有(4.39)若设，由(4.32)式可得：(4.40)于是(4.34)和(4.39)可分别改写为：1vvvvFFtBFFFtBFFFtBFFFtBFμμμμ∗∗∗∗+∗∗=+Δ=+Δ=−Δ=−Δ1v+tΔ()12244vvFItBtBF+=+Δ+Δ�itFFeω=BiIω=初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2.冈山-里瓦斯(Okamura-Rivas)法(续)(4.41)(4.42)式中：有和分别是冈山-里瓦斯法和新田-霍维迈尔法进行一次迭代后的衰减因子，衰减因子是频率的函数。采用冈山-里瓦斯法和新田-霍维迈尔法进行对比试验的结果表明，冈山方法能够更好的阻尼高频振荡，求出比较协调的风压场初值，其所用的时间只是新田方法的三分之一。冈山法节省时间的主要原因是在完成一次循环之后，并没有令位势场(或风场)恢复到原来的初值。()()12012411vvvRvvvNHFnpFRFFppFRF+−+−=−==−+=ptω=Δ0RR−NHR−初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2.冈山-里瓦斯(Okamura-Rivas)法(续)从上面的讨论可知，动力初始化的两种方法都能使风压场自动调整，有效地去掉高频的重力惯性波。不足点：方法中的阻尼作用依赖于频率，但它不能区别较大尺度的重力惯性波与较小尺度的罗斯贝波，因而也很难考虑物理过程参数化的作用；理论上的欠缺是：在进行时间积分时，积分的方向是交替变化的，不加区别的使用这种积分方法缺少依据。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院三、正规模（NormalMode)初始化该方法是20世纪80年代发展起来的一种新方法。正规波是指正交规范化的波解。这种初始化方法，首先解出原始方程组的正规波解，它分为重力波解和罗斯贝波解；其次把初始资料用这些波解分开，令不需要的波(如高频重力波)为零，剩余波解就组成了接近平衡的场。后来有人假定初始重力波振幅不为零，而令重力波振幅初始倾向为零，虽然得到了比前面更好的初始化效果，但遇到了不收敛的情形。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1线性化的浅水波方程模式利用简单的线性化的浅水方程模式的特征解可以说明初始化问题的许多概念。在直角坐标系中，线性化浅水方程模式可写为:(4.43)(4.44)(4.45)00=∂∂+−∂∂xvftuφ00=∂∂++∂∂yuftvφ0)(=∂∂+∂∂+∂∂yvxutφφ初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1线性化的浅水波方程模式(续)ƒ已经取为常数（称为ƒ平面假定）。引入流函数ψ和势函数，得到涡度方程散度方程和χyxvxyu∂∂+∂∂=∂∂+∂∂−=χψχψ,0202=∇+∇∂∂χψft02202=∇+∇−∇∂∂φψχft02=∇+∂∂χφφt初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1线性化的浅水波方程模式(续)在水平空间做双傅里叶展开：上面的形式意味着求解区域为x和y方向均为的周期区域。记得到])(exp[)(ˆ)(ˆ)(ˆ),,(),,(),,(0anymxitkftittyxtyxtyxmnmnmn+=φχψφχψaπ220222)(fanmKφ+=初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1线性化的浅水波方程模式(续)0ˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆ0000=−=+−=+χφφψχψkifdtdkffdtxdiifdtdφχψψˆˆ(),(ˆˆ、tmn=χψ,)tifexp(ˆˆ)t(ˆ)t()t(ˆ0σφχψφχψ−⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛∧∧1线性化的浅水波方程模式(续)初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院0ˆˆˆ=−φχψσI)(L⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=0001010kkL03=−−σσσkk,+±=10σ初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1线性化的浅水波方程模式(续)对于第1个特征值（记为）相应的特征向量这里分别为特征向量中流函数、势函数和位势高度对应的成分。可称为地转模或Rossby模，因为它描述的是静止的地转风解。用作为为归一化因子使特征向量的模为1：Rσ1011KKRRR+=φχψφχψRRR和、21)1(−+k初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1线性化的浅水波方程模式(续)可以得到：在真实空间：φψˆˆK=1011KKRRR+=φχψ0=χRφψRKR=])(exp[)(ˆ)(ˆ)(ˆ),,(),,(),,(0anymxitkftittyxtyxtyxmnmnmn+=φχψφχψ初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1线性化的浅水波方程模式(续)这是我们所熟知的地转关系。第2个特征值（取正值）记为，相应的特征向量第3个特征值和特征向量：φψφψφψ===000/1ˆ/ˆ/ffkfKG+=11σKKKGGG−++=11)1(21111φχψ12121212,,,1φφχχψψσσGGGGGGkGG=−==+−=−=初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1线性化的浅水波方程模式(续)它们相当于惯性重力波，无量纲频率：它总比大。另外，散度和涡度的比总大于1，说明惯性重力波基本上是无旋的。2222010~)(amnffGφσ++=20222)(fanmKφ+=0fkGGx+=1/11ψ初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2线性浅水波方程模式的初始化将（4.47）定义的按前面的特征向量展开：用分别表示对应地转模和惯性重力波模的复展开系数。也就是：(4,49))tifexp(ˆˆ)t(ˆ)t()t(ˆ0σφχψφχψ−⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛∧∧)(ˆ)(ˆ),(ˆtttφχψ和)(),(),(21tztzty)()()()(ˆ)(ˆ)(ˆ21tztztyEttxt=φψ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=212121φφφχχχψψψGGRGGRGGRE初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2线性浅水波方程模式的初始化(续)方程(4.46),可以改写为(4.50)将上式用于(4.49)得到：(特征向量的性质)TTifdtddtddtdφχψφχψˆ,ˆ,ˆ)ˆ,ˆ,ˆ(0L−=1210210121,,,,)ˆ,ˆ,ˆ(),,(−−==−=−==EEΛLEEΛLEEETTTTTTTzzyifzzyifdtddtddtddtdzdtdzdtdyφχψ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=21000000GGRσσσΛ初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2线性浅水波方程模式的初始化(续)于是：得到解：(4.51)根据(4.49)得到：202210110zfidtdzzfidtdzyfidtdyGGRσσσ−=−=−=)exp()0()exp()0()()exp()0()()0()exp()0()(012022201110tfiztfiztztfiztzytfiytyGGGRσσσσ=−=−==−=初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2线性浅水波方程模式的初始化(续)对于有类似的表示。如何初始化？对于给定的波数m,n，模式初始值的初始振幅为初始化的目标是修改初始场使积分时高频振荡尽量小。方程（4.51）指出,如果将tie)(zGtie)(zG)(yR)t(ˆαψαψψψ0220110+−+=kf+=10α)(t∧χ)(t∧φ)0()0(),0(21zzy和)0(),0(21zz初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2线性浅水波方程的初始化(续)设为零，这样在模式积分过程中不会激发高频波。它要求:(根据(4.49))(下标I表示初始化的结果)得到：代回上式得到：代回真实空间得到地转风关系。这说明为了消除重力波，初始场应该满足地转关系。IIIIIxIGxGGzGxGGzφψφψφχψφψˆˆˆ)0(0ˆˆˆ)0(022221111++==++==IIxIkGGGGGGGGφφψψχψχφχφˆˆˆ211222=−′−′−=0ˆ=Ix初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2线性浅水波方程的初始化(续)设客观分析场得到的初始场为现在我们还没有给出它与的关系。实际上这种关系并不唯一，这就导致不同的初始化方法。™方法1，地转约束（只用高度）™方法2，旋转风约束（只用风）AAA∧φχψ和ˆ,ˆIII∧φχψ和ˆ,ˆ0ˆ,ˆˆ,ˆˆ===IAIAIkχφψφφkAIIAψφχψψˆˆ,0ˆ,ˆˆ1===初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2线性浅水波方程的初始化(续)™方法3，慢波/位涡约束假定都可以利用，要求在初始化过程中地转模振幅不变将(4.51)式代入得到：解得：AAA∧φχψ和ˆ,ˆ0)0()0(,21===zzyyAI0ˆ,1ˆˆˆˆ=++==IaaIIkkkkχφψφψIIIIIxIaIaIaIaIGxGGzGxGGzRRRyyφψφψφφχχψψφχψφψφχψˆˆˆ)0(0ˆˆˆ)0(0)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(022221111++==++==−+−+−=−=初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院2线性浅水波方程的初始化(续)也就是：表明初始化过程中守恒，回到实际空间是准地转位涡守恒。0)ˆˆ()ˆˆ(=−+−aIaIkkφφψψφψˆˆkk+φφψ)002,0ffQQQAI−+∇==−初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院初始化过程正规模初始化方法的基本思想是将分析场按上节给出的特征函数展开（包括垂直和水平方向），然后保留低频（慢的）成份，滤除高频成分，这时可能有一些惯性重力波成分也留下来。记为分析（观测）场，为初始化的结果。我们要求是与慢波对应的那些特征向量成份，通过极小化下面的积分得到展开系数，舍弃高频部分AAAuϕυ,,IIIuϕυ,,dsWWWuuIAIAIuAIs])()()[222ϕυφφυυ−+−+−=∫初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院非线性初始化将代入上面的方程得到如下形式的特征方程方程：ψϕχϕλψχϕψRat=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂+∂∂Ω+∇Ω+∇∂∂cos2sin2222χφϕψϕλχψϕχRat=∇+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂−∂∂Ω+∇Ω−∇∂∂2222cos2sin2φχφφRt=∇+∂∂2~)2exp()~,,()~,,()~,,(timnmnmnmnσφϕλφφϕλχφϕλψφχψΩ−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院非线性初始化(续)L的特征向量矩阵为E,X是依照特征向量展开的振幅：得到对X的方程：选定一个临界频率，超过的作为快波。用Y，Z分别表示慢和快波部分。得到sRLss=+dtd⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=φχψsEXs=XidtdRΛXX=Ω+2初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院非线性初始化(续)问题：如何让)(2ZY,RYΛYYYidtd=Ω+)(2ZY,RZΛZZZidtd=Ω+0=dtdZ初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院Machenhauer(1977)提出的迭代方法首先考虑线性问题令初始时刻z(0)=0,得到非线性情况，假设Rz不随时间变化，那末为了消除高频振荡，可以让即02=Ω+ZΛZZidtd0)2exp()0()(=Ω−=tiztzzσ0)2exp(]2)0()0([2)0()(=Ω−Ω−+Ω=tiiRziRtzzzzzzσσσzziRzσΩ=2)0()0(0=dtdZ初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院Machenhauer(1977)提出的迭代方法(续)迭代：(1)z(0)=0(2)(3)………zziRzσΩ=2)0()0(12zziRzσΩ=2)0()0(01初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院四、数字滤波™一种基于数字滤波的动力初始化™模式在-tm与tm之间向前和向后积分，就像在正常的动力初始化中一样。所不同的是每一时间步用模式场来计算一个在初始时间t=0的权重平均，并优化选择这些权重以阻尼高频，而不是简单地使用有阻尼高频作用的时间格式初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院Doplh-Tchebychev初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院Lanczos滤波与Doplh-Tchebychev滤波相类似，但权重不一样初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院五、变分初始化处理通过变分原理，初始资料在一定动力约束下调整，达到各种初始场之间协调一致的方法。初始条件与边界条件兰州大学大气科学学院1在静力和地转平衡约束下的变分处理可以构造泛函是由气象要素观测(或分析)精度决定的权重函数，常设成是观测(或分析)误差平方的反比；带“0”的下标表示观测(或分析)的值；是拉格朗日乘数；表示调整后的值；分别表示方向、方向及垂直方向的差分算子。其中为地面气压。()(){()()}��222210203030,,123,,,,,,222ijkxypijkijkijkIzzTTuuvvgggzTzfvzfuddpααααλλλ=−+−+−+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤+∇−+∇−+∇+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Δ⎣⎦∑∑∑∑123,,ααα123,,λλλ,,,zTuv�,,xyp∇∇∇xy�()lnspRpp=−1在静力和地转平衡约束下的变分处理可以构造泛函(续)1230IIIIIIIzTuvλλλ∂∂∂∂∂∂∂=======∂∂∂∂∂∂∂为了使调整的程度达到最小，初始值不受到明显的影响要求泛函取极小值，则代入极小化算法程序，求的分析解™2.在总质量守恒、总能量守恒和整层大气无辐散约束下的变分处理在此条件下，若采用坐标系，则可构造以下泛函数：是总量p()()(){}()()00222101020,,222310,,,,,2,,,22ijksspssijijkijijxyssijkijijIuuvvTTuvppcTppEuvppααααμλμ=−+−+−⎧⎫⎛⎞+⎪⎪+−++Δ+Φ−⎨⎬⎜⎟⎪⎪⎝⎠⎩⎭⎛⎞+∇+∇+−⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑∑∑∑∑和都是拉格朗日乘数；是地面海拔高度。要使泛函取极小值，则需要：代入极小化算法，求的分析值。12,μμ,ijλ,sssgzzΦ=12,0sijIIIIIIIuvTpμμλ∂∂∂∂∂∂∂=======∂∂∂∂∂∂∂六、各种初始化方法的比较及不平衡初值的使用问题优点缺点静力初始化方法简单计算量小预报效果不太令人满意动力迭代法使风压场自动调整有效地去除重力惯性波的高频部分阻尼作用依赖于频率不能区别波动的性质计算时间较长并要求预报方程可逆优点缺点静力初始化方法简单计算量小预报效果不太令人满意动力迭代法使风压场自动调整有效地去除重力惯性波的高频部分阻尼作用依赖于频率不能区别波动的性质计算时间较长并要求预报方程可逆上述介绍的初始化方法都力图使风压场达到或接近平衡，以消除虚假的重力惯性波。但真实的和虚假的重力惯性波没有严格的区别方法，消除重力惯性波就去掉或减弱了天气发展和风压场之间的调整因素，使预报的准确率降低。所以，从提高数值天气预报的准确率角度来看，研究如何使用不平衡初值的问题是很重要的。优点缺点正规波方法可以滤去不需要类型的波动计算时间较短对待非线性的处理还不能保证收敛变分方法物理意义清楚可保证要求的守恒性较好地滤去重力惯性波方法的好坏取决于约束关系的优劣优点缺点正规波方法可以滤去不需要类型的波动计算时间较短对待非线性的处理还不能保证收敛变分方法物理意义清楚可保证要求的守恒性较好地滤去重力惯性波方法的好坏取决于约束关系的优劣4.2边界条件数值模式要得到确定的解答，需要给定边界条件。边界条件有两种：一种是垂直边界条件，一种是水平侧边界条件。在预报区域的水平侧边界上必须人为地给出边界条件，要求所给定的边界条件ƒ尽量和大气实况相接近，并在预报过程中也相近；ƒ使问题得提法是适定的；ƒ与模式方程结合能反映原来方程在全球范围内的重要物理特性但由于计算条件、资料条件等因素，常给出一些简单的边界条件，它们一般不能代表实际大气的状况，有时对预报还有相当严重的影响。一、几种常用的水平侧边界条件以正压原始方程为例，设预报区域为矩形，边界分别与轴和轴平行，区域在方向的宽度为，在方向的长度为。常用的边界条件有：™1.固定的边界条件–假定边界上预报量不随时间变化。–正压原始方程模式中的三个预报量的边界条件为表明在边界上不随时间变化。边界附近天气系统的移动与发展均受到较强的制约，使用时不要把所研究的天气系统处于边界附近。xyxLyD0,;0,;0uvxLyDttt∂∂∂Φ=====∂∂∂,,uvΦ一、几种常用的水平侧边界条件(续)™2.法向速度为零的边界条件对于前面的矩形区域，该边界条件可表示为(4.93)在的边界上，正压原始方程组简化为(4.94)在的边界上，可简化为``00xLyD=⎧⎨=⎩00uv==`0xL=200vvmvtyyvmtym⎧⎛⎞∂∂∂Φ++=⎪⎜⎟∂∂∂⎪⎝⎠⎨∂Φ∂Φ⎛⎞⎪+=⎜⎟⎪∂∂⎝⎠⎩`0yD=一、几种常用的水平侧边界条件(续)200uumutxxumtxm⎧∂∂∂Φ⎛⎞++=⎜⎟⎪∂∂∂⎪⎝⎠⎨∂Φ∂Φ⎛⎞⎪+=⎜⎟⎪∂∂⎝⎠⎩(4.95)这表明，若采用了该边界条件，在相应的边界上就应分别使用(4.93)和(4.95式来预报要素的变化。这种边界条件不允许有穿越边界的流入流出，对于质量和动量来说没有通过边界的交换故又称刚体边界条件。™3.海绵边界条件为了减小边界附近要素的水平梯度，人为地由边界向内设置一个过渡带。在过渡带外边(即预报区域边界)取固定边界条件；在过渡带内边(过渡带最内一圈)等于预报值；过渡带中间各格点按给定条件变化。一、几种常用的水平侧边界条件(续)对一有限区域，以其西边界的过渡区为例。其格点的i值，由边界处的1变到过渡区结束的k，任一预报量F的海绵边界条件为ƒ是过渡区中点处，预报时步由海绵边界条件协调后的值ƒ是随变化的一个系数ƒ是过渡区内时步的预报值ƒ是区域最外圈处的初值对于向外传播的重力惯性波，过渡带就是一个能量的吸收带。该边界条件的好坏与过渡带的宽度(格点数)有关，与的变化有关。�()11011nniikiFFFαα++=−+i1n+i11;0kαα==1n+1i=①②③④iα一、几种常用的水平侧边界条件(续)4.外推边界条件设某预报量(可以表示等)的移速为，当天气系统移动时，若其强度不变，则可以引用平流方程(4.97)边界点的网格坐标用表示，积分时间步用表示。上面方程的首项采用中央差，空间微商项采用向后差。在边界点处如果大于零，则平流方程可写为(4.98)可以用外推方法估计或计算移速。F,,uvΦc0FFctx∂∂+=∂∂inic221122nnnnniiiiiFFFFcFtd−−−−⎛⎞−+=−−⎜⎟Δ⎝⎠一、几种常用的水平侧边界条件(续)在上式中用代替，则得(4.99)这样，利用已知时刻点的资料，可以估算出移速。若以代替(4.98)式中的，则得(4.100)将(4.99)式代入(4.100)得1i−i211211122nniinnniiiFFdctFFF−−−−−−−−−=−Δ+−1,2ii−−1n+n()()()()1111211nnniiitdctdcFFFtdctdc+−−−Δ⎡⎤Δ⎣⎦=++Δ+Δ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦一、几种常用的水平侧边界条件(续)(4.101)上式右端全部是已知时刻的值，可以计算出边界处时刻的值。上式又称为辐射边界条件。在实际工作中，常使用(4.100)式，它给出了个预报量的边值，但有时给出的风场和高度场，斜压原始方程中温度场和厚度场之间可能不协调，须适当的调整。其中，移速值经下列判断选取：(4.102)12111111121211112nnnnnnniiiiiiinnnniiiiFFFFFFFFFFF−−+−−−−−−−−−−−−−−−−=−−−1n+0dtFFctxΔ⎧⎪∂∂⎪=−⎨∂∂⎪⎪⎩00FFdttxFFdttxFFtx∂∂−>Δ∂∂∂∂≤−<Δ∂∂∂∂−<∂∂一、几种常用的水平侧边界条件(续)™5.对称反对称边界条件从天气及气候的实况来看，气压场大体对称于赤道分布。对采用球面坐标的半球预报，其水平边界条件可取为经度纬度(4.103)该边界条件可保证半球范围内总质量和总能量守恒，实际工作中，对于半球预报常采用这种边界条件，称它为对称或反对称边界条件。在直角坐标中应用对称或反对称边界条件时，由于矩形边界与赤道不完全一致，需加以处理。()()()()()(),,,,,,,,,,,,ututvtvtttλϕλϕλϕλϕλϕλϕ=−⎧⎪=−−⎨⎪Φ=Φ−⎩4.2.2嵌套网格的边界处理 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 在整个计算区域内提高空间分辨率，可以提高预报质量，但会使计算量迅速增加，为了解决预报效果与计算量的矛盾，提出了嵌套网格的设想。嵌套网格是指对计算的大区域取较粗的网格；而对其中最关心的小区域取细网格。这样既可以改善预报质量，又可保证计算量的增加不是太大。嵌套网格中的细网格可以固定，也可以随天气系统移动自模式嵌套：粗细网格用相同的预报模式。异模式嵌套：粗细网格用不同的预报模式。一、套网格预报的两种处理方案ƒ单向方案具体做法：每个时间步长先制作粗网格预报，用它的预报值为细网格提供边界值，再制作细网格的预报。在粗、细网格预报时间步长不一致，或粗、细网格点不相重合处，一般以内插方式求出细网格的值。ƒ双向方案是粗、细网格预报相互影响的方案。具体做法：先做粗网格预报，为细网格预报提供边值；然后用细网格模式做预报，再把粗、细网格相重点上的粗网格值用细网格值代替，去做粗网格预报。如此反复，直到预报终止时刻结束。两种方案的比较优点缺点单向方案灵活性较大计算量存储量较小粗网格预报值为细网格提供边值，而后者对前者没有影响。双向方案粗、细网格预报在边界附近的误差较小粗细网格同时计算计算量存储量较大优点缺点单向方案灵活性较大计算量存储量较小粗网格预报值为细网格提供边值，而后者对前者没有影响。双向方案粗、细网格预报在边界附近的误差较小粗细网格同时计算计算量存储量较大二、几种主要的单向套网格边界处理方法单向方案比较简单，但如果在边界附近预报值不加任何处理，则易产生寄生波，使计算不稳定。解决办法如下：1.修改的海绵边界条件在套网格中，海绵边界可取成(4.104)是过渡区内细网格预报值是细网格边界最外圈值，由粗网格预报不断提供可以得到协调后过渡区的值，若对取值不当，有时不能完全抑制边界附近不协调激发出的短波，因此，要对边界附近几圈采用空间平滑。�()�11111nnniiiiFFFαα+++=++iα2、倾向修正方案以平流方程为例()(4.105)uuuuctxtγ∂∂∂−+=−∂∂∂004.106uuuctxγ∂∂+=∂∂其中根据粗网格模式给定（这在边界附近可以假设是正确的），在内部为并随着向边界靠近为大值）。粗网格模式遵循平流方程：（）=0(4.107)/(1),0uuctxccγ∗∗′′′∂∂+∂∂=+可以写出一个关于细网格模式与粗网格模式之差u的“误差”方程：其中于是时间倾向方案将误差平流减慢使其在边界附近几乎降为，这样也就避免了过度规定。但在实际使用中仍发现这种方案会产生虚假反射。3.戴维斯(Davis)边界条件在边界过渡区中，各预报方程的右端增加一个松弛项，即(4.108)–表示订正后的量–表示粗网格的量–下标为自边界沿法向向内的格点序号–为松弛系数，自边界向内减小，到过渡区截止点为零如果时间积分采用蛙跃格式时，上式变为(4.111)�()1nnniiiiiFFKFFtt∗+∂∂⎛⎞⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠∗~iK�()11122nnnniiiAiiiFFtLtKFF++∗−=+Δ−Δ−3.戴维斯边界条件(续)或(4.113)表示引起气象要素星的各项之和的计算值松弛系数分布的变化可以通过的取值反映出来，研究揭示，取值在内边界附近变化较快，在接近网格内点时变化缓慢时效果较好()()�11112nnnniiiiAiiFFtLFαα++∗−=−+Δ+212iiiKtKtαΔ=+ΔALFiKiαiα三、套网格预报模式中存在的问题套网格预报方法的推广与应用，使有限区域的预报模式质量有较大的提高，但是，其目前还存在以下几个问题亟待解决。™内边界条件的给法及处理问题™时空插值问题™预报时效问题4.3集合预报™集合预报的目的ƒ它可提供比单一的预报更为准确的，几天以上的集合平均预报，因为最不确定的预报分量会被平均掉；ƒ给预报员提供一个预报可靠性的估计，提高预报的可靠性；ƒ为么个预报不确定性提供指导（为概率预报提供定量基础。4.3集合预报(续)4.3集合预报(续)集合预报思想产生了一项重要发展：建立适应性观测系统或有目标观测系统。如果在某一地区具有较高的不确定性，可以用新技术随时间追踪这一区域；提供在一个地区或者几个地区进行补充观测（无人飞机投放探空仪等）一个较难预报的风暴个例虚线为对照预报5天2.5天4.3集合预报(续)™集合预报可为那些超出可预报性上限的预报提供基本工具（Lorenz认为天气的可预报性存在2个星期的限制）。™集合预报的方法：早期有随机动力预报，Monte-Carlo，滞后平均；目前有繁殖法、奇异向量法，多系统集合法等